Систем уравнений с комплексными числами (6 видео)

Систем уравнений с комплексными числами

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

Видео:Системы комплексных уравненийСкачать

Система комплексных линейных уравнений

Элементы комплексной системы линейных уравнений

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.

Видео:Решение уравнений с комплексными числамиСкачать

Система комплексных чисел

Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида х 2 + 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.

О п р е д е л е н и е. Множество чисел вида а + bi, а, b Î R, i 2 = -1, называется системой комплексных чисел С.

Подчеркнем, что в отличие от множества действительных чисел (R), множество комплексных чисел (С) с операциями определенными на нем не обладает свойством упорядоченности, так как имеется элемент , в частности, нельзя определить понятие быть положительным.

а — действительная часть комплексного числа, bi — мнимая часть комплексного числа, i = — мнимая единица, b — коэффициент при мнимой единице. Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂ + b₂i называются равными, если а₁ = a₂, и b₁ = b₂, в этом случае пишут: z₁ = z₂.

Число = а — bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i и z = 2 — i; z = -5 — i и z = -5 + i, z = i и z = -i будут взаимно сопряженными.

Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пусть z₁= а₁+b₁i z₂= а₂+b₂i. Тогда: ; ;

. Таким образом, видим, что если z= a+bi и =a-bi, то z = a 2 +b 2 .

П р и м е р ы. Выполнить действия:

4. .

Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами — коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, если z= a+bi, то на плоскости ХОУ это будет точка М(а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0,0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус – векторами (рис. 1).

Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.

О п р е д е л е н и е. Модулем комплексного числа z= а+ bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице: |z| = r = .

О п р е д е л е н и е. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число , для которого .

Возьмем на плоскости точку М(а, b), пусть ей соответствует комплексное число z = а + bi. Обозначим через j угол, который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.

Из D ОМА (рис.2) AO = OMcosj, AM = ОМsinj, но ОМ= = г, ОА =а; AM =b; тогда z = а + bi = rcosj + irsinj = r(cosj + isinj).

Запись числа z = r(cosj + isinj) называется тригонометрической формой комплексного числа.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент — это угол, который образует данный радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ.

П р и м е р. Найти модуль, аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме.

Имеем r = = ; cosj = ; sinj = ; тогда j = и .

Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел можно выполнять так: если , , то z₁z₂ = r₁r₂[cos (j₁+j₂) + isin (j₁+j₂)], .

Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме. Так, для возведения в целую степень n комплексного числа z = r(cosj + isinj) известна формула Муавра:

z n = r n (cos nj + isin nj).

Отметим, что возведение комплексных чисел в натуральную степень можно выполнять и в алгебраической форме, просто перемножая число само на себя или воспользовавшись биномом Ньютона.

П р и м е р. Найти (2 + 2i) 5 .

Если z = 2 +2i, то r = , cosj = , sinj = , j = . Тогда

, а .

Для извлечения корня степени n Î N из комплексного числа z = =r(cos j + isin j ) используется следующая формула:

, k = 0, 1, 2, . n-1.

П р и м e p. Найти . Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения:

; ; ; ; .

, k = 0, 1, 2, 3.

;

Контрольные вопросы

После ознакомления с теоретическим материалом студентам предлагается ответить на несколько вопросов по данной теме. Это делается с целью закрепления нового материала и контроля его усвояемости. Форма ввода ответа на вопросы предполагает использование как классической кроудеровской системы, так и возможность ввода конструированного ответа, когда студент конструирует свой ответ из предложенных фрагментов. Система вопросов подбиралась с учетом следующих требований:

– широкий охват нового теоретического материала;

– разноплановость в смысле возможных вариантов ответов;

– отсутствие вопросов предполагающих ответы типа «да» – «нет» и ответов требующих пояснения.

Блок ответов на контрольные вопросы устроен таким образом, что дав ответ на первый вопрос, студенты могут перейти к последнему, затем вернуться назад и исправить первый ответ. Ответ, данный на вопрос, не исчезает, он остается доступным для редактирования и по прошествию некоторого времени. Во время ответа на вопросы доступ к теоретическому материалу не возможен. После получения ответов на все вопросы студентам предлагается закрыть сеанс ответов на вопросы и перейти к решению практических заданий. После этого момента вернуться к вопросам и что-либо исправить уже нельзя. По окончанию сеанса работы с учебником система проанализирует полученные ответы на предмет их правильности и полноты и выставит оценку по пятибальной шкале.

Ниже приводится схема вопросов предлагаемых студентам:

1. Дайте определение числового множества.

2. Какие числовые системы вам известны?

3. Какие принципы лежат в основе расширения числовых множеств?

4. Как определяется множество натуральных чисел?

5. Что собой представляет метод математической индукции?

6. Дайте определение множества целых чисел.

7. Какие основные факты теории целых чисел вам известны?

8. Как определяется множество рациональных чисел?

9. Дайте определение множества действительных чисел.

10. Дайте определение системы комплексных чисел.

11. Какие формы употребляются для записи комплексных чисел?