Схема горнера решение уравнений онлайн калькулятор (2 видео)

Метод Горнера. Деление многочлена онлайн

Коэффициенты многочлена разделенные пробелами

Коэффициент C в биноме вида x-C

Заданный многочлен имеет вид

если разделим его

Получим многочлен

и остаток

Рассмотрим процедуру деления многочлена вида

результат деления есть функция вида

Такой результат получается только в результате деления исходного многочлена на бином без остатка.

В общем же случае говорится, что функцию можно представить в виде

где r — это остаток от деления.

Коэффициенты функции рассчитываются по рекуррентным ф ормулам

Схема Горнера очень удобна своей простой и отсутствием функции деления. Это позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения, а также решать целочисленные уравнения, без каких либо машинных(компьютерных) погрешностей.

Кстати!

Есть новый калькулятор который осуществляет деление многочлена на многочлен с остатком . Работает в том числе и в комплексном поле, кроме того, делящий многочлен может быть на самом деле многочленом(!), а не биномом, как в этой статье.

Кроме этого, эта же схема позволяет решать задачу определения значения функции при каком либо значении. «Фи!» — скажете Вы. «Это же элементарно, любой калькулятор это может».

да конечно, поставивив вместо неизвестного x необходимое значение мы получим нам нужный результат, но какой ценой?

Нам придется возводить значения в степень, что несомненно внесет свою погрешность в расчеты.

Это явно проявляется при работе в поле комплексных чисел, при делении многочлена на комплексный бином.

Нам проще воспользоватся теоремой Безу, которая гласит: Остаток r от деления многочлена на на линейный двучлен равен значению многочлена при

Бот созданный на этом сайте, позволяет Вам решать поставленную задачу методом Горнера, не только для действительных чисел, но и для комплексных. Это расширяет возможности применения бота и позволяет более полно исследовать функцию.

Если делящий многочлен не является одночленом, то стоит воспользоватся калькулятором который делит произвольные многочлены друг на друга с вычислением остатка.Деление многочлена на многочлен.Division of complex polynomials Теперь рассмотрим примеры.

разделить с остатком

Пишем коэффициенты 2 0 -3 2 и через точку запятой -2. Надеюсь понятно почему пишем -2, а не+2 ?

Заданный многочлен имеет вид

если разделим его

Получим многочлен

и остаток

Следующий пример исходный полином тот же, но значение С будет комплексным например 1+i

Пишем коэффициенты 2 0 -3 2 и через точку запятой 1+i

Заданный многочлен имеет вид

если разделим его

Получим многочлен

и остаток

Таким образом мы можем писать любые значения, в том числе и комплексные, в коэффицентах как делимого полинома так и делящего бинома

Содержание

Схема Горнера. Примеры
РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА
Схема Горнера
🎬 Видео

Видео:Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

4	-19	19	6
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

4	-19	19	6
2	4

Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.

4	-19	19	6
2	4	-11

2 ∙ 4 — 19 = -11

4	-19	19	6
2	4	-11	-3

2 ∙ (-11) + 19 = -3

4	-19	19	6
2	4	-11	-3	0

2 ∙ (-3) + 6 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = (x — 2)(4x 2 — 11x — 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x 2 — 11x — 3 = 0
D = b 2 — 4ac = (-11) 2 — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

Видео:Схема Горнера. Объяснение на пальцах. Деление многочленовСкачать

Схема Горнера

Обычно многочлен представлен в виде:

Где a_k это действительные числа, представляющие коэффициенты многочлена и
x k это переменные многочлена.

Вышеупомянутый многочлен называют многочленом n -ой степени, то есть deg(f(x)) = n, где n представляет наивысшую степень переменной.

Схема Горнера для деления многочлена — это алгоритм упрощения вычисления значения многочлена f(x) при определённой величине x = x₀ методом деления многочлена на одночлены (многочлены 1 ой степени). Каждый одночлен включает в себя максимум один процесс умножения и один процесс сложения. Результат, полученный из одного одночлена, прибавляют к результату полученному от следующего одночлена и так далее в аккумулятивной манере. Такой процесс деления также называют синтетическим делением.

Чтобы объяснить вышесказанное, давайте перепишем многочлен в развёрнутой форме;

Это также может быть записано как:

Алгоритм, предложенный данной схемой, основан на нахождении значений одночленов образованных выше, начиная с тех которые заключены в больше скобок и двигаясь наружу, для нахождения значения одночленов во внешних скобках.

Алгоритм приводится в действие, следуя нижеизложенным шагам:

Этот алгоритм может быть также графически визуализирован, принимая во внимание данный многочлен 5 ой степени:

значение которого находится как x = x₀, путём перестановки его следующим образом:

Другим способом представить результаты используя этот алгоритм можно в виде данной ниже таблицы:

K	5	4	3	2	1	0
b₅ = a₅	b₄ = a₄ + x₀b₅	b₃ = a₃ + x₀b₄	b₂ = a₂ + x₀b₃	b₁ = a₁ + x₀b₂	b₀ = a₀ + x₀b₁

Пример: Найти значение многочлена f(x) = x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 7x + 9 at x = 2

Так как многочлен 4 ой степени, то n = 4

K	4	3	2	1	0
Шаг	b₄ = 1	b₃ = 3 + 2 * 1	b₂ = 5 + 2 * 5	b₁ = 7 + 2 * 15	b₀ = 9 + 2 * 37
Результат	1	5	15	37	83

Таким образом, f(2) = 83.

Почему нам это необходимо делать?

Обычно, находя значения многочлена при определённом значении переменной, мы привыкли подставлять это значение в многочлен и производить вычисления. Мы также можем разработать копьютерную программу для математического вычисления, которая является необходимостью, когда мы имеем дело со сложными многочленами высоких степеней.

Метод, с помощью которого компьютер обрабатывает проблему, зависит, в основном, от того как Вы, как программист, описываете это компьютеру. Вы можете разработать Вашу программу для нахождения значения многочлена методом прямой подстановки значения переменной или использовать синтетическое деление, данное в схеме Горнера. Единственное отличие между этими двумя подходами это скорость, с которой компьютер будет находить решение том или ином случае.

Преимущество схемы Горнера в том, что оно снижает количество операций умножения. Принимая во внимание то, что время обработки каждого процесса умножения от 5 до 20 раз больше, чем время обработки процесса сложения, Вы можете утверждать, что построение программы для нахождения значения многочлена по схеме Горнера существенно уменьшит затрачиваемое компьютером время вычисления.