Система канонических уравнений для системы два раза статически неопределимой имеет вид

Для систем один раз кинематически неопределимых (n=1) каноническое уравнение (2) одно и решение имеет вид

Для систем два раза кинематически неопределимых решение системы уравнений (3) и (4) имеет вид:

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок.

Окончательная эпюра М_ок в соответствии с принципом независимости действия сил получается путем сложения «исправленных» эпюр ∙Z_i с грузовой:

«Исправленные» эпюры ∙Z_i получаются путем увеличения всех ординат единичных эпюр в Z_i раз. Если Z_i

Максимальное значение момента в М_ок (рис. 5) не примыкает к фиктивной заделке и не участвует в статической проверке (R₁=0). М_мах будет участвовать в определении перемещения .

Статическая проверка эпюры М_ок не дает проверить максимальный момент в точке 2 (рис. 6). Для его проверки надо получить статически определимую систему. В разделе 1 кинематический анализ установил, что заданная система пять раз статически неопределима. В узлах 1 и 6 убрано по две связи: линейная по вертикали и угловая, а в узле 5 – угловая связь (рис. 6,к). Значение М_мах входит в проверку отсутствия угла поворота в узле 5.

Отсутствие реакции во вновь введенной опорной связи R₁ и момента фиктивной заделки R₂ показано на рис. 7,р и 7,с. Для достоверности М_мах проверяется отсутствие вертикального перемещения в узле 3 с помощью интеграла Мора, причем единичная эпюра строится в статически определимой системе (рис. 7,т).

9. Построение эпюр Q N

После определения неизвестных Z_i основная система остается статически неопределимой, поэтому уравнениями статики и методом сечения невозможно воспользоваться для отыскания опорных реакций и построения эпюр. Единственным способом построения эпюры Q является ее восстановление из эпюры М_окпо дифференциальной зависимости Журавского [1] . Для участков, где эпюра М_ок представляет собой наклонную прямую, поперечная сила вычисляется по формуле

Q — положительна, если касательная в эпюре Мсовмещается с осью балки против часовой стрелки.

По эпюре М_окрис. 7.п определяется модуль и знак поперечной силы Q для балки 1-2 и нижнего участка балки 2-4.

В балке 2-3 М_ок— парабола (рис. 7,п). Из параболы выделяются квадратичная (рис. 4,б) и линейная (рис. 4,в) части. По этим эпюрам восстанавливаются эпюры Q (рис. 4, д, е), которые затем складываются, что соответствует формуле

где Q БАЛ – решение на рис. 7,д называется балочным.

Значения эпюры Nполучаются по эпюре Q из уравнений равновесия узлов. На рис. 7,у с эпюры Q стержней, образующих узел 2, снимаются значения поперечных сил и наносятся на вырезанный узел так, что положительные значения вращают узел по часовой стрелке (рис. 7,ф). Значения продольных сил находятся из уравнений статики и наносятся на эпюру N (рис. 7,х).

Если узлов несколько, то последовательность их вырезания такова, чтобы в уравнениях содержалось не более двух неизвестных.

Статическая проверка

Статическая проверка является достаточным условием правильности решения задачи. По эпюрам М, Q, N в опорных связях восстанавливаются значения реакций. Их направления определяются по правилу знаков: положительные значения продольных сил N откладываются от сечения, положительные значения поперечных сил Qвращают конструкцию по часовой стрелке, моменты в заделках растягивают в стержнях ту сторону, с которой построены эпюры. Уравнения равновесия должны выполняться.

1. Какая система называется кинематически определимой?

2. В чем состоит смысл метода перемещений?

3. Как определить степень кинематической неопределимости системы?

4. Как выбрать основную систему метода перемещений?

5. Как образовать «грузовое» и «единичные» состояния?

6. Каков физический смысл каждого канонического уравнения метода перемещений?

7. Каков физический смысл неизвестных и коэффициентов канонических уравнений метода перемещений?

8. Как определяются коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений?

9. Как проверить правильность построения окончательной эпюры моментов в методе перемещений?

10. Как проверить правильность значений окончательной эпюры моментов, не прилегающих к узлам?

11. Каков алгоритм расчета по методу перемещений?

Литература

1. Дарков А.В. Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учебник. 9-ое изд. испр. — СПб: Лань, 2004.-656с.

2. Шакирзянов Р.А. Краткий курс лекций по строительной механике. Казань: КГАСУ, 2010. – 115с.

к выполнению расчетно-графической работы

«Расчет рамы методом перемещений»

Составитель: Гусев Сергей Вячеславович

Редактор: Г.А. Рябенкова

Казанского государственного архитектурно-строительного университета

Подписано к печати 15.05.12 Формат 60х84/16

Тираж 100 экз. Печать ризографическая Усл.-печ.л 1,63

Заказ № 284 Бумага офсетная № 1 Уч..-изд.л. 1,63

Видео:Задача 4. Статически неопределимые рамыСкачать

Метод сил — расчет статически неопределимых рам

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Видео:Канонические уравнения метода силСкачать

Канонические уравнения метода сил

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .

Видео:Расчет статически неопределимой рамы методом силСкачать

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Видео:Расчет статически неопределимой стержневой системы. Уравнение совместимости деформацийСкачать

Выбор основной системы

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Видео:Статически неопределимые системы. Метод силСкачать

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

Видео:26. Статически неопределимая рама. Метод сил ( практический курс по сопромату )Скачать

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру — эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

Видео:25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )Скачать

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

или, учитывая, что

приходим к выражению:

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Видео:Расчёт статически неопределимой рамы методом перемещенийСкачать

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Видео:Сопротивление материалов. Занятие 10. Часть 1. Расчет статически неопределимой балки.Скачать

Определение перемещений в статически неопределимых системах

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

Пример расчета

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Реакция лишних связи:

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

Видео:Механика конструкций. Тема 2. Расчет статически неопределимых системСкачать

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Общие сведения

Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с вы­явления степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости любой системы может быть установлена по формуле, которая для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:

где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок — формулой (24):

где С_оп — число опорных стержней.

Остановимся на применении формулы (23).

Пример 7.1.

Пользуясь формулой (23), опреде­лить степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис. 7.1.

Решение

Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирно-неподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирно-подвижная опора В — двум шарнирам. Следова­тельно, Ш= 1 + 2 = 3.

Степень статической неопределимости Л = 3К — Ш=3∙2 — 3 ==3 — рама трижды ста­тически неопределима.

Пример 7.2.

Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной на рис. 7.2.

Рис. 7.2. 3-х контурная рама. Рис. 7.3. 6-ти контурная рама

Решение

Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Сум­марное число шарниров Ш = 6 (два простых шарнира — Е и F и две шарнирно подвижные опоры —A и D). Число лишних связей Л =3∙3 — 6=3. Следовательно, рама трижды статически неопределима.

Пример 7.3.

Определить степень статической неопределимости рамы, изображённой на рис. 7.3.

Решение

В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шар­ниров — три (шарниры F,H и I). Шарнир G— двукратный, как соединяю­щий три стержня. Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С — одному. Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической неопределимости Л =3∙6—14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.

После того как будет установлена степень статической неопределимости, выбирают основную систему.

Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама — заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и вточке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х₁; Х₂ и момент Х₃.

Величины Х₁; Х₂; X₃ называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

где δ₁₁ —перемещение точки приложения силы X₁ по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ₁₁ X₁ —перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X₁;

δ₁₂ — перемещение точки приложения силы X₁ по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ₁₂ X₂ — перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х₂;

δ₁₃ — перемещение точки приложения силы Х_х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ₁₃X₃ — перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х₃;

∆_1p —перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ₂₁ X₁ — перемещение точки приложения силы Х₂ по направлению этой силы, вызванное силой X₁, и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ_ik и грузовых ∆_ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Единичнымбудем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X_t.

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М_р и единичные M₁, M₂, . М_п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ_ik и грузовые ∆_ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ_ik = δ_ki.

Вычисленные значения δ_ik и ∆_ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X₁, X₂, . Х_п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X₁ = А₁;Х₂ = А₂, . Х_п = А_п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М_р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

умноженными на X₁, ординатами эпюры , умноженными на Х₂ . и ординатами эпюры , умноженными на Х_п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃ и т.д.) принято называть главными перемещениями, а с разными индексами

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.

🔍 Видео

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода силСкачать

Метод сил. Расчет рамы. Урок третий: определение коэффициентов канонических уравненийСкачать

Статически неопределимая системаСкачать

Эпюры моментов в основной системе метода перемещенийСкачать

Метод сил Симметричные системыСкачать

Статически неопределимая балка ( 1 раз ). СопроматСкачать

Сопротивление материалов. Занятие 10. Часть 2. Расчет статически неопределимой балки.Скачать

С.М. Задача №5.9 Статически неопределимая рама методом силСкачать

Занятие "Метод сил" Урок 2 Расчет однопролетной статически неопределимой балкиСкачать

Расчет рамы методом силСкачать