Сформулируйте теорему о корне уравнения (8 видео)

Сформулируйте теорему о корне уравнения

Теория по алгебре >> Теорема о корне.

Теорема о корне.

При решении уравнеий полезно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае, если f — убывающая функция, рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Надо показать, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Содержание

∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними
Арифметический квадратный корень
Свойства квадратного корня
Теорема 1
Теорема 2
Теорема 3
О некоторых других свойствах арифметических корней
Вынесение и внесение множителя из-под и под знак корня
Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс
📹 Видео

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними

Видео:Теорема Безу. 10 класс.Скачать

Арифметический квадратный корень

Видео:Рациональные корни многочлена с целым показателем. 10 класс.Скачать

Свойства квадратного корня

При работе с квадратным корнем можно пользоваться его определёнными свойствами, перечисленными ниже.

Теорема 1

Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей (множителей может быть любое число). a ⁢ b = a × b ∀ a &geq; 0 , b &geq; 0 . Из доказательства очевидно, что его можно легко расширить, и свойство является частным случаем свойства арифметического корня n-ой степени — решения уравнения x n =a (в целом, тоже верно и для второго и третьего свойства).

Доказательство (для удобства возьмём два множителя, хотя то же верно для любого количества).
◽ a × b 2 = a 2 × b 2 = a ⁢ b ◽

Теорема 2

Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. a b = a b (Конечно, подразумевается, что а≥0 и b>0; однако, важно помнить, что b именно строго больше 0, а иначе дробь не будет иметь смысла, т.к. деление на ноль не определено).

Доказательство (конечно, мы опять берём существующую положительную дробь, чтобы выражение имело смысл). ◽ a b 2 = a b и a b 2 = a 2 b 2 = a b ⇒ a b = a b ◽

Теорема 3

При любом значении a и натуральном k верно равенство a 2 ⁢ k = a k

Доказательсво. Пусть k =0 для начала, докажем a 2 = a Это очевидно верно, так как арифметический корень не может быть отрицательным. Применим данное тождество (полезное часто при извлечении корня из выражений с переменными и т.д.) к a 2 ⁢ k , где k ∈ ℕ, получим: ◽ a 2 k = a k 2 = a k ◽ Ещё одно свойство или скорее теорема, связанная с неравенствами, рассматривается на этой странице.

О некоторых других свойствах арифметических корней

Надо отметить, что для арифметических корней n-ой степени будет также верно следующее: x m n = x n ⁢ m , поэтому x = x 4 (что является достаточно интуитивным). Расширить все выше приведённые доказательства для корней n-ой степени нетрудно, но они для упрощения здесь специально не берутся.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Вынесение и внесение множителя из-под и под знак корня

Кроме перечисленных выше и нескольких очевидных операций из-под знака корня можно выносить числа, переменные и т.д. Это можно делать, используя первую теорему для выделения множителя, который является квадратом. Пример: 8 = 2 3 = 2 2 × 2 = 2 2 × 2 = 2 2 .

Как уже было выяснено, можно выносить множители из-под корня, но, конечно, существует и обратное действие — внесение множителей под корень. Пример: 3 × 5 = 3 2 × 5 = 9 × 5 = 4 5

Видео:САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать

Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

Использование особенностей монотонности функций для активизации творческого мышления учащихся.
Формирование у школьников навыков применения теоремы о корне для решения уравнений.
Умение обобщать, конкретизировать и анализировать изучаемый материал.
Обучение учащихся нестандартным способам решения задач.
Развитие логики и навыков самостоятельной работы.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра 9” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра 9” (авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.), книга для преподавателей “Алгебра 9” (авторы: Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А.), карточки с памяткой для самостоятельной работы по данной теме, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Предложенный урок расширяет программу по теме “Функции”. Учащиеся уже знакомы с основными свойствами функций, владеют навыками грамотного чтения графиков и умеют применять алгоритм исследования функций. На уроке основной упор делается на использование свойств монотонности функций для решения уравнений. Рассматривается теорема о корне. В ходе урока каждый учащийся должен достигнуть определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно.

Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать геометрическую модель теоремы о корне и уметь установить связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

2-й уровень: каждый ученик должен знать алгоритм решения уравнений с использованием теоремы о корне и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На уроке рассматриваются различные виды уравнений, решаемых с помощью теоремы о корне. В дальнейшем учащимся предлагается использовать предложенный алгоритм в домашней контрольной работе (§16, задачник “Алгебра 9” авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.). Для организации проверочной работы используются задания из практикума (составитель автор).

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (7 мин.).

Учитель: Необходимо повторить пройденное для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала. На протяжении изучения темы “Функции” вы постепенно учились читать графики функций, используя алгоритм для их исследования. Остановимся на особенностях возрастающей и убывающей функций. Подборка материала подготовлена учащимися.

Выступление учащихся сопровождается показом презентации.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Сегодня изучение нового материала мы начнем с доказательства теоремы о корне.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Геометрическая модель теоремы о корне может быть представлена как на экране, так и на плакате.

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующие примеры:

Сколько корней имеет уравнение?

(1);

— x 5 = (2).

Учащиеся отмечают, что на своих областях определения функция возрастает, а функция y = — x 5 – убывает соответственно. По теореме о корне как уравнение (1), так и уравнение (2) имеют по одному корню.

Учитель: Откроем учебник на 98 стр. и обратим внимание на то, что при решении уравнения x 5 =3-2x (пример 1, рис. 79) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следствие, которое следует из теоремы о корне:

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

По учебнику разбирается пример 1.

Опираясь на это утверждение, можем изящно решить уравнение

x 5 = 3 — 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

заметим, что при x=1 выполняется равенство 1 5 =3-2·1,
значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
функция у = 3 — 2x убывает, а функция у = x 5 возрастает,
значит, корень у заданного уравнения только один и
этим корнем является значение x=1.

Учитель: Определим сколько решений имеет уравнение x 5 = — 3x +5 с комментированием на месте.

Решение:

рассмотрим функции у = x 5 и у = — 3x + 5; заметим, что область определения этих функций одинакова: D(у)=(-; +);
на D(у) функция у = — 3x + 5 убывает, а функция у = x 5 возрастает. Значит, по следствию из теоремы о корне, у заданного уравнения только один корень, т.е. уравнение, имеет одно решение.

Учитель: Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи, используя теорему о корне (следствие).

На экране высвечивается обобщенный алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b).
Ввести две функции y=f(x) и y=g(x).
Исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x)возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

IV этап. Усвоение новых знаний (23 мин.)

Учитель: Карточки и памятка для самостоятельной работы лежат у вас на столах. Приступим к выполнению заданий.

Так как нетрадиционные методы решения задач вызывают трудность у большинства учащихся, то следующее уравнение предлагается решить вместе. Для оформления решения учащийся по желанию выходит к доске (дается уравнение 2 уровня).

Решить уравнение: (3).

Решение: в начале запишем уравнение (3) в виде

затем воспользуемся теоремой о корне.

при x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

После того как данное задание выполнено, класс приступает к решению уравнений в зависимости от восприятия материала:

1) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными уравнениями;
2) те, у кого решение уравнений не вызывает затруднений.

В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 уровень.

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5. (Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

1. (Ответ: 1);

2. (Ответ: -1);

3. (Ответ: -2);

4. (Ответ: 2);

5. (Ответ: -3);

6. (Ответ: -2);

7. (Ответ: 2).

Необходимо проверить правильность выполнения заданий, поэтому от каждой группы выступает ученик, демонстрируя решение одного из уравнений на доске.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и ученики выясняют трудности при решении уравнений и обсуждают, на что они должны обратить внимание при выполнении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: задание на дом следующее: доделать задания на карточках; если на уроке выполнено все, то воспользоваться дополнительной карточкой из материалов для самостоятельной работы; домашняя контрольная работа (§16, задачника “Алгебра 9”).

Заключительное слово учителя (1мин). Любовь к предмету не возникает просто так. Двигаясь постепенно от простого к сложному, анализируя и обобщая учебный материал, интересуясь “изящными” способами решения, можно понять красоту алгебры. Сегодня знание теории и практические навыки, что равнозначно, показали многие из вас. Особую благодарность заслуживают ребята, создавшие прекрасную презентацию. Постижение мира бесконечно: дерзайте, творите, ошибайтесь, ищите ответы на вопросы, только не “проспите” лучшие годы. “Жажда к жизни” – залог успеха.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению уравнений.

Теорема о корне.

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

Алгоритм решения уравнения f(x)=a с использованием теоремы о корне:

определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
исследовать функцию y=f(x), стоящую в левой части уравнения, на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), то уравнение f(x)=a имеет единственный корень – x=b (ссылка на теорему).

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Рекомендации:

Сначала, если это необходимо, уравнение привести к такому виду, чтобы было удобно исследовать на монотонность функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, а затем следовать согласно следующему алгоритму:

определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
ввести две функции y=f(x) и y=g(x);
исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).