Схема бегущего счета для уравнения переноса

При классификации уравнений с частными производными (2.1) отмечалось, что уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т.п.

В общем случае уравнения переноса могут иметь значительно более сложный вид (например, интегродифференциальное уравнение Больцмана в кинетической теории газов). Однако здесь мы ограничимся линейным уравнением с частными производными первого порядка. Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция Uзависит от времени tи одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

(2.23)

Здесь а — скорость переноса, которую будем считать постоянной и положительной. Это соответствует переносу (распространению возмущений) слева направо в положительном направлении оси х. Правая часть F(x, t) характеризует наличие поглощения (или, наоборот, источников) энергии, частиц и т.п. в зависимости от того, какой физический процесс описывается уравнением переноса.

Характеристики уравнения (2.23) определяются соотношениями х — at = С = const. При постоянном а они являются прямыми линиями, которые в данном случае (а > 0) наклонены вправо (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Область решения

Расчетная область при решении уравнения (2.23) может быть как бесконечной, так и ограниченной. В первом случае, задавая начальное условие при t = 0:

(2.24)

получаем задачу Коши для полуплоскости На практикеобычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике ; см. рис. 2.5). Начальное условие (2.24) в этом случае задается на отрезке l1; граничное условие нужно задать при х = 0, т.е. на отрезке l2, поскольку при а > 0 возмущения распространяются вправо. Это условие запишем в виде

(2.25)

Таким образом, задача состоит в решении уравнения (2.23) с начальным и граничным условиями (2.24) и (2.25) в ограниченной области G:

Убедиться в том, что данная задача поставлена правильно (корректно) можно, проанализировав решение уравнения (2.23), которое при F(x, t) = 0 имеет вид

(2.26)

где Н — произвольная дифференцируемая функция. В этом легко убедиться, подставляя (2.26) в уравнение (2.23). Решение (2.26) называется бегущей волной (со скоростью а). Это решение постоянно вдоль каждой характеристики: при х — at = С искомая функция U = Н(х — at) = Н(С) постоянна. Таким образом, начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик, поэтому они должны задаваться на отрезках l1и l2 расчетной области G(см. рис. 2.5).

Можно также построить аналитическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения (2.23). Заметим лишь, что решение этой задачи меняется вдоль характеристики, а не является постоянным.

Рассмотрим разностные схемы для решения задачи (2.23) — (2.25). Построим в области Gравномерную прямоугольную сетку с помощью прямых xi = ih (i =0,1. I) и . Вместо функций U(x,t), F(x,t), Ф(х) и будем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (xi, tj) соответственно равны и . Для построения разностной схемы необходимо выбрать шаблон. Примем его в виде правого нижнего уголка(рис. 2.6). При этом входящие в уравнение (2.23) производные аппроксимируются конечно-разностными соотношениями с использованием односторонних разностей:

(2.27)

Рис. 2.6. Правый нижний уголок

Решая это разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения на (j + 1)-ом слое, получаем следующую разностную схему:

(2.28)

Полученная схема явная, поскольку значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя выражаются явно с помощью соотношений (2.28) через ранее найденные ее значения на предыдущем слое.

Для начала счета по схеме (2.28), т.е. для вычисления сеточной функции на первом слое, необходимы ее значения на слое j= 0. Они определяются начальным условием (2.24), которое записываем для сеточной функции:

(2.29)

Граничное условие (2.25) также записывается в сеточном виде:

(2.30)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2.23) — (2.25) сводится к решению разностной задачи (2.28) – (2.30). Найденные значения сеточной функции принимаются в качестве значений искомой функции и в узлах сетки.

Алгоритм решения исходной задачи (2.23) — (2.25) с применением рассмотренной разностной схемы достаточно прост. На рис. 2.7 представлена его структурограмма. В соответствии с этим алгоритмом в памяти компьютера хранится весь двумерный массив , и он целиком выводится на печать по окончании счета. С целью экономии памяти (и если эти результаты не понадобятся для дальнейшей обработки) можно воспользоваться тем, что схема двухслойная, и хранить лишь значения сеточной функции на двух соседних слоях . Рекомендуем читателю соответственным образом модифицировать представленный алгоритм и построить новую структурограмму.

Рис. 2.7. Алгоритм решения линейного уравнения переноса

Укажем теперь некоторые свойства данной разностной схемы. Она аппроксимирует исходную задачу с первым порядком, т.е. невязка имеет порядок O(h+τ). Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид

(2.31)

Эти свойства схемы установлены в предположении, что решение U(x, t), начальное и граничное значения Ф(х) и дважды непрерывно дифференцируемы, а правая часть F(x, t) имеет непрерывные первые производные.

Поскольку схема (2.28) устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то в соответствии с приведенной в разд. 2.1 теоремой сеточное решение сходится к точному с первым порядком при . Отметим, что при а 0 эта схема не сходится.

Граничное условие для уравнения переноса (2.23) при а 0). Такая аппроксимация называется противопотоковой и широко используется при численном решении уравнений переноса.

При построении явной разностной схемы (2.28) производная ¶U/¶х аппроксимировалась с помощью значений сеточной функции на j-ом слое; в результате получилось разностное уравнение (2.27), в котором использовано значение сеточной функции лишь в одном узле верхнего слоя. Если производную¶U/¶х аппроксимировать на (j + 1)-ом слое (шаблон изображен на рис. 2.9), то получится неявная схема. Разностное уравнение примет вид

(2.34)

Рис. 2.9. Правый верхний уголок

Разрешая это уравнение относительно , приходим к следующей разностной схеме:

(2.35)

Это двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она безусловно устойчива (при а > 0). Хотя формально данная разностная схема строилась как неявная, практическая организация счета по ней проводится так же, как и для явных схем.

Действительно, в правую часть уравнения (2.35) входит значение на (j+1)-ом слое, которое при вычислении уже найдено. При расчете значение берется из граничного условия (2.30). По объему вычислений и логике программы (см. рис. 2.7) схема (2.35) аналогична схеме (2.28), однако безусловная устойчивость делает ее более удобной, поскольку исключается ограничение на величину шага.

Схему (2.28) можно применять для решения задачи Коши в неограниченной области, поскольку граничное условие (2.30) в этой схеме можно не использовать.

Рис. 2.10. Прямоугольник

Рассмотрим еще одну разностную схему, которую построим на симметричном прямоугольном шаблоне (рис. 2.10). Производная по tздесь аппроксимируется в виде полусуммы отношений односторонних конечных разностей в (i — 1)-м и i-м узлах, а производная по x — в виде полусуммы конечно-разностных соотношений на j—ми (j + 1)-ом слоях. Правую часть вычисляют в центре ячейки, хотя возможны и другие способы ее вычисления (например, в виде некоторой комбинации ее значений в узлах). В результате указанных аппроксимаций получим разностное уравнение в виде

(2.36)

Данная двухслойная четырехточечная схема также формально построена как неявная. Однако из (2.36) можно выразить неизвестное значение через остальные, которые предполагаются известными:

(2.37)

Построенная схема имеет второй порядок точности. Она устойчива на достаточно гладких решениях.

Схема (2.37) получена для случая а > 0. Аналогичную ей схему при а 0, а2 > 0 — скорости переноса вдоль осей х, у, (2.39) — начальное условие при t= 0; (2.40) — граничные условия при х =0, y= 0.

В трехмерной области (х, у, t) построим разностную сетку, ячейки которой имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого проведем координатные плоскости через точки деления осей х, у, t:

Значение сеточной функции в узле (i, j, k), с помощью которой аппроксимируются значения , обозначим через . Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка точности, аналогичную схеме (2.35). Шаблон изображен на рис. 2.11, где выделена одна ячейка разностной сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер k, верхний k+ 1.

Рис. 2.11. Шаблон для двумерного уравнения

По аналогии с (2.34) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (2.38):

Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле :

(2.41)

Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму одномерной схемы (2.35). Здесь также счет производится по слоям k= 1,2. К. При k= 0 используется начальное условие (2.39), которое нужно переписать в разностном виде:

(2.42)

На каждом слое последовательно вычисляют значения сеточной функции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу может быть различной: двигаются параллельно либо оси х, либо оси у. Во втором случае последовательность вычисляемых значений следующая:

На рис. 2.12 показана нумерация узлов, соответствующая данной последовательности вычислений на каждом временном слое. Точками отмечены расчетные узлы сетки, крестиками — граничные узлы, в которых значения сеточной функции задаются граничными условиями (2.40). Эти условия обходимо записать в сеточном виде:

. (2.43)

Рис. 2.12. Последовательность вычислений

При этом значения в угловой точке (х = 0, у = 0) в данной разностной схеме не используются.

Алгоритм решения смешанной задачи (2.38 – 2.40) для двумерного уравнения переноса по схеме (2.41) с учетом сеточных начального и граничных условий (2.42) и (2.43) представлен на рис. 2.13. При этом некоторые блоки (вычисление начальных значений uij, значений на границе пересылка ) даны схематически, хотя каждый из них представляет циклический алгоритм.

Рис. 2.13. Алгоритм решения двумерного уравнения переноса

В данном алгоритме предусмотрено хранение в памяти машины не полного трехмерного массива искомых значений , а лишь значений на двух слоях: — нижний слой, — верхний слой (искомые значения). Введен счетчик выдачи l, решение выдается через каждые Lслоев; при L = 1 происходит выдача результатов на каждом слое. Блок «Вычисление » вычисляет искомое значение по формуле, которая в принятых в структурограмме обозначениях имеет вид

Видео:Вычислительная математика 23 Квазилинейное уравнение переносаСкачать

Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова

Институт математики и информатики

Кафедра прикладной математики

“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”

Прикладная математика и информатика”

Специализация “Математическое моделирование”

Едисеева Зоя Никитична

Научный руководитель: Охлопков Н.М

Рецензент: Николаев Владимир Егорович

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

— выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава I . Основные понятия теории разностных схем

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

1.1 Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G=. Разобьем этот отрезок точками x_i =i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x_i =i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим =<x_i =i∙h, i=0,n> , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками x_i , i=0,n можно производить произвольным образом — 0 2 (x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

y_h =u_h (x), x w_{h .}

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

— правая разностная производная; (3)

— левая разностная производная; (4)

— центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h₀ ,x+h₀ ) точки х, h 0 в узле x_i w_h если , т.е.

, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор .

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая , имеем

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xG (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xГ. (9)

Введем в области Г сетку

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

L_h y_h =f_h , xw_h , (10)

L_h y_h =ц_h , xг_h . (11)

Функция y_h (x), f_h (x), ц_h (x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций <y_h >, <f_h >, <ц_h >, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

, 0 0, M₂ >0 не зависящие от h и такие, что при любых f _h H_h , ц_h H_h справедлива оценка

_Hh ≤ M₁ ∙_Hh +M₂ ∙_{Hh .} (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Если ввести новую функцию то получим задачу

(18)

Решением задачи (18) является функция

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = <x_i =ih, i=0,n> схемой:

(19)

Перепишем схему (19) в виде

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i₀ ∙ h, т.е. является узлом сетки при h→0.

Вычислим значение у в этой точке y() = y_{i 0} =s i 0 y₀ . Так как │s│ 0

и любых h, то│ y()│≤│s i 0 │ ∙ │y₀ │ 0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(23)

.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Неравенство (22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

(24)

т.е.

при

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

(25)

Условие (22) будет выполнено, если

т.е

Схема абсолютно устойчива при

и

т.е. схема (25) условно устойчива при

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u h значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u h H_h .

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

где y_h – решение схемы (14), (15), u h — решение задачи (12), (13) на сетке ͞w_h . Подставив y_h = z_h +u h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

(26)

(27)

(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

_Hh = _Hh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h₀ выполняется неравенство

_Hh =_Hh ≤ M ∙ h n ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

т.е ≤ M∙h n .

Теорема . Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство . Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

_Hh = _Hh ≤ M_{1 Hh} + M_{2 Hh} . (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z_h ‖_Hh →0 при h→0, если _Hh →0 и _Hh →0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh = О(h n ), _Hh = O(h n ).

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

(30)

Разложим u_{i +1} по формуле Тейлора в точке x_i , имеем

(31)

Подставляя (31) в ш_i , получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При имеем Выражая z_i через z₀ , получим:

Отсюда видно, что при h→0, │z_i │→0. Для точности схемы имеем

│z_{i +1} │≤ h∙│ш_s │≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i ∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i = y_i –u_i получаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в ш_i , получим

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i :

Множитель при л > 0. Выражая z_i через z₀ , имеем

Отсюда │z_i │≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область =<>. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, — средний шаг>- сетка по х;

, — средний шаг>- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть — неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

— правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

— левая разностная производная по х; (2)

— центральная разностная производная по х; (3)

— аппроксимация с весом ; (4)

Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

— правая разностная производная по t; (5)

— левая разностная производная по t; (6)

— центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

; (8)

; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Найдем и подставим в (1).

Имеем = ,

Функцию разложим по формуле Тейлора

,

и подставим в Имеем

,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .

1.7.2 Формирование сетки

, (1)

, q>1-возраст.геометр.прогрессия

, q 1. (3)

2) , (4)

, q 1 и по формуле (3) n

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

Можно использовать другой подход:

, , ,

,

, .

a) , q 1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка .

2) Квазиравномерная сетка (…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) .

Глава II . Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

(1)

удовлетворяющий начальным условиям

(2)

и граничным условиям:

(3)

1)

l=1, T=1

точное решение:

2)

точное решение:

3)

точное решение:

4)

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p₀ >0, p_N >0) или p(x,t) 0, (p₀ >0, p_N >0)

Разностная схема (правая) имеет вид

; (1′)

; (2′)

; (3′)

из (1′) ,

где .

2) p(x,t) ; (1″)

; (2″)

; (3″)

из (1′) ,

где .

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

Видео:27. Уравнения переносаСкачать

Линейное уравнение переноса

Лекция №10

Уравнение переноса

Линейное уравнение переноса

Задачи описания переноса частиц в веществе весьма разнообразны: это перенос электронов, протонов и нейтронов, перенос гамма излучения, диффузия одного вещества в другом, конвективный перенос в жидкости и в газе и прочие задачи. Задачи подобного типа могут быть сведены к решению нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Например, кинетическая теория газов базируется на уравнении Больцмана, которое имеет следующий вид:

(1)

где — функция распределения газа атомов, скорости пары атомов до и после взаимодействия с дифференциальным сечением (dw = 2p sinc dc — телесный угол, где c — угол отклонения при взаимодействии пары атомов) удовлетворяют законам сохранения импульса и энергии:

Решение уравнения Больцмана (1) крайне сложно и выходит за пределы данного курса лекций. Ограничимся решением линейного дифференциального уравнения вида:

, (2)

где c — вектор скорости переноса. Многомерность уравнения переноса (2) не вносит ничего принципиально нового, поэтому в дальнейшем будем исследовать одномерное уравнение переноса с постоянной, если не оговорено противное, скоростью c:

. (3)

Если правая часть уравнения (3) равна нулю, уравнение можно решить в общем виде, тогда решение выступает в форме бегущей волны

, (4)

где f = f(x) — произвольная функция. Согласно (4) видно, что параметр c выступает в качестве скорости переноса, причем при c > 0 волна двигается слева направо. Учитывая (4), определим типичные корректные постановки задачи решения уравнения переноса (3).

Смешанная задача Коши. Зададим начальные и граничные условия вида:

(5)

Решение задачи (3), (5) однозначно определено в области G(t,x) = [0,T] ´ [0,a], если начальное и граничное условия непрерывны вместе со своими p-и производными, при этом выполнены условия согласования в точке стыка начальных и граничных условий. Для случая f(t,x) = 0 условия стыковки имеют вид:

,

которое следует из точного решения задачи (3), (5):

(6)

Для случая, когда f(t,x) непрерывна вместе с (p-1)-й производной, то решение u(t,x) непрерывно в G вместе с p-й производной.

Задача Коши. Определим начальные данные на полубесконечной прямой: , x Î (-¥,a]. В этом случае решение однозначно определено в области G(t,x) = [0,+¥) ´ (-¥,a]. Гладкость решения соответствует гладкости начального данного и правой части f(t,x).

Характеристики уравнения (3) имеют вид x — ct = const и являются прямыми линиями при c = const. Решение (4) однородного уравнения (3) постоянно вдоль характеристики, поэтому говорят, что начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик. На рис.1 приведена иллюстрация такого переноса на примере решения (6). Точка стыка начального и граничного условий развернутая во времени является характеристикой, которая представлена на рис.1 красной стрелкой.

Рис.1. Перенос начального и граничного условия уравнения
переноса по характеристикам

Рассмотрим разностные схемы решения смешанной задачи Коши. Они называются схемами бегущего счета. Схемы бегущего счета легко обобщаются на многомерный случай, они просты и позволяют решать уравнения переноса с различного рода усложнениями.

Для решения задачи (3), (5) в области G(t,x) = [0,T] ´ [0,a] введем равномерную для простоты сетку с шагами t и h по времени и пространству соответственно. Рассмотрим четыре расчетных шаблона, представленных на рис.2.

Рис.2,а. Трехточечный шаблон	Рис.2,б. Трехточечный шаблон	Рис.2,в. Трехточечный шаблон	Рис.2,г. Четырехточечный шаблон

Составим разностные схемы ко всем четырем шаблонам на рис.2.

(7а)

, (7б)

, (7в)

. (7г)

Во всех четырех схемах правая часть выбиралась в центре ячейки. Возможен и другой способ аппроксимации правой части.

Все четыре разностные схемы (7а) — (7г), по существу, являются явными. Во всех схемах значение явно выражается через . Решение на нулевом слое известно из начального условия, т.е. . Для вычисления решения на следующем слое из граничного условия находим , это позволяет найти , далее вычисляется и т.д. Таким образом находится решение на первом слое, аналогично находится решение на втором слое и т.д. Именно в связи с тем, что решение вычисляется слой за слоем слева направо, схемы (7а) — (7г) называются схемами бегущего счета.

Алгоритмы бегущего счета обеспечивают существование и единственность решений при любых . Поэтому для доказательства сходимости остается разобраться с аппроксимацией и устойчивостью разностных схем. Поскольку граничное условие воспроизводится точно, постольку исследование устойчивости по нему не требуется.

Разностная схема (7а). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (7а). Для этого разложим решение и правую часть в окрестности точки (t_m,x_n) в ряд Тейлора, считая непрерывность всех требуемых производных:

,

,

.

Учитывая эти разложения, находим невязку схемы (7а):

т.е. схема (7а) имеет аппроксимацию первого порядка в норме .

Устойчивость исследуем с помощью принципа максимума, формулировка и доказательство которого приведены в лекции №9. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (формула (64) в лекции №9 при C = 0) дает следующее ограничение:

,

которое сводится к так называемому условию Куранта

Согласно (8), разностная схема (7а) является условно устойчивой© в норме .

Методом разделения переменных можно доказать необходимость условия (8) для обеспечения устойчивости. Подставим в схему (7а) следующие величины:

,

тогда множитель роста гармоники

.

Условие устойчивости обеспечивается, когда

. (9)

Выполнение неравенства (9) при произвольном q обеспечено, когда r £ 1, т.е. при выполнении условия Куранта. При нарушении условия Куранта, т.е. при r > 1 неравенство (9) не выполняется при всех q, а только при некоторых. Так, при r >> 1 неравенство (9) перепишется в виде: cos qh £ ½, т.е. амплитуды некоторых гармоник растут при переходе со слоя на слой и схема неустойчива по начальным данным.

Устойчивость по правой части согласно формуле (65) лекции №9 обеспечивается при k = 1 в норме , когда верно условие Куранта.

В итоге схема (7а) при выполнении условия Куранта сходится в с первым порядком точности.

В качестве примера рассмотрим численное решение задачи

(10)

Задача (10) имеет следующее аналитическое решение:

(11)

На листинге_№1 приведен код программы численного решения задачи (10) по разностной схеме (7а). На рис.3,а приведено трехмерное изображение решения u(t,x) при выполнении условия Куранта, а на рис.3,б приведено решение при нарушении условия Куранта. Видно, появление неустойчивости в решении при нарушении условия (8).

%Программа численного решения уравнения

%очищаем рабочее пространство

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем шаг по пространству

%рассматривается два варианта расчета

%при tau=h/c (условие Куранта выполняется) и

%при tau=1.12*h/c (условие Куранта нарушено)

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7а)

%определяем левое граничное значение

%рисуем численное решение уравнения переноса u(t,x)

surf(ti,xi,y); [xi ti]=meshgrid(x,t);

%рисуем численное решение уравнения переноса u(t,x)

Рис.3,а. Численное решение уравнения (10) по разностной схеме (7а) при выполнении условия Куранта	Рис.3,б. Численное решение уравнения (10) по разностной схеме (7а) с нарушением условия Куранта (8)

Сравним теперь численное решение задачи (10) и аналитическое решение (11). На листинге_№2 приведен код соответствующей программы. В программе считается, что t = 0.5h/c и варьируется шаг по пространству. На рис.4 приведен итог работы кода программы листинга_№2 в виде кривой зависимости отношения ошибки численного решения к шагу сетки const(h) = в зависимости от шага сетки h. Из условия аппроксимации разностной схемой (7а) исходного уравнения (3) с порядком O(t + h) следует, что величина const(h) должна стремиться к некоторой константе по мере того, как h ® 0. Такая тенденция видна на рис.4.

%Программа численного решения уравнения

%сравнение его с аналитическим решением

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем количество делений шага h пополам

%делим шаг h пополам

%определяем шаг по времени, который считается

%пропорциональным шагу по пространству

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7а)

%определяем левое граничное значение

%определяем ошибку численного решения в норме C

%и делим ее на шаг сетки h

%рисуем зависимость предстепенной константы от

%функция, возвращающая аналитическое решение

Разностная схема (7б) исследуется аналогично. Для исследования аппроксимации разложение в ряд Тейлора удобно проводить в окрестности узла (x_{n —1},t_m + t). Для дважды непрерывно дифференцируемого решения данная схема при выполнении условия устойчивости

обеспечивает сходимость со скоростью O(t + h).

Разностная схема (7в) безусловно устойчива и на дважды непрерывно дифференцируемых решениях сходится к точному решению со скоростью O(t + h).

Разностная схема (7г) симметричная и следует ожидать, что порядок ее аппроксимации выше, чем в предыдущих членах. Для оценки порядка аппроксимации разложение в ряд Тейлора удобно провести в окрестности центра ячейки . После проведения соответствующих выкладок, можно найти оценку невязки:

. (13)

Тем самым схема (7г) имеет второй порядок аппроксимации, когда решения имеют непрерывные производные вплоть до третьей.

Рис.4. Зависимость предстепенной константы в оценке ошибки
численного решения от шага сетки

Устойчивость разностной схемы (7г) исследуем с помощью метода разделения переменных. Подставляя в (7г)

,

найдем значение коэффициента роста Фурье-гармоники при переходе со слоя на слой:

. (14)

Из оценки (14) следует, что для любой гармоники и при любых соотношениях шагов. Это означает, что схема (7г) безусловно и равномерно устойчива по начальным данным в норме .

Исследуем разностную схему (7г) на предмет сходимости в двух нормах: и . На листинге_№3 приведен код программы для изучения сходимости схемы (7г) на примере численного решения задачи (10) и сравнения полученного решения с аналитическим решением (11). В программе вычисляются зависимости предстепенных констант const(h) для двух норм от шага сетки h, при этом считается, что t = 0.5h/c. Согласно теоретическим оценками, предстепенная константа const(h) = должна выходить на некоторое постоянное значение при h ® 0.

%Программа численного решения уравнения

%сравнение его с аналитическим решением

%определяем параметр скорости переноса c,

%а также отрезок времени интегрирования T и

%диапазон изменения пространственной

%определяем количество делений шага h пополам

%делим шаг h пополам

%определяем шаг по времени, который считается

%пропорциональным шагу по пространству

%определяем сетки по времени и по пространству

%определяем начальное значение u(0,x)=x^3/(12c^2)

%организуем расчет по разностной схеме (7г)

💡 Видео

Лекция 291. Схема ускоренного переносаСкачать

№6. Уравнения в частных производных. Уравнения переноса, мелкой воды.Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 19Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 18Скачать

6-2. Метод сетокСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Решение уравнений. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую. Математика 6 классСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Решение уравнений в частных производныхСкачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 22Скачать

Вычислительная математика 17 Теория разностных схемСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2. Семинары - Лекция 6Скачать

Построение логических схемСкачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Решение задачи теплопроводности (Явная разностная схема)Скачать

Как решать уравнения по схеме ГорнераСкачать

Теоретические основы электротехники 24. Расчёт схем с помощью теории графов, топологических матриц.Скачать

Вычислительная математика 18 Численные методы решения уравнений в частных производныхСкачать

Лекция 8. Булева интерпретация релейных схемСкачать