Схематическое моделирование при изучении уравнений

Данный городской семинар проводился для зам. директоров, зав. методических объединений, учителей начальных классов. Математика имеет все возможности для раскрытия потенциала у учащихся. Реализация этих возможностей в начальной школе зависит от способов организации учебной деятельности младших школьников. Использование моделирования на этом этапе позволяет не только обучить математике, но и научить мыслить. Данный ресурс состоит из теоретической и практической части с пошаговой презентацией. Очень буду рада, если мой труд вам пригодится.

Видео:Моделирование мутагенеза митохондриальной ДНК при помощи обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать

Скачать:

Видео:Математическое моделирование - 9 класс алгебра. Решение задач с помощью уравненийСкачать

Предварительный просмотр:

Ялтинский учебно-воспитательный комплекс «Школа-лицей № 9»

Зам.директора по УВР Романова А.Н.

«Моделирование на уроках математики в начальной школе»

Математике надо учить в школе

Еще и стой целью, чтобы знания,

которые тут получают, были бы

достаточными для обычных

1. Новые ориентиры в математическом образовании.
2. Методические основы моделирования. Математическая модель.
3. Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе.

1. Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования.
2. Применение моделирования при решении уравнений.
3. Моделирование во время решения текстовых задач.
4. Использование моделирования при изучении нумерации, приемов сложения и вычитания чисел, а также в работе над единицами длины.

1. Рекомендации к использованию метода моделирования на уроках математики.

1. Новые ориентиры в математическом образовании. (5 мин)

Общеизвестно, что модели являются языком математики, а моделирование – их речью. Успешность овладения математикой определяется, прежде всего, тем, насколько хорошо ребенок научился «разговаривать» на их языке. Определяется это не только академическими успехами ученика в решении научно-познавательных заданий, а в большей степени жизненным успехом личности — благодаря способности применять математические методы для решения практических, реальных заданий, которые этого требуют. Согласитесь, это также хороший результат обучения математики в школе.

Учим ли мы своих учеников математической речи? Или, возможно, считаем это сложным заданием для начальной школы? Или просто надеемся на то, что в ходе ежедневного решения примеров и задач дети сами постепенно научатся ею пользоваться?

Данные мониторинга свидетельствуют о том, что большинство учащихся (60% и соответственно 53%) не умеют работать с готовыми графическими моделями, выполнять творческие задания, применять полученные знания в новых ситуациях для решения проблемы.

С позиции личностно-ориентированного и компетентностного подхода фактически переориентовывает деятельность учителя. Компете́нтность — наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности в заданной предметной области . Сравним . В еще действующем Государственном стандарте указано: «Изучение математики в начальной школе обеспечивает овладение учащимися знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и других предметов… Изучение математики способствует развитию познавательных способностей младших школьников – памяти, логического и творческого мышления, воображения, математической речи». В новой редакции государственного стандарта цель в образовательной отрасли «Математика» уже определена как «формирование предметной математической и ключевых компетентностей, необходимых для самореализации учащихся в быстроизменяющемся мире». Предметная математическая компетентность рассматривается как «личностное образование, которое характеризует способность ученика (ученицы) создавать математические модели процессов окружающего мира, применять опыт математической деятельности во время решения учебно-познавательных и практически ориентированных задач».

Поэтому, овладение математической речью – способность строить математические модели – становится основной целью обучения математики, которое реализуется через формирование у учащихся «умений пользоваться математической терминологией, знаковой и графической информацией».

Позитивный опыт обучения учащихся моделированию (и не только на уроках математики) накопленный системой развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, направленный на формирование у учащихся полноценной учебной деятельности, одной из которых есть моделирование.

Формирование у учащихся умения моделировать является одной из целей развивающего обучения, а модели, которые создают и которыми пользуются дети, – это прежде всего, один из способов формирования умений учиться (а не только способ наглядности).

Задача нашего сегодняшнего семинара состоит в том, чтобы разобраться в вопросах моделирования, показать, как можно использовать модели для обучения младших школьников решать уравнения и задачи, математические свойства, приемы сложения и вычитания чисел.

2. Методические основы моделирования. (8 мин)

Моделирование — это одно из средств познания действительности. Модель используется для изучения любых объектов (явлений, процессов), для решения различных задач и получения новой информации. Следовательно, модель — некий объект (система), использование которой служит для получения знаний о другом объекте (оригинале).

Использование моделирования рассматривается в двух аспектах:

во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено детьми в результате педагогического процесса;

во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Наглядность моделей основана на следующей важной закономерности: создание модели производится на основе предварительного создания мысленной модели — наглядных образов моделируемых объектов, то есть субъект создает у себя мысленный образ этого объекта, а затем (вместе с детьми) строит материальную или образную модель (наглядную). Мысленные модели создаются взрослыми и могут преображаться в наглядные при помощи определенных практических действий (в которых могут участвовать и дети), дети также могут работать с уже созданными наглядными моделями.

В работе с детьми можно использовать замещение предметов: символы и знаки, плоскостные модели (планы, карты, чертежи, схемы, графики), объемные модели, макеты.

Использование метода моделирования помогает решать комплекс очень важных задач:

развитие продуктивного творчества детей;

развитие высших форм образного мышления;

применение ранее полученных знаний в решении практических задач;

закрепление математических знаний, полученных детьми ранее;

создание условий для делового сотрудничества;

активизация математического словаря детей;

развитие мелкой моторики руки;

получение новых представлений и навыков в процессе работы;

наиболее глубокое понимание детьми принципов работы и строения оригиналов с помощью моделей.

Модель дает нам не просто возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, она позволяет создать образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Все остальные несущественные свойства при разработке модели отбрасываются. Таким образом, у нас создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

Научной основой моделирования служит теория аналогии, в которой основным понятием является — понятие аналогии — сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Все эти виды объединяются понятием обобщенной аналогии — абстракцией. Аналогия выражает особого рода соответствие между сопоставляемыми объектами, между моделью и оригиналом.

Моделирование является многофункциональным, то есть оно используется самым различным образом для различных целей на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. В связи с этим многовековая практика использования моделей породила обилие форм и типов моделей.

Рассмотрим классификацию, предлагаемую Л. М. Фридманом. С точки зрения степени наглядности он все модели разбивает на два класса:

· материальные (вещественные, реальные);

К материальным моделям относят такие, которые построены из каких-либо вещественных предметов.

Материальные модели, в свою очередь, можно разделить на статические (неподвижные) и динамические (действующие).

Следующим видом динамических моделей являются аналоговые и имитирующие , которые воспроизводят то или иное явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного . Например, такая модель — искусственная почка — функционирует одинаково с естественной (живой) почкой, выводя из организма шлаки и другие продукты обмена, но, конечно, устроена она совершенно иначе, чем живая почка.

Идеальные модели делят обычно на три вида:

Классификацию моделей можно проводить по различным признакам:

1) по характеру моделей (то есть по средствам моделирования);

2) по характеру моделируемых объектов;

3) по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.)

4) по уровням («глубине») моделирования.

Наиболее известной является классификация по характеру моделей .

Согласно ей различают следующие виды моделирования :

1. Предметное моделирование , при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические или функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, плотины, модель крыла самолета и т.д.

2. Аналоговое моделирование , при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений.

3. Знаковое моделирование , при котором моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения.

4. Со знаковым тесно связано мысленное моделирование , при котором модели приобретают мысленно наглядный характер.

5. Моделированый эксперимент – особый вид моделирования где используется не сам объект, а его модель.

Основная цель моделирования – выделить и зафиксировать наиболее общие отношения в предмете для его изучения.

Метод моделирования – это сложное, интегративное образование. Согласно классификации дидактических методов Н.Г. Казанского и Т.С. Назаровой, метод моделирования имеет трехкомпонентную структуру

Шаг 11. (см. схему). Таким образом, в структуре метода моделирования внешняя сторона – это конкретная форма взаимодействия учителя и учащихся. Внутренняя сторона – это совокупность общеучебных приемов (анализа, синтеза, обобщения и т.д.) и способов учебной работы. Технологическая сторона – это совокупность специфических приемов данного метода (предварительный анализ, построение модели, работа с ней, перенос информации с модели на искомый объект – оригинал).

• изложение
• беседа
• самостоятельная работа

• Психологическая сущность:
• догматический способ учебной работы;
• эвристический способ учебной работы
• исследовательский способ учебной работы

• аналитический;
• интетический;
• индуктивный;
• дедуктивный;
• аналитико-синтетический

• Приемы построения модели;
• приемы преобразования модели;
• приемы конкретизации модели

Математическая модель. Математическое моделирование.

Математическая модель – приближенное описание какого – нибудь класса явлений внешнего мира при помощи математической символики. Например, отношения между элементами А, В, С, выражено формулой А+В=С — математическая модель.

Процесс математического моделирования, т.е. изучения явлений при помощи математических моделей, можно разделить на четыре этапа.

Первый этап – вычленение существенных признаков объекта.

Второй этап – построение модели.

Третий этап – исследование модели.

Четвертый этап –перенос полученных на моделях сведений на изучаемый объект.

Особенность моделирования состоит в том, что наглядность представляет собой не простое демонстрирование натуральных объектов, а стимулирует самостоятельную практическую деятельность детей . Умение учащихся работать с моделью, ее преобразование для изучения общих свойств изучаемых понятий составляет одну из главных задач обучения во всех предметных областях.

Для моделирования используются разнообразные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, алгебраические уравнения, ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Ейлера-Венна, графы.

3. Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе. (1,5 мин)

Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.

Во-первых , это способствует формированию диалектико-материалистического мировоззрения.

Во-вторых , как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.

В-третьих , целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, учителю недостаточно лишь демонстрировать им разные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений. Нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную) задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования. (10 мин)

Известный психолог П. Гальперин с коллегами разработал теорию поетапного формирования умственных действий. Согласно этой теории процесс обучения рассматривается как овладение ребенком системой умственных действий , которое происходит в процессе интериоризации (переход внутрь) отвечает внешней практической деятельности.

Ребёнок совершает практические действия с предметами (сначала с реальными, а потом с воображаемыми) – предметные действия. От них он, с опорой сначала на копировальный рисунок, а потом и на предметные модели, переходит к графическим моделям. После введения математических знаков, букв для обозначения величин ученик для описания действий пользуется формулами, т.е. знаково-буквенными моделями, а потом словесными моделями (определениями, правилами).

Например, перед детьми поставлено конкретно-практическое задание, которое требует найти две одинаковые по объему посудины (разные по форме). Фото шаг 19

После этого дети (а не учитель) выполняют практические действия: наливают воду в одну банку, переливают её в другую. Если в другую банку ввошла вся вода из первой, то объёмы этих банок равные. Целесообразно предложить детям взять в руки такие две полоски, при помощи которых можно сообщить про отношения между объемами, формами – одинаковые они или разные. Если объемы банок одинаковые, дети должны поднять две полоски одинаковые по длине, а если разные, то разные по длине. Фото

Для подведения детей к использованию графической модели снова необходимо поставить конкретно-практическое задание: при момощи рисунка показать, что объем одной банки больше, чем другой. Опыт показывает, что дети начинают рисовать форму банок, т.е. делают копировальный рисунок, или рисуют полоски, при помощи которых показывали отношение объемов банок.

После обсуждения рисунков делаем вывод: рисовать банки – это неудачный способ (неточные рисунки, не изображено отношение объемов банок, работа забирает много времени). Но и полоски у детей тоже разные по ширине и длине, на это тоже идет много времени.

В результате приходим к выводу, что удобнее ширину полоски вообще не рисовать, чертить только длину полоски (т.е. отрезки). Если величины (длина, площадь, масса, объем и т.д.) выявляются одинаковыми, то имеют отрезки одинаковой длины, а если неодинаковые, то их длина должна быть разной. Фото в тетради. шаг 21.

Таким образом вводится изображение величин при помощи отрезков. Дети учатся схематически обозначать величины, а потом строить графические (линейные) модели.

Целесообразным также является введение в 1-м классе понятий «целого» и «части» и развития умений учащихся устанавливать отношения между этими понятиями. Как на языке математики записать то, что, наример, яблоко состоит из отдельных частей? Если яблоко целое, обозначим его кругом, а кучочки яблока – обозначим треугольниками, и получим такую графическую модель.

+ + + =

Упростим и будем иметь базовую модель:

шаг 23. + =

Целое и части – это относительные понятия. Основные свойства этого отношения (на множестве натуральных чисел): целое не может быть меньше чем часть, а часть не бывает больше, чем целое; целое равно сумме частей, а часть равна разности между целым и другой частью

Всем хорошо известны лучики, которые традиционно используют для изображения состава числа. Шаг 25 Слайд 8

Так отношения между частями и целым можно показать при помощи знакографической записи:

С шаг 26

С

А |____________|_____________|

В А В

Схема, которая описывает действие сложения, вместе с тем описывает и обратное действие – вычитание:

Понятия части и целого дает возможность ввести переместительное и сочетательное свойства сложения величин. Слайд 10, 11 (2 шага), 12

Как и при изучении сложения и вычитания, для изучения умножения и деления тоже можно использовать моделирование.

Традиционно умножение рассматривается как сложение одинаковых слагаемых. Пусть величину А прибавили В раз: слайд 13.

шаг 31. А+А+А+А+А = АхВ

Формула А х В читается так: «по А взять В раз» или «В раз взять по А»,

Шаг 32. где А – часть (мерка), которую ма обозначали треугольником.

В – количество равных частей (количество мерок), можем обозначить квадратиком.

Для обозначения целого используем тот же значек – кружок.

Целое характеризуется как результат арифметического действия умножения чисел А и В.

х = А х В = С Схема, которая описывае это действие:

Понятно, что когда мы рассмотрим деление как предметное действие, направленное на деление по содержанию или на равные части, появится возможность установить связь умножения и деления. Теперь кроме формулы умножения Шаг 33. Ах В =С, получаем две обратные на деление шаг 34. С : А = В и шаг 35 . С : В = А (с геометрическими фигурами). Это означает, что схема на умножение является схемой на деление.

Применение моделирования при решении уравнений. (10 мин)

Для правильного выбора способа решения уравнений необходимо уметь находить отношения целого и части.Когда сформировано это понятие, дети приобретают умения выражать целое через части и части через целое. Установление связей между сложением и вычитанием величин на основе понятия части и целого дает возможность сопоставлять целое с суммой и уменьшаемым, части — с слагаемыми или вычитаемым и разностью и увидеть, что разные действия : А+В=С, С-А=В,или С-В=А – характеризуют те же отношения между величинами.

Находить неизвестное при решении уравнений помогают не только правила, но и отношения между частями и целым, представленных в виде графической модели. Слайд 14 шаг 36.

Алгоритм работы при обучении решению уравнений такой:

1. Рисуем схему уравнения. Х +5 = 12 шаг 37.
2. Находим целое и части сначала на схеме, потом в уравнении (подчеркиваем)
3. Называем неизвестный компонент. Выясняем, чем он является: целым или частью.
4. Анализируем, каким действием будем находить неизвестную величину.
5. Находим Х. шаг 38 , 39

Построенной схемой можно воспользоваться при решении уравнения на вычитание. 12 – х = 5, посколькусхема, которая описывает действие сложения, одновременно является схемой на вычитание . Примеры фото из тетради

Слайды 15,16 (+1 шаг ), 17, 18.

Шаг, 40, 41, 41-а, 42,43

Задание разнести данные уравнения на схемы и составить выражение

слайд 19 шаг 44, 45. 44-а, 45-б

Аналогично используется моделирование при решении уравнений на нахождение неизвестного множителя, делителя и делимого.

Слайд 20( 8 шагов ) шаг 46.

Целесообразно при закреплении связи между умножением и делением познакомить с понятием площадь, формулой нахождения площади прямоугольника и нахождением неизвестной стороны. Слайд 21 (1 шаг)

Пример уравнения . Слайд 22 ( 4 шага)

Агоритм решения уравнения Слайд 23 .

Поскольку схема умножения является схемой деления, то из одного уравнения можно составить два уравнения на деление. Площадь – целое, а стороны длина и ширина – части.

Кроме того, моделирование дает возможность разнообразить творческую работу над уравнениями. Так, учитель может предложить такие виды заданий:

1. По схеме составить и решить уравнение. Шаг 48.

Слайд 25 ( решить с гостями )

1. (дано несколько уравнений и схема) К какому уравнению подойдет эта схема? Найди и реши. Шаг 49.

Слайд 26, 27. 28, 29.

1. Решать уравнения во время устного счета . Шаг 50, 51, 52,53

Слайд 30 (10 шагов), 31

1. Составление условия задачи по схеме уравнения.

Новая презентация. (Семинар 2)

Моделирование во время решения текстовых задач (18 мин)

Нельзя не согласится с мнением, что современное образование – это умение школьника взглянуть на реальную, жизненную ситуацию с позиции физика, химика, историка, географа, отнюдь не для того, чтобы стать исследователем в этой области, а для того чтобы в последующем находить решение в конкретных жизненных ситуациях.

Стать настоящим исследователем младший школьник может, решая текстовые задачи при обучении математике младших школьников.

Один из таких подходов – формирование у учащихся умения решать задачи определённого вида (например, решение задач на разностное сравнение и т.д., когда отрабатывается определенный вид задач). Другой основан на применении семантического и математического анализа текстовых задач, когда задача разбирается от данных к цели (синтетический способ) и от цели к данным (аналитический). Третий подход основан на методе решения учебных задач. Формирование действия моделирования, предполагает качественно иное формирование умения решать текстовые задачи.

Арифметические и алгебраические задачи в литературе ещё называют сюжетными, т.к. в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по – другому (предметно, графически, с помощью таблиц, формул и т.д.), а это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования. Поэтому в работе над задачами мы уделяем большое внимание построению схематических и символических моделей, а также умению работать с отрезками, графически моделировать с их помощью текстовую задачу, ставить вопрос, определять алгоритм решения и поиска ответа. Младший школьник, как известно не обладает достаточным уровнем абстрактного мышления. И наша задача заключается как раз в том, чтобы поступательно научить его представлять конкретные объекты в виде символической модели, помочь ему научится переводить текстовую задачу на математический язык. Мы считаем, что именно графическое моделирование текстовой задачи и , что самое важное, даёт реальную возможность наглядно увидеть и определить алгоритм его решения, осуществить самостоятельную рефлексию выполненного задания.

Но не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для её дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения. Решение любой задачи арифметическим способом связано с выбором арифметического действия, в результате выполнения которого можно дать ответ на поставленный вопрос. Чтобы облегчить поиск математической модели необходимо использовать вспомогательную модель. Слайд 2 (знакомство с составными частями в 1 классе).

Для воссоздания ситуации в условии задачи можно использовать схематический чертеж, который обеспечивал бы переход от текста задачи к соотнесению определенного арифметического действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приема работы над задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна лишь в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы. При обучении решению простых задач на сложение и вычитание вводятся понятия: целое, часть и их соотношение. Слайд 3. ( 2 шага)

-Чтобы найти часть нужно от целого отнять другую часть.

-чтобы найти целое нужно части сложить.

При обучении решению простых задач на умножение и деление предлагаются схема и соответствующие правила:

-чтобы найти целое, нужно мерку умножить на количество мерок.

-чтобы найти мерку, нужно целое разделить на количество мерок.

-чтобы найти количество мерок, нужно целое разделить на мерку.

Слайд 4. ( 3 шага)

Данный подход в обучении позволяет отойти от старой классификации простых задач. Важно изображать данные и искомое так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между величинами. Рассматриваемыми в задаче, и их отношениями.

В качестве примера приведу несколько текстовых задач и их способы решения с помощью графических моделей.

Задача 1 Слайд 5. ( 5 шагов)

В аквариуме 4 больших и 5 маленьких рыб. Сколько всего рыб в аквариуме?

Упражнения на составление задач и выражений по картинкам ( обратные задачи) Слайд 6. ( 8 шагов) Слайд 7.

Задача 2 Слайд 8

У Лены 5 груш. А у Миши на 4 больше, чем у Лены. Сколько груш у Миши?

Пример задания на составление задач по картинке и запись решения. Слайд 9.

Задача 3 Слайд 10. ( 5 шагов)

У Лены 10 груш. Это на 3 больше, чем персиков. Сколько персиков у Лены?

Задача 4. Слайд 11 (4 шага).

Саша купил 5 тетрадей по цене 8 грн и альбом для рисования за 33 гривны. Сколько денег Саша заплатил за покупку?

Цена одной тетради 8 грн – это единичный отрезок (мерка). Количество единичных отрезков (5) указывает на количество тетрадей. Вторая часть отрезка отражает цену (33 грн) и количество (1) альбомов.

Задача 5. Слайд 12 (7 шагов). Два способа составления схемы. Два решения

Заводу необходимо 90 работников: 50 токарей,10 слесарей, остальные – грузчики. Сколько необходимо грузчиков?

Слайд 13 (3 шага) составление обратной задачи. СТОП

Приёмы работы над задачами.

На этапе ознакомления использую следующие приёмы:

• Разъяснение каждой составляющей части модели.
• Указание к построению модели.
• Моделирование по наводящим вопросам и поэтапное выполнение схемы.

На этапе осмысления схематического чертежа использую следующие приёмы:

• Формулирование текста задачи по предложенному сюжету и отрезочной схеме.
• Соотнесение схемы и числового выражения.
• Заполнение схемы – заготовки данными задачи.
• Нахождение ошибок в заполнении схемы.
• Выбор схемы к задаче.
• Выбор задачи к схеме.
• Дополнение условий задачи.
• Изменение схемы.
• Изменение условий задачи.
• Изменение текста задачи.

Итогом обучения построению и осмыслению схематического чертежа является самостоятельное моделирование задач учащимися.

Решая текстовые задачи, мы работаем на формирование действия моделирования, и наоборот, чем лучше ребенок овладевает действием моделирования, тем легче ему решать задачи.

Учащихся следует знакомить с различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим и практическим; с различными видами математических моделей, лежащих в основе каждого метода; а также с различными способами решения в рамках выбранного метода. Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Краткие записи условий текстовых задач – примеры моделей, используемых в начальном курсе математики. Метод математического моделирования позволяет научить школьников:

а) анализу (на этапе восприятия задачи и выбора пути реализации решения);

б) установлению взаимосвязей между объектами задачи, построению наиболее целесообразной схемы решения;

в) интерпретации полученного решения для исходной задачи;

г) составлению задач по готовым моделям и др.

Презентация работа над задачами Слайды 15-22 .

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Обобщение опыта. Схематическое моделирование как способ обучения младших школьников решению текстовых задач

Схематическое моделирование как способ обучения младших школьников решению текстовых задач.

Стандарт второго поколения в математической подготовке младших школьников не предполагает революции. Он поддерживает традиции начального обучения математике, но расставляет иные акценты и определяет иные приоритеты. Определяющим в целеполагании, отборе и структурировании содержания, условиях его реализации является значимость начального курса математики для продолжения образования вообще и математического в частности, а также возможность использования знаний и умений при решении любых практических и познавательных задач. На различных этапах развития начального математического образования проблема обучения младших школьников решению текстовых задач была и остаётся одной из самых актуальных. Решению этой проблемы посвящены многочисленные исследования, предметом которых являлись различные аспекты обучения решению текстовых задач: отбор их содержания и система, функции текстовых задач в процессе обучения математике, их роль в формировании у младших школьников математических понятий и учебной деятельности, в развитии логического мышления. В условиях образования, ориентированного на развитие мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, прежде всего, при осуществлении решения задач, приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали исследования, оно способствует формированию обобщённых знаний. Это определяет и основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе анализа задачи и поиска плана решения на основе моделирования, формирование необходимых для осуществления этого умений и способов действий. Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщённого умения решать задачи, но и как одна из целей обучения математике.

Объект исследования – процесс обучения младших школьников умению решать задачи.

Предмет исследования – комплекс заданий с использованием моделирования как один из способов формирования у младших школьников обобщённого умения решать задачи.

Цель: теоретически обосновать и практически проверить эффективность использования моделирования в процессе обучения решению задач в начальной школе.

Гипотеза: если при обучении решению задач использовать моделирование, то это способствует формированию умения решать задачи.

1. Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования.

2. Провести диагностику умения решать задачи.

3. Составить комплекс заданий с использованием моделирования.

Для поставленных задач использовался комплекс методов исследования:

— теоретический анализ методической литературы;

— методы изучения продуктов деятельности;

— методы статистической обработки данных.

Теоретический анализ проблемы обучения решению текстовых задач с помощью моделирования.

Арифметическая задача. Математическая модель. Виды моделирования.

В окружающей нас жизни возникает множество таких жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними – это задачи.

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, неоднократно используется термин «модель», «моделирование». Уровень овладения моделированием должен занимать особое и главное место в формировании умения решать задачи. Это не случайно. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем её реальность.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации процесса) чтобы решить такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, т. е. построить её математическую модель.

Вообще математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим способом.

В процессе решения задачи чётко выделяют три этапа математического моделирования.

1этап – это перевод условия задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними.

2этап – внутримодельное решение (т. е. выполнение действий, составление и нахождение значения выражений).

3этап – интерпретация, т. е перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

В процессе решения текстовой задачи наибольшую сложность представляет перевод текста с естественного языка на математический, т. е. первый этап математического моделирования.

Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели-схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки), от неё – к математической, на которой и происходит решение задачи.

Практика показала, что существует несколько проблем в обучении решению задач младших школьников.

1. Проблема классификации задач начальной школы.

Существующие классификации задач не помогают выявлению их смысла, т. е. классификации типа: “в одно действие, в два действия, простые, сложные, с косвенным вопросом и др.” не помогают детям решать эти задачи.

2. Проблема записи условий задачи.

Краткая запись условия не показывает структурные связи данных задачи, а отображение условия с помощью отрезков требует развитого абстрактного мышления и не воспринимается слабыми детьми. Отсюда возникают трудности в определении путей решения задачи.

3. Проблема проверки правильности решения задачи.

Обычно проверяют не решение задачи, а правильность математических действий в этой задаче, что далеко не одно и то же.

Проверку необходимо производить до начала математических действий, путём проговаривания условия по записанной модели и сличения его с текстом задачи, решить другим способом, составлять и решать обратные задачи.

4. Проблема последовательности действий ученика при решении задач.

Таких правил, памяток, описаний, алгоритмов существует много, но они не работают без решения первых трех проблем.

Общеизвестно, что существует 2 подхода к решению задач:

· частный подход – знакомство с алгоритмом и доведение его до автоматизма;

· общий подход – заключается в знании, что такое задача, знании этапов решения задачи и умении выполнять эти этапы.

Этапы решения задач

Приемы выполнения этапа

1.Анализ содержания задачи.

Понять, выделить величины, отношения, зависимости.

Разбиение на смысловые части, перефразировка (разъяснение слов, замена терминов, убрать несущественные слова).

2.Поиск плана решения.

Установить зависимость и связь между данными и искомыми.

3.Выполнение плана решения задачи.

По действиям, с вопросами, с пояснением, уравнением

Связь с условием задачи.

Составить и решить обратные задачи, решение другим способом, методом, прикидка определенного смысла составленного выражения по ходу решения.

Анализируя содержание задачи, очень важно научить детей составлять модели задачи.

Модель – это в некотором смысле копия, она может быть упрощена и позволяет лучше, полнее изучать оригинал.

Модель строят на 1-м этапе решения задачи для того, чтобы понять задачу.

Модели бывают 3-х видов:

Вещественные (предметные): — из оригиналов (тетради, карандаши, конфеты…); — из копий, внешне похожих на оригиналы (утята, котята, огурцы…); — из фишек без сохранения сходства с оригиналами. При вещественном моделировании выполняются конкретные действия руками.

Целый отрезок на схеме обозначает число всех марок, а части отрезка – число марок у Маши, Тани и Кати. По схеме видно, что для нахождения числа марок у Кати надо из всех марок вычесть число марок Маши и Тани.

В задачах, в которых рассматриваются отношения “больше на …”, “меньше на …” схемы имеют другой вид.

Методы решения задач: арифметический, алгебраический, графический, практический, логический, смешанный, табличный.

Поиск плана решения задач

Существуют 2 вида разбора задач: синтетический (рассуждения надо вести от данных задач к ее вопросу), аналитический (от вопроса задачи — к данным).

При аналитическом способе решения задачи выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Чтобы помочь детям вести рассуждения аналитическим способом, можно использовать прием, называемый “деревом рассуждений”. Суть его состоит в том, что по ходу рассуждений строится схема, которая помогает увидеть, какие простые задачи следует выделить и каким будет план решения данной составной задачи.

Синтетический способ характеризуется тем, что основным вопросом при поиске решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Иными словами, суть этого способа состоит в вычленении простой задачи из предложенной составной и решении ее. Для формирования умения вычленять простую задачу из составной целесообразно предлагать детям решать серии (блоки) задач с нарастающей сложностью. Быстрое решение таких задач дает возможность быстрого узнавания простых задач в составе составных.

Этапы решения задач

Приемы выполнения этапа

1.Анализ содержания задачи.

Понять, выделить величины, отношения, зависимости.

Разбиение на смысловые части, перефразировка (разъяснение слов, замена терминов, убрать несущественные слова).

2.Поиск плана решения.

Установить зависимость и связь между данными и искомыми.

3.Выполнение плана решения задачи.

По действиям, с вопросами, с пояснением, уравнением,…

Связь с условием задачи.

Составить и решить обратные задачи, решение другим способом, методом, прикидка определенного смысла составленного выражения по ходу решения.

На уроках математики по традиционной программе при решении школьных задач учащиеся применяют для их решения определенные знания, умения и навыки. Их роль заключается в обработке и закреплении конкретных умений и навыков. При этом известная алгоритмизация способов их решения ограничивает творческий поиск учащихся. Учащиеся, постоянно следуя жестко предписанным операциям, привыкают к однотипным действиям, быстро теряют свои наклонности к оригинальным решениям, начинают мыслить и действовать по стандарту как все, что естественно, тормозит их творческую активность.

Творчество – это, прежде всего умение, отказаться от стереотипов мышления, только в этом случае можно создать что-то новое. В этом отношении большие возможности имеются на уроках математики, в частности при решении нестандартных задач.

Нестандартная задача в отличие от традиционной не может быть непосредственно (в той форме, в которой она предъявлена) решена по какому-либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствующий его развитию. “Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными, то вы можете испытать ведущее к открытию напряжения ума и насладиться радостью победы”.

Решение нестандартных задач – процесс сложный. При решении таких задач дети встречают трудности. Это объясняется такими причинами: из-за неуверенности в своих возможностях и боязни их трудности, отсутствием необходимого для этого умения и навыков. Только при систематической работе можно достичь желаемого результата, поэтому обучением решению нестандартных задач занимаюсь с первого класса. Занятия проводятся в неделю один раз.

Обязательными при проведении занятий является соблюдение условий безоценочности, принятия, поддержки. Для реализации этих условий нужно восхищаться каждой идеей ребенка, исключается всякая критика личности и деятельность детей, принимаются и выслушиваются все ответы, создается климат взаимного доверия. Использую принципы развивающего обучения: проблемность, диалогичность, индивидуализация.

Занятия проводятся в форме игры, сказки, консультации, матбоя и др. Работают парами, в группах. Учащиеся читают задачу, обсуждают между собой, слушают мнения товарищей, спорят, отстаивают свои мнения, рассуждают, планируют работу. При такой форме работы все активно работают, все хотят выступать, объяснять свои решения.

Данные, полученные за последние годы в области психологии мышления, показывают, что групповые виды работы стимулируют развитие мышления и в частности помогают генерированию творческих идей.

В первом классе при решении простых и сложных математических задач, дети, недолго думая, начинают выполнять какие-либо действия над числами.

Решая нестандартные задачи, дети сами приходят к выводу, что есть задачи, которые не решаются сразу одним действием, что надо анализировать, сравнивать, рассуждать.

Начинаем с таких задач:

1. Решение задач с недостающими данными. “Мальчику купили игрушки: мишку и машину. Машина стоит 25 руб. Сколько стоят вместе?”.

Такие задания способствуют развитию у учащихся нешаблонного анализа.

2. Нерешаемые задачи. Сначала дается задача. “У Кати было 5 кукол, у Светы — 1 кукла. Сколько кукол у девочек?”

А потом предъявляется нерешаемая задача: “У Кати было 5 кукол, у Светы 1 кукла. Сколько кукол у Веры?”

Развивается умение осуществлять анализ новой ситуации.

3. Задания на определение закономерности. “Вставь пропущенное число” ?

Решение таких задач требует умения самостоятельно осуществлять анализ ситуации и формировать гипотезы преобразования данной ситуации.

4. Задания для формирования умения проводить дедуктивные рассуждения: “Гитара – музыкальный инструмент. У Айсена дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома гитара?”. Правильны ли рассуждения или нет. Если нет, то почему?

При решении подобных задач учащиеся должны проводить смекалку, догадаться, что задача вообще не решается или что в задаче есть лишние данные или данных не хватает. Проявлению сообразительности при выполнении подобных заданий способствует формированию такого качества, как гибкость мышления, которая играет важную роль в развитии творческого мышления.

С самого начала при решении нестандартных задач нужно приучить детей изображать отрезками любые объекты, о которых известно, делать таблицы, показать задачи инсценировкой.

5. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

а) “Вася выше Коли и ниже, чем Сеня. Кто из мальчиков самый длинный?”

При анализе решения таких задач желательно сопроводить сюжет рисунком на доске и в тетрадях.

б) “Петя родился на 3 года раньше Вовы. Сейчас Пете 6 лет. Сколько лет Вове?” Для полной наглядности полезно написать первые 10 чисел и расположить буквы П и В рядом соответствующими числами.

в) “5 мальчиков обменялись рукопожатием и подарили друг другу по одной своей фотографии. Сколько было рукопожатий? Сколько понадобилось фотографий?”

Такие задачи выясняются инсценировкой. Мальчики выходят к доске и пожмут друг другу руки, а ученики считают, сколько было рукопожатий. Потом обмениваются фотографиями. Ученики считают, сколько фотографий подарили.

г) “В клетке сидят цыплята и кролики. Всего у них 10 голов и 24 ноги. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов?”

Эта задача решается рисованием.

— Сколько всего было животных? Рисуйте отрезками без ног.

— Прорисуйте по две ноги.

— Сколько ног все нарисовали? (20)

— Сколько осталось нарисовать? (4)

— Сколько кроликов? Сколько цыплят?

При решении нестандартных задач развиваются воображения и фантазия, память и внимание, гибкость мышления, ум ребенка становится острее, формируются умения наблюдать, анализировать явления, проводить сравнения, обобщать факты, делать выводы. Рассуждения учащихся становятся последовательными, доказательными, логичными, а речь — четкой, убедительной, аргументированной.

Решение таких задач расширяет математический кругозор, формирует неординарность мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях, развивает упорство в достижении поставленных целей, прививает интерес к изучению классической математики. Воспитывается любознательность, самостоятельность, активность, инициативность. Все это развивает творческое мышление младших школьников.

Моделирование как один из методических приёмов обучения решению текстовых задач в начальной школе.

Моделирование как средство научного познания стало развиваться в ХХв., получив признание практически во всех отраслях современной науки: техническом конструировании, строительстве и архитектуре, астрономии и физике, химии и биологии и, наконец, в общественных науках. В настоящее время термин «модель» имеет множество смысловых значений.

Модель определяется нами как некий объект (система), исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). При использовании в школе современных, так называемых, проблемных методов обучения процесс обучения имитирует путь научного познания. Поэтому моделирование в школе может использоваться как прием обучения в разных методических системах. Когда учитель ставит цель наглядно показать учащимся движение тел в противоположном направлении, он использует модель – заместитель реальной ситуации, чертеж отрезка прямой линии, по которой движутся объекты, и направление их движения. В этом случае совершенно очевидно используется аналогия. Когда учитель говорит: «Представим себе (предположим) . », тогда происходит абстрагирование. При моделировании как способе познания имеются: 1) субъект познания (учащиеся); 2) объект познания (ситуация, отраженная в тексте задачи); 3) модель, опосредствующая отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Таким образом, поскольку моделирование служит способом, а модель средством познания, учащиеся под руководством учителя пользуются и тем и другим в процессе обучения решению задач. Таким образом, моделирование может успешно применяться как способ алгоритмизации учебной деятельности учащихся в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач.

Мы будем рассматривать такие «модели», которые являются инструментами получения новых знаний. Разграничивая моделирование процесса познания и моделирование задачи как таковой, под моделированием процесса познания понимаем построение, изучение и применение моделей в процессе обучения решению текстовых задач. Под моделированием задачи мы понимаем замену действий с обычными предметами действиями с их моделями – уменьшенными образцами, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: рисунками, схемами, чертежами. С этой целью необходимо производить моделирование содержания текстовой задачи.

Используя моделирование в целях научного познания, следует учитывать, что модели всегда строятся или выбираются человеком для определенной цели, а не даны изначально. Поэтому разные люди, воплощая одну и ту же цель, могут построить разные модели.

Для того чтобы модель была пригодной для указанных целей, она должна обладать соответствующими этим целям признаками. В большинстве случаев модель обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Это значит, что модель-заместитель может быть одновременно и моделью представлением, которая в свою очередь может быть и исследовательской моделью.

Процесс обучающего моделирования изучен . Она выделяет следующие действия, которые входят в процесс моделирования:

1. Анализ материала (текста), подлежащего моделированию: выделение смысловых частей – системы элементов и их отношений, которые подлежат изображению с помощью знаково-символических средств.

2. «Перевод» на язык знаков и символов. Особое внимание обращается на принцип взаимно-однозначного соответствия между выделенными элементами материала и элементами модели. Без этого модель не будет давать правильного представления об изучаемом явлении.

3. Учащиеся должны уметь одинаковые отношения и элементы обозначать одинаковыми символами и знаками, а разные элементы и отношения – разными. (Разумеется, это требование соблюдается в пределах построения какой-либо одной модели, то есть в условиях решения одной задачи).

4. Действие преобразования модели. Это действие позволяет учащимся перегруппировать элементы и т. д.

5. Соотнесение полученной модели с реальностью (с тем, что моделировалось). Это действие позволяет получить новую информацию о моделируемом объекте, глубже проникнуть в его суть. Именно эти действия являются целью моделирования.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований (, , и др.) позволяют утверждать, что назрела необходимость использования способа моделирования в изложении содержания учебных дисциплин и, следовательно, необходимость ознакомления учителей школ с современной научной трактовкой понятий моделирования как способа научного познания и как метода обучения.

Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (выбору или конструированию) моделей для указанных целей. И, как всякая деятельность, она имеет внешнее практическое содержание и внутреннюю психическую жизнь. Следовательно, моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие психические процессы как восприятие, представление, память, воображение, и, конечно, мышление школьников в процессе обучения решению текстовых задач.

Рассмотрение моделей и процесса моделирования дает основание утверждать, что общим свойством всех моделей является их способность так или иначе, отображать действительность.

Возможности применения моделирования в обучении определяются уровнем и степенью подготовленности учащихся к восприятию материала.

Когда учитель начальной школы хочет наглядно показать учащимся способ решения задач на деление на равные части и на деление по содержанию, то под руководством учителя с помощью практических действий с совокупностью предметов (тетрадей, ручек, карандашей и т. д.) выполняются задания типа: а) разложите 6 квадратов в два ряда поровну. Сколько квадратов в каждом ряду? б) 6 квадратов разложите в ряды по 3 квадрата в каждом. Сколько рядов получилось? и др.

Моделирование используется для интерпретации действий с объектами, чтобы сделать представление об использовании этих объектов более доступным. Например, чтобы учащиеся могли пользоваться алгоритмом деления двузначного числа на однозначное, словесное правило заменяется их знаковой моделью:

76 : 4 = (40 + 36):4 = 40 : 4 + 36 : 4 = 10 + 9 = 19, а чтобы создать представление о правилах деления суммы на число, используется знаковая модель типа: (30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 10 + 2 = 12.

Итак, моделирование в обучении математике служит методическим приемом, а именно приемом формирования у учащихся математических понятий и привития им навыков математических действий. В методике обучения математике изображение моделей используется как внешние опоры организации мыслительной деятельности.

Моделирование в современных условиях работы учителя начальных классов является наиболее эффективным и развивающим типом обучения. Моделирование в обучении математике формирует и развивает научно-теоретический тип мышления. Необходимость формирования именно такого типа мышления обусловлена сменой этапа научно-технической революции, информационным пространством, теми задачами, которые в настоящее время решает современная система образования.

В начальном курсе математики учащиеся изучают некоторые знаково-символические модели, оформленные математическим языком в виде: уравнений, геометрических фигур, записей решения текстовых задач, представления записи решения задачи в виде числового выражения и т. п. Нужно ли, чтобы учащиеся знали модельный характер изучаемых математических явлений? Что изменится от того, что они узнают, например, что запись уравнения, выражения или запись решения задачи есть математическая модель текстовых отношений? Изменится то, что учащиеся узнают, что слово «модель» отражает оформленные математическим языком связи и отношения между явлениями реального мира, а также их количественные характеристики. Учащиеся узнают, что текстовая задача – это описание на естественном языке ситуации, отраженной в задаче, что для решения задачи математическими средствами надо построить ее математическую модель. Например, в ходе решения задачи «Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь от одной пристани к другой за 4 часа. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход обратно?», можно использовать графическую модель (см. рис. 1), которая приведет к следующему решению задачи:

1. 30 • 4 = 120 (км) – расстояние между двумя пристанями.

2. 120 : 5 = 24 (км/ч) – скорость теплохода на обратном пути.

Сравним иную графическую иллюстрацию (см. рис. 2) этой задачи:

Рассматривая графическое изображение модели, учащиеся убеждаются в равенстве длины отрезка АВ (см. рис. 1) и длины отрезка АВ? (см. рис. 2), лежащем в основе составления ими уравнения: х • 5 = 30 • 4. В этой ситуации графическое изображение модели служит знаком, направляющим внутреннюю мыслительную деятельность учащихся и оправдывающим ход их рассуждения.

Рассмотрим задачу на движение, решение которой в зависимости от варианта моделирования приводит к осознанию свойства умножения суммы на число: «Две лодки одновременно отошли от двух пристаней, двигаясь навстречу друг другу. Они встретились через 4 ч. Одна лодка проходила в час 15 км, другая – 10 км. Найдите расстояние между пристанями».

Выполненная иллюстрация (см. рис. 3) приводит к следующему способу решения задачи: 15 х 4 + 10 х 4 = 60 + 40 = 100 (км).

Представленное ниже графическое изображение модели той же задачи (см. рис. 4) показывает преодоление длины пути между пристанями в течение каждого часа их совместного движения. Длина этого пути равна сумме (15 + 10) км.

Такой вариант схематического изображения модели задачи приводит к другому способу решения: (15+10) • 4 = 100 (км).

Таким образом, различные способы моделирования одной и той же задачи, представленного в соответствующем графическом изображении, дают учащимся возможность найти все возможные способы ее решения и выбрать наиболее рациональный из них.

Итак, моделирование в обучении математике служит методическим приемом, а именно приемом формирования у учащихся математических понятий и привития им навыков математических действий, а также использования моделей как внешних опор для организации мыслительной деятельности.

Опытно-экспериментальная работа по моделированию, как основному средству формирования умению решать задачи.

Диагностика умения решать задачи учащихся второго класса.

Изучив теоретические положения по использованию моделирования при решении задач в начальных классах, у нас возникло желание и интерес реализовать это на практике.

Для того, чтобы доказать или опровергнуть предположение, что использование моделирования помогает при решении задач, была проведена соответствующая работа.

Исследование проходило на базе МОБУ « Саракташская СОШ №1». Были взяты два класса: 2б класс – экспериментальный и 2а класс – контрольный. Данные классы по уровню развития примерно одинаковые.

Для эксперимента была выбрана тема «Решение текстовых задач».

— провести срезовую работу по решению задач;

— проанализировать допущенные ошибки;

— апробировать систему задач с использованием моделей;

— сравнить количество допущенных ошибок;

— сделать выводы по использованию моделирования при решении задач.

Исследование проводилось в два этапа:

1) входная диагностика;

2) контрольная диагностика.

Цель: выявить, на сколько сформированы навыки решения задач у учащихся 2-х классов на исходном этапе эксперимента.

Для этого была предложена письменная работа. Каждый ученик должен был решить две задачи, которые ранее были прорешены дома или в классе.

Из бочки взяли 7 вёдер воды, после этого в ней осталось 4 ведра. Сколько вёдер воды было в бочке?

У Коли 8 орехов, а у Серёжи на 4 ореха больше. Сколько всего орехов у мальчиков?

Несмотря на то, что задачи были знакомы, многие не справились с их решением и допустили большое количество ошибок.

Получены следующие результаты:

1. Количество учащихся по списку 22

2. Выполняли работу 20

3. Выполнили всю работу без ошибок 9 (45 %)

4. Ошиблись в задаче № %)

5. Ошиблись в задаче № %)

6. Не справились с работой 1 (5 %)

1. Количество учащихся по списку 20

2. Выполняли работу 20

3. Выполнили всю работу без ошибок%)

4. Ошиблись в задаче № %)

5. Ошиблись в задаче № %)

6. Не справились с работой 2 (10 %)

Видно, что почти половина класса написала работу без ошибок. Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что не все ученики смогли четко представить себе жизненной ситуации, отраженной в задаче, не уяснили отношений между величинами в ней, зависимости между данными и искомыми, поэтому иногда просто механически манипулируют числами.

Из предложенной диаграммы можно сделать вывод, что экспериментальный и контрольный классы написали данную работу примерно одинаково. На исходном этапе эксперимента навыки решения задач у учащихся 2 классов находятся на среднем уровне развития. Поэтому, мы поставили перед собой цель: систематически использовать моделирование при решении задач во 2б классе.

Экспериментальному классу, предлагалось каждый урок решать задачи с использованием моделирования. В контрольном классе учащиеся не использовали модели при работе над задачей. Для этого были подобраны специальные упражнения, которые помогли бы детям овладеть умением моделирования.

Цель: выявление наличия или отсутствия умений решать задачи, используя метод моделирования.

Для этого была предложена письменная работа. Каждый ученик должен был решить две задачи.

На одной грядке посадили 3 ряда помидоров, по 9 штук в каждом, на другой – 20 помидоров. Сколько всего помидоров посадили на двух грядках?

В куске 40 метров ткани. Сколько метров ткани осталось в куске, если сшили 9 платьев и на каждое платье пошло по 9 метров ткани?

Получены следующие результаты:

3б класс (экспериментальный):

1. Количество учащихся по списку 22

2. Выполняли работу%)

3. Решили все задачи без ошибок 16(73 %)

4. Ошиблись в первой задаче 3 (13,5 %)

5. Ошиблись во второй задаче 3 (13,5 %)

6. Не справились с решением задач —

3а класс (контрольный):

1. Количество учащихся по списку 20

2. Выполняли работу%)

3. Решили все задачи без ошибок 8 (40 %)

4. Ошиблись в первой задаче 2 (10 %)

5. Ошиблись во второй задаче 8 (40 %)

6. Не справились с решением задач 2 (10%)

Проанализировав данные результаты, можно сделать вывод, что экспериментальный класс выполнил работу намного лучше, чем контрольный. Дети в большинстве своем использовали модели при решении задач. 3б класс (экспериментальный) показал более высокие результаты, чем 3а класс (контрольный). Это можно увидеть, просмотрев сравнительные диаграммы.( См. диаграмма 1 и 2)

Сравнительная диаграмма 1. (экспериментальный – 3бкласс)

Сравнительная диаграмма 2. (контрольный – 3а класс)

Сравнительная диаграмма 3.

Экспериментальный (3б класс) – уровень обученности повысился на 13%.

Контрольный (3а класс) – уровень обученности понизился на 5%.

Таким образом, при решении задач следует использовать метод моделирования, что способствует сознательному и прочному усвоению и пониманию материала.

Благодаря моделированию математические связи и зависимости приобретают для учеников смысл, а в процессе его использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Поэтому моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности.

Мы считаем, что освоение детьми процесса моделирования является одной из основных задач обучения детей математике в курсе начальной школы. Моделирование — это один их ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности. Процесс решения текстовых задач служит благоприятнейшей средой, где отрабатывается действие моделирования, причем умение решать задачи может выступать в качестве одного из критериев сформированности этого действия.

Модели являются эффективным средством поиска решения задачи. В процессе решения детям приходится переходить от одной формы записи к другой и находить среди них оптимальную. Однако не всякая запись будет являться моделью задачи. Для построения модели и ее дальнейшего преобразования необходимо научиться выделять в задаче цель, данные величины, все отношения между величинами, пренебрегать несущественными связями для того, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий найти пути решения.

Процесс моделирования текстовой задачи повышает мыслительную активность детей, способствует развитию вариативности мышления, а значит, делает решение задач более приятным и интересным.

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Учитель должен помнить, что одного составления модели к задаче недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно: составление текстов различных задач по модели, что будет способствовать развитию творческого мышления каждого ребенка.

К сожалению, в целях экономии времени учителя мало внимания уделяют решению задач разными способами. Это может быть объяснено тем, что такие задания в школьных учебниках встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные. Однако опыт показывает, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи. Наряду с этим необходимо отметить, что решение задач разными способами — чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся младших классов. Составление моделей к задаче — незаменимый этап в поиске различных способов ее решения. Когда есть выбор при решении задачи, встает вопрос о нахождении рационального пути ее решения.

Мы считаем, что модель способна помочь не только найти рациональный способ решения задачи, но и проверить правильность решения, поскольку решение задачи разными способами — это один из видов такой проверки.

Использование графического моделирования при решении текстовых задач обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметических действий и предупредит многие ошибки в решении задач.

Модель задачи может быть использована для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает установить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения, помогает увидеть, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин, помогает сделать обобщение теоретических знаний.

Предлагаем учителям чаще и разнообразнее использовать возможности моделирования при обучении учащихся математике.

1.Аргинская . 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. — М.: Федеральный научно-методический центр им. , 2011

2. Аргинская . 3 класс. — М.: Федеральный научно-методический центр им. , 2011

3. Аргинская . Методич. пособие к уч.1-го кл. нач. шк. М.: Федеральный научно-методический центр им. , 2010

4. , Бельтюкова преподавания математики в начальных классах. — М.: «Просвещение», 2009

2. Белошистая графического моделирования при обучению решению задач // начальная школа, 2009, 8.

4. , Стойлова решению задач и моделирование // Начальная школа. – 2008. — № 8. – С. 26-32.

5. Буренкова, подход в обучении решению текстовых задач

///Начальная школа плюс До и После. – 2010. — №10. – С.72-75.

6. Волкова с математическими заданиями 4 кл. М.: «Просвещение», 2009

7. Гнеденко мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. — М.: «Просвещение», 20с.-(Библиотека учителя математики).

8. Демидова решению некоторых видов составных задач // Начальная школа: плюс до и после, 2008, 4.

9. Зайцев для младших школьников. Методическое пособие для учителей и родителей. — М.: «Владос», 2009

10. Истомина . 1 Класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011. – 176 с.

11. Истомина . 2 Класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011. – 176 с.

12. Истомина . 3 Класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011. – 176 с.

13. Истомина . 4 Класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация XХXI век, 2011. – 240 с.

14. Истомина обучения математике в начальных классах. Уч. пособие. — М.: «ACADEMA»

15. Лавриненко научить детей решать задачи. — Саратов: «Лицей», 2009
16. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. В сб. «Школа 2100» вып.4 Приоритетные направлнеия развития образовательной программы — М.: «Баласс», 2010, с.109

17. Мамыкина над задачей // Начальная школа, 2009, 4.

18. Матвеева различного построения моделей в процессе обучения решению текстовых задач // Начальная школа: плюс до и после, 2008, с.9.

19. Менцис смысл математических моделей // Начальная школа. – 2011. — № 10-11. – С. 67-69.

20. Петерсон 1 класс. Методические рекомендации. — М.»БАЛАСС», «С-ИНФО», 2011.

21. Совершенствование работы над составной задачей // начальная школа, 2011, 5.

22. решение задач на равномерное движение // Начальная школа: приложение к газете «Первое сентября», 2010, 19.

23. , Анисимова графовых моделей при решений задач // Начальная школа, 2009, 4.

24. , Целищева как важное средство обучения решению задач // Начальная школа, 2010, 3.

25. Фридман обучения решению математических задач // математика в школе, 2008, 5.

26. Царева решению задач // Начальная школа, 2009, 12.

27. Целищева в процессе решения текстовых задач // Начальная школа, 2010, 3.

28. Шикова моделирования в процессе обучения математике // Начальная школа, 2008, 12.

29. Шикова обучения решению задач, связанных с движением тел // Начальная школа, 2011,5.

30. Российская государственная библиотека [Электронный ресурс] / Центр информ. технологий РГБ; ред. ; Web-мастер — Электрон. дан. — М. : Рос. гос. б-ка, 2012 — Режим доступа: http//www. *****, свободный. — Загл. с экрана. — Яз. рус., англ.

Тема урока. Поиск пути решения текстовой задачи.

Цели урока. Учиться искать пути решения задачи, используя представления о конкретном смысле умножения и деления с опорой на схемы; закрепить устные вычислительные навыки при решении задач; развивать познавательный интерес к математике, как к науке; воспитывать культуру труда; формировать коммуникативные навыки; воспитывать самостоятельность, любознательность и усидчивость. Развивать мыслительные процессы: внимание, память, логическое мышление.

— Прочитайте девиз нашего урока: Слайд 2

С мастерством готовым люди не родятся, а добытым мастерством гордятся.

— Как вы понимаете эти слова?

— Готовы ли вы добывать новые знания, чтобы потом можно было гордиться своим мастерством?

1. Устный счёт. Презентация: Слайд 3 – 14

«Устный счёт от мудрой совы»

1) У какого дерева самый звонкий голос?

40:8+15=20 У берёзы — 27

5х6-4=26 У клёна — 8

2) Найдите закономерность и узнайте, какая самая длинная змея?

48 O Кобра – 36

26Питон — 25

3) Какая птица летает выше всех? Ястреб — 4

6 х 3 + 2 : 5 х 6 + 4 : 7 Сокол — 3

Орёл – 7

4)Чтобы поужинать волку достаточно 2 кг мяса, но если он голоден, то может съесть в 5 раз больше. Сколько мяса может съесть голодный волк?

5) Бобру нужно распилить бревно на 6 частей. Сколько времени ему потребуется, если на один распил уходит 4 минуты?

Учитель: Выполняя задания совы, вы были внимательными, наблюдательными и активными. Быстро и точно давали правильные ответы. Но хороший мастер должен добывать знания, быть творцом своего дела. Исследовать свою работу.

1.2. Постановка проблемы.

Учитель: Сегодня, я предлагаю вам самим определить тему исследования. Есть два варианта. Вы будете искать пути решения задачи или выполнять какое-то задание. Выбрать верный вариант вы сможете, если выполните задание на карточке №1. Положите перед собой карточки. (по вариантам).

— Какое задание вам предстоит выполнить?

Учитель: Приступайте к работе.

Учитель: Какой ответ у вас получился? (10, 20).

— Молодцы! Все правы. И, чтобы никому не было обидно, мы будем искать пути решения задач, выполняя ряд заданий.

1.3. Сообщение темы урока. Слайд 15.

На доске тема: ”Поиск пути решения текстовой задачи”

II. Работа над темой.

Учитель: Из чего состоит задача?

ЗАДАЧА

Учитель. – Что важно знать о задаче?

Ученики – В задаче не должно спрашиваться то, что уже известно. Условие и вопрос должны быть взаимосвязаны.

Слайд 16

· В задаче не должно спрашиваться то, что уже известно.

· Условие и вопрос должны быть взаимосвязаны.

Слайд 17. Учитель: На экране вы видите текст задачи. Прочитайте ее.

В коробке в 4 раз больше карандашей, чем в пенале.

Сколько карандашей в пенале?

— Решить эту задачу вам надо самостоятельно.

Учитель: Почему не можете решить эту задачу?

Дети: Не полное условие. В условии не хватает данных…

Учитель: Выберите данные, которыми можно дополнить условие этой задачи, чтобы ответить на ее вопрос.

а) В пенале 7 карандашей.
б) Всего в коробке и в пенале 35 карандашей.
в) В коробке 28 карандашей.

Обсуждение по каждому варианту. Дополнение условия задачи выбранными данными и ее формулировка.

1. В пенале 7 карандашей, а в коробке в 4 раза больше.

Сколько карандашей в пенале?

Учитель: На вопрос задачи можно ответить, не выполняя арифметического действия.

2. Всего в коробке и в пенале 35 карандашей.

В коробке в 4 раза больше карандашей, чем в пенале.

Сколько карандашей в пенале?

— Можно ли решить эту задачу?

— Давайте проверим наши предположения.

У детей на парте карточки №2 с вариантами схем, которые идентичны схемам на доске.

Слайд19. Учитель: Положите перед собой карточку №2.

1) К | | 2) К | | | | |

П | | П | |

3) К | |

П | | | | |

— Выберите ту схему, которая соответствует условию нашей задачи. (1 и 3 отклоняются) Почему?

— Можно решить задачу, соответствующую схеме 2? Попробуем?

Дети: Мы по схеме видим, что карандашей в коробке и в пенале 5частей, т. е. 1+4=5(ч.), а всего 35 карандашей, отсюда мы можем найти, сколько карандашей в одной части, т. е. пенале: 35:5=7(к) Следовательно, в коробке их будет 7х4=28(к).

Проверьте решение этой задачи.

Дети: 28+7=36(к.)

3. В коробке 28 карандашей.

В коробке в 4 раза больше, чем в пенале.

Сколько карандашей в пенале?

Учитель: В этом условии есть повторяющиеся слова, которые делают текст задачи “некрасивым”. Каким словом – указателем можно заменить слова в коробке? (Это)

В коробке 28 карандашей, это в 4 раза больше, чем в пенале.

Сколько карандашей в пенале?

Учитель: Где карандашей было больше, в коробке или в пенале?

Вспомните на какие два разных вопроса, мы можем ответить выполнив одно действие?

Дети: На сколько карандашей в коробке больше, чем в пенале или на сколько в пенале меньше карандашей, чем в коробке?

Учитель: Как изменится схема?

— Покажем это схематично. Схема на доске.

28

К. | | | | |

П. | | ?

— Как изменится текст задачи? Слайд

Учитель: Запишите решения этой задачи в тетрадь, обратив внимание на словарное слово – карандаш.

Физкультминутка.

Мы проверили осанку

И свели лопатки.

Мы походим на носках,

Мы идём на пятках.

Хорошо мы занимались.

Наши мышцы напрягались,

Красота- залог здоровья!

Занимайтесь на здоровье!

4.1. Работа в группах.

Учитель: У вас на партах на листах лежат схемы разных типов задач. Вы, как маленькие исследователи, рассмотрите внимательно схемы и выберите ту, которая будет соответствовать вашим действиям, составьте по ней задачу, связанную с окружающим миром, чтобы она решалась:

1| | | | |

________________ 24

3)

__2____2___2____2___2__

Презентация по группам.

Выступление детей по группам. Результаты своей работы. Произносят задачу, сверяют её со схемой. Остальные ученики внимательно слушают и доказывают, что выступающая группа справилась с заданием.

7. Рефлексия. Итог урока.

Видео:Математическое моделирование как наука и искусствоСкачать

Схематическое моделирование при решении нестандартных задач в начальных классах

Классы: 1 , 2 , 3 , 4

Ключевые слова: нестандартные задачи , таблица , схема , задача , граф

Презентация к уроку

Рассмотрите иллюстрации на слайде, что объединяет все эти объекты? Как это можно назвать, одним словом?

Аристотель однажды сказал: «Мышление начинается с удивления». Начнём удивляться, а значит мыслить.

Как и любой человек, перед которым стоит, казалось бы, неразрешимая задача, ребёнок в первые мгновения теряется. Один думает, что он совершенно неспособен ни к чему и соответственно интерес к познанию падает или исчезает совсем, другой даже не рассматривает задачу и не ищет никаких способов, и только единицы ребят находят в себе силы, чтобы попробовать решить.

Моя цель как учителя научить находить способы решения, используя разнообразные записи условий, которые помогут осмыслить задачу, принять её.

Что такое – нестандартная задача. Это задача, решение которой подчас выглядит непривычно и непредсказуемо. В своей работе с детьми я стараюсь на уроке или, используя внеурочную деятельность, включать такие задачи в работу.

Постепенно у детей формируется умение воспринимать эти задачи и в результате практических поисков приходить к решению. Ребята учатся отбрасывать способы, не приводящие к правильному решению, не боятся необычных подходов. В результате у детей воспитывается гибкость, подвижность мышления.

Для поиска решения в первую очередь нужно вникнуть в текст задачи и расписать все данные и искомое. Такую запись можно выполнить с помощью рисунка, чертежа, графа, таблицы. Это разнообразные формы моделей, которые помогают ребёнку перейти от абстрактного к конкретному понятию.

Рассмотрим одну из групп нестандартных задач, для решения которой нам нужно будет построить граф.

Граф – это изображение данных с помощью точек.

Рассмотрим на примере задачи:

Четыре волшебницы Бастинда, Гингема, Виллина и Стелла живут в замках. Из каждого замка тропинки ведут к замкам других волшебниц. Сколько всего тропинок соединяют замки волшебниц?

С помощью графа мы наглядно, без каких-либо трудностей находим правильный ответ: 6 тропинок соединяют дворцы волшебниц.

Рассмотрим пример другой задачи, но тоже решаемой с помощью графа.

По дорожке из жёлтого кирпича идут: Элли, Тотошка, Лев, Страшила и Железный Дровосек. Элли идет впереди Железного Дровосека, Страшила впереди Тотошки, Железный Дровосек впереди Страшилы, а Тотошка обогнал Льва. В каком порядке идут сказочные герои?

Запишем решение этой задачи с помощью графа. Изобразим всех героев точками, которые обозначим первыми буквами их имен. И теперь используем не просто линию, а стрелку, демонстрирующую отношение «я иду впереди», поэтому стрелку будем ставить от впереди идущего, к идущему вслед за ним.

Благодаря правильно построенному графу, мы без труда можем ответить на поставленный вопрос: В каком порядке идут сказочные герои?

Ответ: Герои идут в следующем порядке: Элли, Железный Дровосек, Страшила и Тотошка.

Рассмотрим задачу, решение которой удобнее записать с помощью таблицы.

По пути Элли, Тотошка, Железный Дровосек, Страшила и Лев развлекались, как могли. Кто ловил кузнечиков, кто плёл венок из полевых цветов, кто считал жёлтые кирпичи, кто, не умолкая, рассказывал о своей мечте, а кто-то его внимательно слушал. Кто чем был занят, если Тотошке очень нравился венок на голове, впереди идущего. Страшила постоянно сбивал своим рассказом, считающего кирпичи, а Элли постоянно поправляла венок на голове друга. Лев набрал полную лапу кузнечиков, а у Тотошки повисли ушки от долгого рассказа Страшилы

🌟 Видео

Математическая модель задачиСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Математическое моделирование - Лекция 1 (09.02.07)Скачать

Моделирование на основе дифференциальных уравненийСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Уравнение Хопфа как модельное для уравнений Эйлера. Hopf equation as a model for Euler equations.Скачать

Методы моделирования при создании ЛС. Модуль 1-1. Введение в квантово-химическое моделированиеСкачать

Математическое моделированиеСкачать

Три этапа математического моделирования.Задача о садовнике. Алгебра 7 классСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ//#МАТЕМАТИКА_ПРОСТОСкачать

Как распознать талантливого математикаСкачать

2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

Алгебра Урок3 Три этапа математического моделированияСкачать