Схема бегущего счета для уравнения переноса

Линейное уравнение переноса

При классификации уравнений с частными производными (2.1) отмечалось, что уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т.п.

В общем случае уравнения переноса могут иметь значительно более сложный вид (например, интегродифференциальное уравнение Больцмана в кинетической теории газов). Однако здесь мы ограничимся линейным уравнением с частными производными первого порядка. Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция Uзависит от времени tи одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.23)

Здесь а — скорость переноса, которую будем считать постоянной и положительной. Это соответствует переносу (распространению возмущений) слева направо в положительном направлении оси х. Правая часть F(x, t) характеризует наличие поглощения (или, наоборот, источников) энергии, частиц и т.п. в зависимости от того, какой физический процесс описывается уравнением переноса.

Характеристики уравнения (2.23) определяются соотношениями х — at = С = const. При постоянном а они являются прямыми линиями, которые в данном случае (а > 0) наклонены вправо (рис. 2.5).

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.5. Область решения

Расчетная область при решении уравнения (2.23) может быть как бесконечной, так и ограниченной. В первом случае, задавая начальное условие при t = 0:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.24)

получаем задачу Коши для полуплоскости Схема бегущего счета для уравнения переносаНа практикеобычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике Схема бегущего счета для уравнения переноса; см. рис. 2.5). Начальное условие (2.24) в этом случае задается на отрезке l1; граничное условие нужно задать при х = 0, т.е. на отрезке l2, поскольку при а > 0 возмущения распространяются вправо. Это условие запишем в виде

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.25)

Таким образом, задача состоит в решении уравнения (2.23) с начальным и граничным условиями (2.24) и (2.25) в ограниченной области G: Схема бегущего счета для уравнения переноса

Убедиться в том, что данная задача поставлена правильно (корректно) можно, проанализировав решение уравнения (2.23), которое при F(x, t) = 0 имеет вид

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.26)

где Н — произвольная дифференцируемая функция. В этом легко убедиться, подставляя (2.26) в уравнение (2.23). Решение (2.26) называется бегущей волной (со скоростью а). Это решение постоянно вдоль каждой характеристики: при х — at = С искомая функция U = Н(хat) = Н(С) постоянна. Таким образом, начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик, поэтому они должны задаваться на отрезках ll2 расчетной области G(см. рис. 2.5).

Можно также построить аналитическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения (2.23). Заметим лишь, что решение этой задачи меняется вдоль характеристики, а не является постоянным.

Рассмотрим разностные схемы для решения задачи (2.23) — (2.25). Построим в области Gравномерную прямоугольную сетку с помощью прямых xi = ih (i =0,1. I) и Схема бегущего счета для уравнения переноса. Вместо функций U(x,t), F(x,t), Ф(х) и Схема бегущего счета для уравнения переносабудем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (xi, tj) соответственно равны Схема бегущего счета для уравнения переносаи Схема бегущего счета для уравнения переноса. Для построения разностной схемы необходимо выбрать шаблон. Примем его в виде правого нижнего уголка(рис. 2.6). При этом входящие в уравнение (2.23) производные аппроксимируются конечно-разностными соотношениями с использованием односторонних разностей:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.27)

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.6. Правый нижний уголок

Решая это разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения Схема бегущего счета для уравнения переносана (j + 1)-ом слое, получаем следующую разностную схему:

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.28)

Полученная схема явная, поскольку значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя Схема бегущего счета для уравнения переносавыражаются явно с помощью соотношений (2.28) через ранее найденные ее значения на предыдущем слое.

Для начала счета по схеме (2.28), т.е. для вычисления сеточной функции на первом слое, необходимы ее значения на слое j= 0. Они определяются начальным условием (2.24), которое записываем для сеточной функции:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.29)

Граничное условие (2.25) также записывается в сеточном виде:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.30)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2.23) — (2.25) сводится к решению разностной задачи (2.28) – (2.30). Найденные значения сеточной функции Схема бегущего счета для уравнения переносапринимаются в качестве значений искомой функции и в узлах сетки.

Алгоритм решения исходной задачи (2.23) — (2.25) с применением рассмотренной разностной схемы достаточно прост. На рис. 2.7 представлена его структурограмма. В соответствии с этим алгоритмом в памяти компьютера хранится весь двумерный массив Схема бегущего счета для уравнения переноса, и он целиком выводится на печать по окончании счета. С целью экономии памяти (и если эти результаты не понадобятся для дальнейшей обработки) можно воспользоваться тем, что схема двухслойная, и хранить лишь значения сеточной функции на двух соседних слоях Схема бегущего счета для уравнения переноса. Рекомендуем читателю соответственным образом модифицировать представленный алгоритм и построить новую структурограмму.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.7. Алгоритм решения линейного уравнения переноса

Укажем теперь некоторые свойства данной разностной схемы. Она аппроксимирует исходную задачу с первым порядком, т.е. невязка имеет порядок O(h+τ). Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.31)

Эти свойства схемы установлены в предположении, что решение U(x, t), начальное и граничное значения Ф(х) и Схема бегущего счета для уравнения переносадважды непрерывно дифференцируемы, а правая часть F(x, t) имеет непрерывные первые производные.

Поскольку схема (2.28) устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то в соответствии с приведенной в разд. 2.1 теоремой сеточное решение сходится к точному с первым порядком при Схема бегущего счета для уравнения переноса. Отметим, что при а 0 эта схема не сходится.

Граничное условие для уравнения переноса (2.23) при а 0). Такая аппроксимация называется противопотоковой и широко используется при численном решении уравнений переноса.

При построении явной разностной схемы (2.28) производная ¶U/х аппроксимировалась с помощью значений сеточной функции на j-ом слое; в результате получилось разностное уравнение (2.27), в котором использовано значение сеточной функции Схема бегущего счета для уравнения переносалишь в одном узле верхнего слоя. Если производную¶U/х аппроксимировать на (j + 1)-ом слое (шаблон изображен на рис. 2.9), то получится неявная схема. Разностное уравнение примет вид

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.34)

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.9. Правый верхний уголок

Разрешая это уравнение относительно Схема бегущего счета для уравнения переноса, приходим к следующей разностной схеме:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.35)

Это двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она безусловно устойчива (при а > 0). Хотя формально данная разностная схема строилась как неявная, практическая организация счета по ней проводится так же, как и для явных схем.

Действительно, в правую часть уравнения (2.35) входит значение Схема бегущего счета для уравнения переносана (j+1)-ом слое, которое при вычислении Схема бегущего счета для уравнения переносауже найдено. При расчете Схема бегущего счета для уравнения переносазначение Схема бегущего счета для уравнения переносаберется из граничного условия (2.30). По объему вычислений и логике программы (см. рис. 2.7) схема (2.35) аналогична схеме (2.28), однако безусловная устойчивость делает ее более удобной, поскольку исключается ограничение на величину шага.

Схему (2.28) можно применять для решения задачи Коши в неограниченной области, поскольку граничное условие (2.30) в этой схеме можно не использовать.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.10. Прямоугольник

Рассмотрим еще одну разностную схему, которую построим на симметричном прямоугольном шаблоне (рис. 2.10). Производная по tздесь аппроксимируется в виде полусуммы отношений односторонних конечных разностей в (i — 1)-м и i-м узлах, а производная по x — в виде полусуммы конечно-разностных соотношений на jми (j + 1)-ом слоях. Правую часть вычисляют в центре ячейки, хотя возможны и другие способы ее вычисления (например, в виде некоторой комбинации ее значений в узлах). В результате указанных аппроксимаций получим разностное уравнение в виде

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.36)

Данная двухслойная четырехточечная схема также формально построена как неявная. Однако из (2.36) можно выразить неизвестное значение Схема бегущего счета для уравнения переносачерез остальные, которые предполагаются известными:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.37)

Построенная схема имеет второй порядок точности. Она устойчива на достаточно гладких решениях.

Схема (2.37) получена для случая а > 0. Аналогичную ей схему при а 0, а2 > 0 — скорости переноса вдоль осей х, у, (2.39) — начальное условие при t= 0; (2.40) — граничные условия при х =0, y= 0.

В трехмерной области (х, у, t) построим разностную сетку, ячейки которой имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого проведем координатные плоскости через точки деления осей х, у, t:

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Значение сеточной функции в узле (i, j, k), с помощью которой аппроксимируются значения Схема бегущего счета для уравнения переноса, обозначим через Схема бегущего счета для уравнения переноса. Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка точности, аналогичную схеме (2.35). Шаблон изображен на рис. 2.11, где выделена одна ячейка разностной сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер k, верхний k+ 1.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.11. Шаблон для двумерного уравнения

По аналогии с (2.34) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (2.38):

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле Схема бегущего счета для уравнения переноса:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.41)

Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму одномерной схемы (2.35). Здесь также счет производится по слоям k= 1,2. К. При k= 0 используется начальное условие (2.39), которое нужно переписать в разностном виде:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2.42)

На каждом слое последовательно вычисляют значения сеточной функции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу может быть различной: двигаются параллельно либо оси х, либо оси у. Во втором случае последовательность вычисляемых значений следующая: Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

На рис. 2.12 показана нумерация узлов, соответствующая данной последовательности вычислений на каждом временном слое. Точками отмечены расчетные узлы сетки, крестиками — граничные узлы, в которых значения сеточной функции задаются граничными условиями (2.40). Эти условия обходимо записать в сеточном виде:

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (2.43)

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.12. Последовательность вычислений

При этом значения Схема бегущего счета для уравнения переносав угловой точке (х = 0, у = 0) в данной разностной схеме не используются.

Алгоритм решения смешанной задачи (2.38 – 2.40) для двумерного уравнения переноса по схеме (2.41) с учетом сеточных начального и граничных условий (2.42) и (2.43) представлен на рис. 2.13. При этом некоторые блоки (вычисление начальных значений uij, значений на границе Схема бегущего счета для уравнения переносапересылка Схема бегущего счета для уравнения переноса) даны схематически, хотя каждый из них представляет циклический алгоритм.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис. 2.13. Алгоритм решения двумерного уравнения переноса

В данном алгоритме предусмотрено хранение в памяти машины не полного трехмерного массива искомых значений Схема бегущего счета для уравнения переноса, а лишь значений на двух слоях: Схема бегущего счета для уравнения переноса— нижний слой, Схема бегущего счета для уравнения переноса— верхний слой (искомые значения). Введен счетчик выдачи l, решение выдается через каждые Lслоев; при L = 1 происходит выдача результатов на каждом слое. Блок «Вычисление Схема бегущего счета для уравнения переноса» вычисляет искомое значение по формуле, которая в принятых в структурограмме обозначениях имеет вид

Видео:Лекция 291. Схема ускоренного переносаСкачать

Лекция 291.  Схема ускоренного переноса

Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова

Институт математики и информатики

Кафедра прикладной математики

“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”

Прикладная математика и информатика”

Специализация “Математическое моделирование”

Едисеева Зоя Никитична

Научный руководитель: Охлопков Н.М

Рецензент: Николаев Владимир Егорович

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

— выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава I . Основные понятия теории разностных схем

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

1.1 Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G=. Разобьем этот отрезок точками xi =i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек xi =i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим Схема бегущего счета для уравнения переноса=<xi =i∙h, i=0,n> , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками xi , i=0,n можно производить произвольным образом — 0 2 (x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

yh =uh (x), x Схема бегущего счета для уравнения переносаwh .

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор Схема бегущего счета для уравнения переноса

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

Схема бегущего счета для уравнения переноса— правая разностная производная; (3)

Схема бегущего счета для уравнения переноса — левая разностная производная; (4)

Схема бегущего счета для уравнения переноса — центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

Схема бегущего счета для уравнения переноса, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

Схема бегущего счета для уравнения переноса

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h0 ,x+h0 ) точки х, h 0 в узле xi Схема бегущего счета для уравнения переносаwh если Схема бегущего счета для уравнения переноса, т.е.

Схема бегущего счета для уравнения переноса, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая Схема бегущего счета для уравнения переноса, имеем

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

так как Схема бегущего счета для уравнения переноса

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xСхема бегущего счета для уравнения переносаG (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xСхема бегущего счета для уравнения переносаГ. (9)

Введем в области Схема бегущего счета для уравнения переносаГ сетку Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

Lh yh =fh , xСхема бегущего счета для уравнения переносаwh , (10)

Lh yhh , xСхема бегущего счета для уравнения переносагh . (11)

Функция yh (x), fh (x), цh (x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций <yh >, <fh >, <цh >, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

Схема бегущего счета для уравнения переноса, 0 0, M2 >0 не зависящие от h и такие, что при любых f hСхема бегущего счета для уравнения переноса Hh , цh Схема бегущего счета для уравнения переносаHh справедлива оценка

Схема бегущего счета для уравнения переносаHh ≤ M1Схема бегущего счета для уравнения переносаHh +M2Схема бегущего счета для уравнения переносаHh . (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Если ввести новую функцию Схема бегущего счета для уравнения переносато получим задачу

Схема бегущего счета для уравнения переноса(18)

Решением задачи (18) является функция

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке Схема бегущего счета для уравнения переноса= <xi =ih, i=0,n> схемой:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(19)

Перепишем схему (19) в виде

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рассмотрим фиксированную точку Схема бегущего счета для уравнения переносаи выберем последовательность сеток Схема бегущего счета для уравнения переносатаких, чтобы Схема бегущего счета для уравнения переноса= i0 ∙ h, т.е. Схема бегущего счета для уравнения переносаявляется узлом сетки Схема бегущего счета для уравнения переносапри h→0.

Вычислим значение у в этой точке y(Схема бегущего счета для уравнения переноса) = yi 0 =s i 0 y0 . Так как │s│ 0

и любых h, то│ y(Схема бегущего счета для уравнения переноса)│≤│s i 0 │ ∙ │y0 │ 0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

Схема бегущего счета для уравнения переноса(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса (23)

Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

Неравенство (22) будет выполнено, если

Схема бегущего счета для уравнения переноса

т.е. Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса.

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса(24)

Схема бегущего счета для уравнения переносат.е.

Схема бегущего счета для уравнения переносапри Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса(25)

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Условие (22) будет выполнено, если

Схема бегущего счета для уравнения переносат.е Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема абсолютно устойчива при

Схема бегущего счета для уравнения переносаи Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

т.е. схема (25) условно устойчива при Схема бегущего счета для уравнения переноса

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u h значение функции u(x) на сеточной области Схема бегущего счета для уравнения переноса, т.е. u h Схема бегущего счета для уравнения переносаHh .

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке Схема бегущего счета для уравнения переносадифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

где yh – решение схемы (14), (15), u h — решение задачи (12), (13) на сетке ͞wh . Подставив yh = zh +u h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

Схема бегущего счета для уравнения переноса(26)

Схема бегущего счета для уравнения переноса(27)

Схема бегущего счета для уравнения переноса(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

Схема бегущего счета для уравнения переносаHh = Схема бегущего счета для уравнения переносаHh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h0 выполняется неравенство

Схема бегущего счета для уравнения переносаHh =Схема бегущего счета для уравнения переносаHh M ∙ h n ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

т.е Схема бегущего счета для уравнения переноса M∙h n .

Теорема . Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство . Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

Схема бегущего счета для уравнения переносаHh = Схема бегущего счета для уравнения переносаHh M1 Схема бегущего счета для уравнения переносаHh + M2 Схема бегущего счета для уравнения переносаHh . (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖zhHh →0 при h→0, если Схема бегущего счета для уравнения переносаHh →0 и Схема бегущего счета для уравнения переносаHh →0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Схема бегущего счета для уравнения переносаHh = О(h n ), Схема бегущего счета для уравнения переносаHh = O(h n ).

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения Схема бегущего счета для уравнения переноса

Для zi получаем схему:

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса(30)

Разложим ui +1 по формуле Тейлора в точке xi , имеем

Схема бегущего счета для уравнения переноса(31)

Подставляя (31) в шi , получим

Схема бегущего счета для уравнения переноса

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

Схема бегущего счета для уравнения переноса

При Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переносаимеем Схема бегущего счета для уравнения переносаВыражая zi через z0 , получим:

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Отсюда видно, что при h→0, │zi │→0. Для точности схемы имеем

│zi +1 │≤ Схема бегущего счета для уравнения переносаh∙│шs │≤ h ∙ i ∙ O(h) = xi ∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения zi = yi –ui получаем разностную схему:

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

Подставляя разложение (31) в шi , получим

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для zi :

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Множитель Схема бегущего счета для уравнения переносапри л > 0. Выражая zi через z0 , имеем

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

Отсюда │zi │≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область Схема бегущего счета для уравнения переноса=<Схема бегущего счета для уравнения переноса>. Ее аппроксимируем сеточной областью:

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса— средний шаг>- сетка по х;

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса— средний шаг>- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть Схема бегущего счета для уравнения переноса— неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

Схема бегущего счета для уравнения переноса— правая разностная производная по х; (1)

Схема бегущего счета для уравнения переноса-сеточная функция;

Схема бегущего счета для уравнения переноса— левая разностная производная по х; (2)

Схема бегущего счета для уравнения переноса— центральная разностная производная по х; (3)

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса— аппроксимация с весом Схема бегущего счета для уравнения переноса; (4)

Схема бегущего счета для уравнения переносаАппроксимация первой производной по t имеет вид:

Схема бегущего счета для уравнения переноса— правая разностная производная по t; (5)

Схема бегущего счета для уравнения переноса— левая разностная производная по t; (6)

Схема бегущего счета для уравнения переноса— центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (8)

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Схема бегущего счета для уравнения переносаНайдем Схема бегущего счета для уравнения переносаи подставим в (1).

Имеем Схема бегущего счета для уравнения переноса= Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переноса

Функцию Схема бегущего счета для уравнения переносаразложим по формуле Тейлора

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

и подставим в Схема бегущего счета для уравнения переносаИмеем

Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка Схема бегущего счета для уравнения переноса.

1.7.2 Формирование сетки

Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переноса (1)

Схема бегущего счета для уравнения переноса, q>1-возраст.геометр.прогрессия

Схема бегущего счета для уравнения переноса, q 1. (3)

2) Схема бегущего счета для уравнения переноса, (4)

Схема бегущего счета для уравнения переноса, q 1 и по формуле (3) n Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса

Пример Пусть Схема бегущего счета для уравнения переноса

вычисляем по формуле (5)

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Можно использовать другой подход:

Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переноса ,

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

Схема бегущего счета для уравнения переноса, Схема бегущего счета для уравнения переноса.

a) Схема бегущего счета для уравнения переноса, q 1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка Схема бегущего счета для уравнения переноса.

2) Квазиравномерная сетка (Схема бегущего счета для уравнения переноса…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии Схема бегущего счета для уравнения переноса.

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии Схема бегущего счета для уравнения переноса.

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Глава II . Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса(1)

удовлетворяющий начальным условиям

Схема бегущего счета для уравнения переноса(2)

и граничным условиям:

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса(3)

1) Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переносаl=1, T=1

точное решение: Схема бегущего счета для уравнения переноса

2) Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

точное решение: Схема бегущего счета для уравнения переноса

3) Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

точное решение: Схема бегущего счета для уравнения переноса

4) Схема бегущего счета для уравнения переноса

Схема бегущего счета для уравнения переноса

точное решение: Схема бегущего счета для уравнения переноса

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p0 >0, pN >0) или p(x,t) 0, (p0 >0, pN >0)

Разностная схема (правая) имеет вид

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (1′)

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (2′)

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (3′)

из (1′) Схема бегущего счета для уравнения переноса,

где Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса.

2) p(x,t) Схема бегущего счета для уравнения переноса; (1″)

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (2″)

Схема бегущего счета для уравнения переноса; (3″)

из (1′) Схема бегущего счета для уравнения переноса,

где Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переносаСхема бегущего счета для уравнения переноса.

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

Видео:Вычислительная математика 23 Квазилинейное уравнение переносаСкачать

Вычислительная математика 23 Квазилинейное уравнение переноса

Линейное уравнение переноса

Лекция №10

Уравнение переноса

Линейное уравнение переноса

Задачи описания переноса частиц в веществе весьма разнообразны: это перенос электронов, протонов и нейтронов, перенос гамма излучения, диффузия одного вещества в другом, конвективный перенос в жидкости и в газе и прочие задачи. Задачи подобного типа могут быть сведены к решению нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Например, кинетическая теория газов базируется на уравнении Больцмана, которое имеет следующий вид:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(1)

где Схема бегущего счета для уравнения переноса— функция распределения газа атомов, скорости пары атомов до и после взаимодействия с дифференциальным сечением Схема бегущего счета для уравнения переноса(dw = 2p sinc dc — телесный угол, где c — угол отклонения при взаимодействии пары атомов) удовлетворяют законам сохранения импульса и энергии:

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Решение уравнения Больцмана (1) крайне сложно и выходит за пределы данного курса лекций. Ограничимся решением линейного дифференциального уравнения вида:

Схема бегущего счета для уравнения переноса, (2)

где c — вектор скорости переноса. Многомерность уравнения переноса (2) не вносит ничего принципиально нового, поэтому в дальнейшем будем исследовать одномерное уравнение переноса с постоянной, если не оговорено противное, скоростью c:

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (3)

Если правая часть уравнения (3) равна нулю, уравнение можно решить в общем виде, тогда решение выступает в форме бегущей волны

Схема бегущего счета для уравнения переноса, (4)

где f = f(x) — произвольная функция. Согласно (4) видно, что параметр c выступает в качестве скорости переноса, причем при c > 0 волна двигается слева направо. Учитывая (4), определим типичные корректные постановки задачи решения уравнения переноса (3).

Смешанная задача Коши. Зададим начальные и граничные условия вида:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(5)

Решение задачи (3), (5) однозначно определено в области G(t,x) = [0,T] ´ [0,a], если начальное и граничное условия непрерывны вместе со своими p-и производными, при этом выполнены условия согласования в точке стыка начальных и граничных условий. Для случая f(t,x) = 0 условия стыковки имеют вид:

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

которое следует из точного решения задачи (3), (5):

Схема бегущего счета для уравнения переноса(6)

Для случая, когда f(t,x) непрерывна вместе с (p-1)-й производной, то решение u(t,x) непрерывно в G вместе с p-й производной.

Задача Коши. Определим начальные данные на полубесконечной прямой: Схема бегущего счета для уравнения переноса, x Î (-¥,a]. В этом случае решение однозначно определено в области G(t,x) = [0,+¥) ´ (-¥,a]. Гладкость решения соответствует гладкости начального данного Схема бегущего счета для уравнения переносаи правой части f(t,x).

Характеристики уравнения (3) имеют вид xct = const и являются прямыми линиями при c = const. Решение (4) однородного уравнения (3) постоянно вдоль характеристики, поэтому говорят, что начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик. На рис.1 приведена иллюстрация такого переноса на примере решения (6). Точка стыка начального и граничного условий развернутая во времени является характеристикой, которая представлена на рис.1 красной стрелкой.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис.1. Перенос начального и граничного условия уравнения
переноса по характеристикам

Рассмотрим разностные схемы решения смешанной задачи Коши. Они называются схемами бегущего счета. Схемы бегущего счета легко обобщаются на многомерный случай, они просты и позволяют решать уравнения переноса с различного рода усложнениями.

Для решения задачи (3), (5) в области G(t,x) = [0,T] ´ [0,a] введем равномерную для простоты сетку с шагами t и h по времени и пространству соответственно. Рассмотрим четыре расчетных шаблона, представленных на рис.2.

Название: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: дипломная работа Добавлен 06:44:11 13 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 1664 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать
Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса
Рис.2,а. Трехточечный шаблонРис.2,б. Трехточечный шаблонРис.2,в. Трехточечный шаблонРис.2,г. Четырехточечный шаблон

Составим разностные схемы ко всем четырем шаблонам на рис.2.

Схема бегущего счета для уравнения переноса(7а)

Схема бегущего счета для уравнения переноса, (7б)

Схема бегущего счета для уравнения переноса, (7в)

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (7г)

Во всех четырех схемах правая часть выбиралась в центре ячейки. Возможен и другой способ аппроксимации правой части.

Все четыре разностные схемы (7а) — (7г), по существу, являются явными. Во всех схемах значение Схема бегущего счета для уравнения переносаявно выражается через Схема бегущего счета для уравнения переноса. Решение на нулевом слое известно из начального условия, т.е. Схема бегущего счета для уравнения переноса. Для вычисления решения на следующем слое Схема бегущего счета для уравнения переносаиз граничного условия находим Схема бегущего счета для уравнения переноса, это позволяет найти Схема бегущего счета для уравнения переноса, далее вычисляется Схема бегущего счета для уравнения переносаи т.д. Таким образом находится решение на первом слое, аналогично находится решение на втором слое и т.д. Именно в связи с тем, что решение вычисляется слой за слоем слева направо, схемы (7а) — (7г) называются схемами бегущего счета.

Алгоритмы бегущего счета обеспечивают существование и единственность решений при любых Схема бегущего счета для уравнения переноса. Поэтому для доказательства сходимости остается разобраться с аппроксимацией и устойчивостью разностных схем. Поскольку граничное условие воспроизводится точно, постольку исследование устойчивости по нему не требуется.

Разностная схема (7а). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (7а). Для этого разложим решение и правую часть в окрестности точки (tm,xn) в ряд Тейлора, считая непрерывность всех требуемых производных:

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Учитывая эти разложения, находим невязку схемы (7а):

Схема бегущего счета для уравнения переноса

т.е. схема (7а) имеет аппроксимацию первого порядка в норме Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Устойчивость исследуем с помощью принципа максимума, формулировка и доказательство которого приведены в лекции №9. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (формула (64) в лекции №9 при C = 0) дает следующее ограничение:

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

которое сводится к так называемому условию Куранта

Согласно (8), разностная схема (7а) является условно устойчивой© в норме Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Методом разделения переменных можно доказать необходимость условия (8) для обеспечения устойчивости. Подставим в схему (7а) следующие величины:

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

тогда множитель роста гармоники

Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Условие устойчивости Схема бегущего счета для уравнения переносаобеспечивается, когда

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (9)

Выполнение неравенства (9) при произвольном q обеспечено, когда r £ 1, т.е. при выполнении условия Куранта. При нарушении условия Куранта, т.е. при r > 1 неравенство (9) не выполняется при всех q, а только при некоторых. Так, при r >> 1 неравенство (9) перепишется в виде: cos qh £ ½, т.е. амплитуды некоторых гармоник растут при переходе со слоя на слой и схема неустойчива по начальным данным.

Устойчивость по правой части согласно формуле (65) лекции №9 обеспечивается при k = 1 в норме Схема бегущего счета для уравнения переноса, когда верно условие Куранта.

В итоге схема (7а) при выполнении условия Куранта сходится в Схема бегущего счета для уравнения переносас первым порядком точности.

В качестве примера рассмотрим численное решение задачи

Схема бегущего счета для уравнения переноса(10)

Задача (10) имеет следующее аналитическое решение:

Схема бегущего счета для уравнения переноса(11)

На листинге_№1 приведен код программы численного решения задачи (10) по разностной схеме (7а). На рис.3,а приведено трехмерное изображение решения u(t,x) при выполнении условия Куранта, а на рис.3,б приведено решение при нарушении условия Куранта. Видно, появление неустойчивости в решении при нарушении условия (8).

%Программа численного решения уравнения

%очищаем рабочее пространство

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем шаг по пространству

%рассматривается два варианта расчета

%при tau=h/c (условие Куранта выполняется) и

%при tau=1.12*h/c (условие Куранта нарушено)

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7а)

%определяем левое граничное значение

%рисуем численное решение уравнения переноса u(t,x)

surf(ti,xi,y); [xi ti]=meshgrid(x,t);

%рисуем численное решение уравнения переноса u(t,x)

Схема бегущего счета для уравнения переноса Схема бегущего счета для уравнения переноса
Рис.3,а. Численное решение уравнения (10) по разностной схеме (7а) при выполнении условия КурантаРис.3,б. Численное решение уравнения (10) по разностной схеме (7а) с нарушением условия Куранта (8)

Сравним теперь численное решение задачи (10) и аналитическое решение (11). На листинге_№2 приведен код соответствующей программы. В программе считается, что t = 0.5h/c и варьируется шаг по пространству. На рис.4 приведен итог работы кода программы листинга_№2 в виде кривой зависимости отношения ошибки численного решения к шагу сетки const(h) = Схема бегущего счета для уравнения переносав зависимости от шага сетки h. Из условия аппроксимации разностной схемой (7а) исходного уравнения (3) с порядком O(t + h) следует, что величина const(h) должна стремиться к некоторой константе по мере того, как h ® 0. Такая тенденция видна на рис.4.

%Программа численного решения уравнения

%сравнение его с аналитическим решением

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем количество делений шага h пополам

%делим шаг h пополам

%определяем шаг по времени, который считается

%пропорциональным шагу по пространству

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7а)

%определяем левое граничное значение

%определяем ошибку численного решения в норме C

%и делим ее на шаг сетки h

%рисуем зависимость предстепенной константы от

%функция, возвращающая аналитическое решение

Разностная схема (7б) исследуется аналогично. Для исследования аппроксимации разложение в ряд Тейлора удобно проводить в окрестности узла (xn 1,tm + t). Для дважды непрерывно дифференцируемого решения данная схема при выполнении условия устойчивости

обеспечивает сходимость со скоростью O(t + h).

Разностная схема (7в) безусловно устойчива и на дважды непрерывно дифференцируемых решениях сходится к точному решению со скоростью O(t + h).

Разностная схема (7г) симметричная и следует ожидать, что порядок ее аппроксимации выше, чем в предыдущих членах. Для оценки порядка аппроксимации разложение в ряд Тейлора удобно провести в окрестности центра ячейки Схема бегущего счета для уравнения переноса. После проведения соответствующих выкладок, можно найти оценку невязки:

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (13)

Тем самым схема (7г) имеет второй порядок аппроксимации, когда решения имеют непрерывные производные вплоть до третьей.

Схема бегущего счета для уравнения переноса

Рис.4. Зависимость предстепенной константы в оценке ошибки
численного решения от шага сетки

Устойчивость разностной схемы (7г) исследуем с помощью метода разделения переменных. Подставляя в (7г)

Схема бегущего счета для уравнения переноса,

найдем значение коэффициента роста Фурье-гармоники при переходе со слоя на слой:

Схема бегущего счета для уравнения переноса. (14)

Из оценки (14) следует, что Схема бегущего счета для уравнения переносадля любой гармоники и при любых соотношениях шагов. Это означает, что схема (7г) безусловно и равномерно устойчива по начальным данным в норме Схема бегущего счета для уравнения переноса.

Исследуем разностную схему (7г) на предмет сходимости в двух нормах: Схема бегущего счета для уравнения переносаи Схема бегущего счета для уравнения переноса. На листинге_№3 приведен код программы для изучения сходимости схемы (7г) на примере численного решения задачи (10) и сравнения полученного решения с аналитическим решением (11). В программе вычисляются зависимости предстепенных констант const(h) для двух норм от шага сетки h, при этом считается, что t = 0.5h/c. Согласно теоретическим оценками, предстепенная константа const(h) = Схема бегущего счета для уравнения переносадолжна выходить на некоторое постоянное значение при h ® 0.

%Программа численного решения уравнения

%сравнение его с аналитическим решением

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем количество делений шага h пополам

%делим шаг h пополам

%определяем шаг по времени, который считается

%пропорциональным шагу по пространству

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7г)

💥 Видео

27. Уравнения переносаСкачать

27. Уравнения переноса

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 19Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 19

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 18Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 18

№6. Уравнения в частных производных. Уравнения переноса, мелкой воды.Скачать

№6. Уравнения в частных производных. Уравнения переноса, мелкой воды.

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 22Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 22

Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 класс

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Решение уравнений в частных производныхСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Решение уравнений в частных производных

Вычислительная математика 17 Теория разностных схемСкачать

Вычислительная математика 17 Теория разностных схем

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2. Семинары - Лекция 6Скачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2. Семинары - Лекция 6

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)

Теоретические основы электротехники 24. Расчёт схем с помощью теории графов, топологических матриц.Скачать

Теоретические основы электротехники 24. Расчёт схем с помощью теории графов, топологических матриц.

Построение логических схемСкачать

Построение логических схем

Как решать уравнения по схеме ГорнераСкачать

Как решать уравнения по схеме Горнера

Вычислительная математика 18 Численные методы решения уравнений в частных производныхСкачать

Вычислительная математика 18 Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 8. Булева интерпретация релейных схемСкачать

Лекция 8. Булева интерпретация релейных схем
Поделиться или сохранить к себе: