Сформулируйте определение простейшего показательного уравнения

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Простейшие показательные уравнения

После того, как мы разобрались с вопросом, что такое показательные уравнения, следует остановиться на так называемых простейших показательных уравнениях. Тому есть две причины. Первая – изучение чего-то нового всегда логично начинать с самого простого. Вторая – к простейшим показательным уравнениям часто сводятся решения более сложных показательных уравнений. Так давайте выясним, какие показательные уравнения называют простейшими, и научимся решать простейшие показательные уравнения.

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Какие показательные уравнения называют простейшими

простейшими показательными уравнениями называют уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 и a≠1 .

В точности так про простейшие показательные уравнения сказано в учебнике Колмогорова [1, с. 229].

Прежде чем привести примеры простейших показательных уравнений, отвечающих этому определению, считаем нужным сказать пару слов об условиях a>0 и a≠1 .

Первое из них объясняется определением степени, ведь степень с действительным показателем мы определили лишь для положительных оснований. Это не означает, что не нужно изучать уравнения a x =b при a и a=0 , ведь они не лишены смысла. Уравнения a x =b при a имеют смысл на множестве целых чисел, а уравнения a x =b при a=0 , то есть, уравнения 0 x =b , имеют смысл на множестве положительных действительных чисел. Решение уравнений a x =b при a имеет свою специфику, с которой лучше разбираться отдельно. Уравнения a x =b при a=0 есть частный случай уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

А зачем в определении простейших показательных уравнений второе условие a≠1 ? Это условие исключает из рассмотрения уравнения 1 x =b . Это тоже уравнения, сводящиеся к числовым равенствам.

Итак, дальше в этой статье мы считаем, что a>0 , a≠1 .

Теперь обещанные примеры. Начнем с уравнения 2 x =8 . Это есть уравнение a x =b при a=2 , b=8 , значит, это простейшее показательное уравнение. Аналогично, 3 x =7 , , 2 x =0 , 5 x =−25 – простейшие показательные уравнения.

Еще вспомним, что числа могут быть записаны не только в виде отдельных чисел, но и в виде числовых выражений. Этот факт и данное выше определение позволяют нам утверждать, что уравнения A x =B , где A и В – числовые выражения, причем A>0 , A≠1 , это тоже простейшие показательные уравнения. Так 5 x =5 3 , , – это простейшие показательные уравнения.

Встречаются и немного отличающиеся взгляды на простейшие показательные уравнения. Вот тому пример

Простейшим показательным уравнением является уравнение a x =b , где a и b – данные положительные числа ( a≠1 ), а x – неизвестная величина [2, с. 111].

От первого определения оно отличается тем, что дано ограничение на число b – оно подразумевается положительным. В первом определении про число b ничего не сказано, поэтому, оно подразумевается любым (отрицательным, нулем, положительным). Если придерживаться второго определения, то два из приведенных выше уравнений, а именно, 2 x =0 и 5 x =−25 , не будут простейшими.

Считать или не считать простейшими уравнения a x =b при b=0 и b – судить не нам. Главное – уметь их решать. Давайте научимся это делать.

Видео:Показательные уравнения. Часть 1 из 3. Простейшие (?)Скачать

Как решать простейшие показательные уравнения? Алгоритм

Судя по названию, простейшие показательные уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , должны решаться легко. Так оно и есть:

• Если b или b=0 , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то исходное уравнение a x =b нужно преобразовать к виду a x =a c (кроме случаев, когда оно сразу имеет такой вид), откуда очевиден единственный корень x=c .

Например, простейшие показательные уравнения 3 x =−5 и (0,3) x =0 не имеют решений, так как в правой части первого из них находится отрицательное число, а в правой части второго – нуль. А чтобы решить простейшее показательное уравнение 2 x =8 , его нужно преобразовать к виду 2 x =2 3 , что позволяет увидеть его единственное решение x=3 .

После знакомства с логарифмом появляется возможность обходиться без преобразования исходного простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c , а сразу записывать решение через логарифм как x=log_ab .

Почему решать простейшие показательные уравнения нужно именно так, обоснуем в следующем пункте. А сейчас запишем алгоритм решения простейших показательных уравнений:

Чтобы решить простейшее показательное уравнение a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , надо

1. Убедиться, что перед нами именно простейшее показательное уравнение. Для этого нужно проверить, что уравнение имеет вид a x =b , и убедиться, что a>0 и a≠1 .
2. Посмотреть, каким числом является b : отрицательным, нулем, или положительным.
   • Если b или b=0 , то сделать вывод об отсутствии решений.
   • Если b>0 , то перейти к следующему шагу.
3. Если b представляет собой степень a c , то перейти к следующему шагу. В противном случае представить число b в виде степени a c , то есть, перейти от исходного уравнения a x =b к уравнению a x =a c .
4. От равенства степеней a x =a c перейти к равенству их показателей, то есть, к равенству x=c . Это даст единственный корень исходного уравнения.

Видео:Показательные уравнения за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Теоретическое обоснование

Решение показательных уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , b – некоторое число, базируется на следующих двух утверждениях:

• Если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Сразу заметим, что сейчас в школе показательные уравнения обычно изучают до знакомства с логарифмом. По этой причине сначала обходят обращение к логарифму. И делают это так: рассматривают только такие простейшие показательные уравнения, в которых число b представляет собой некоторую степень числа a . То есть, сначала рассматривают уравнения a x =a c , где c – некоторое число. Единственным решением уравнения a x =a c является x=c . А уже после знакомства с логарифмом возвращаются к показательным уравнениям, и уже тогда говорят про единственное решение простейшего показательного уравнения a x =b в виде x=log_ab .

Сейчас мы приведем доказательство этих утверждений, чтобы стало понятно, откуда они произрастают. После этого рассмотрим решения нескольких простейших показательных уравнений, которые покрывают все случаи: и когда b , и когда b=0 , и когда b можно представить в виде степени числа a без использования логарифма, и когда без логарифма не обойтись.

Если b=0 или b , то уравнение a x =b , где a>0 , a≠1 не имеет решений.

Из определения степени вытекает, что если a>0 , то a x >0 при любом значении переменной x . Из этого следует, что ни при каком значении переменной x равенство a x =b не может быть достигнуто, если b=0 или b . Значит, если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений, что и требовалось доказать.

Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Доказательство позволяют провести известные свойства показательной функции y=a x , а именно, область значений показательной функции и свойство монотонности.

Для доказательства существования корня у простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 нам потребуется известная область значений показательной функции y=a x . Ею является множество всех положительных чисел. Так как у нас по условию b>0 , то b принадлежит области значений показательной функции y=a x . То есть, функция y=a x обязательно принимает значение b . Из этого следует, что уравнение a x =b имеет решение.

Мы доказали, что если b>0 , то простейшее показательное уравнение a x =b обязательно имеет решение. Докажем, что это решение единственное. Для этого обопремся на монотонность показательной функции и воспользуемся методом от противного. Предположим, что кроме корня x₁ уравнение a x =b имеет еще один корень x₂ , отличный от x₁ , то есть, x₁≠x₂ . Так как и x₁ и x₂ – корни уравнения a x =b , то a x₁ =b и a x₂ =b – верные числовые равенства. Свойства числовых равенств позволяют нам проводить почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства a x₁ =b равенство a x₂ =b , это дает a x₁ −a x₂ =b−b и дальше a x₁ −a x₂ =0 , что то же самое a x₁ =a x₂ . Но из монотонности функции y=a x и из неравенства x₁≠x₂ следует, что либо a x₁ >a x₂ , либо a x₁ x₂ . А это противоречит результату a x₁ =a x₂ . Так доказано, что простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 имеет единственный корень.

Итак, мы доказали что уравнение a x =b при b>0 имеет корень, причем единственный. Докажем, что этим корнем является логарифм числа b по основанию a , то есть, x=log_ab . Это напрямую следует из определения логарифма.

Остается показать, что если b=a c , то корнем уравнения a x =b является x=c . Это очевидно. Уравнение a x =b при b=a c имеет вид a x =a c , корень этого уравнения очевиден x=c . Здесь к месту напомнить, что две степени с одинаковыми положительными и не равными единице основаниями равны тогда и только тогда, когда их показатели равны (это известное свойство степеней). К этому же результату мы придем, если будем действовать через логарифмы: x=log_ab – корень уравнения a x =b , при b=a c имеем x=log_ab=log_aa c =с .

Утверждение полностью доказано.

Видео:Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

Решение общими методами

Алгоритм с его теоретическим обоснованием представляет собой полноценный метод решения простейших показательных уравнений. Однако стоит иметь в виду, что простейшие показательные уравнения можно решать при помощи хорошо известных методов решения уравнений. А именно:

• Вывод о том, что простейшее показательное уравнение a x =b при b или b=0 не имеет решений, можно сделать на основании метода оценки.
• Преобразование простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c проводится в соответствии методом решения уравнений через преобразования, а следующий переход к равенству x=c делается в согласии с методом уравнивания показателей, который по сути является методом освобождения от внешней функции.
• Простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 можно решать и методом логарифмирования, подразумевающим переход от a x =b к log_aa x =log_ab . А следующий переход от уравнения log_aa x =log_ab к x=log_ab , дающий нам конечный результат, проводится в согласии с методом решения уравнений через преобразования.

Видео:Показательные уравнения. Задание 13 | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать

Примеры решений

В предыдущих пунктах мы разобрали теорию решения простейших показательных уравнений и записали алгоритм. Давайте перейдем к практике, и разберем решения нескольких характерных примеров.

Сначала покажем решения уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , а число b в правой части — отрицательное. Выше мы показали, что такие уравнения не имеют решений.

б)

в)

Теперь покажем решения простейших показательных уравнения с нулями в правых частях. Такие уравнения тоже не имеют решений.

б)

Теперь давайте рассмотрим примеры решения простейших показательных уравнений, отвечающих виду a x =a c . Их единственное решение очевидно: x=c .

Решите показательные уравнения:

а)

б)

в)

г)

В предыдущем примере мы имели дело с очень удобными для решения простейшими показательными уравнениями, имеющими вид a x =a c . Давайте рассмотрим решения чуть более сложных уравнений, которые изначально имеют вид, отличный от a x =a c , но могут быть приведены к нему посредством преобразования числовых выражений, находящихся в правых частях.

б)

в)

г)

Но иногда число или числовое выражение в правой части уравнения невозможно представить в виде степени с нужным основанием без использования логарифма. Так что стоит остановиться на случаях, когда без логарифмов не обойтись.

б)

На простейшие показательные уравнения внешне похожи уравнения a f(x) =b , где f(x) – некоторое выражение с переменной x . Например, 2 x−1 =2 2 , . Про их решение мы поговорим чуть позже. До этого нужно разобрать алгоритм решения показательных уравнений.

Видео:Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

Показательные уравнения — алгоритмы и примеры вычисления

Показательные уравнения, как и любые другие, требуют поиска неизвестной переменной. Особенность в том, что она или выражение с ней находится в показателе степени.

Видео:Решение показательных уравнений 1Скачать

Основные понятия и свойства

В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе.

Она может быть одна или являться частью выражения. Если она появляется в другом месте, приходится иметь дело с уравнениями смешанного типа.

Школьники знакомятся с простыми вычислениями уже в 7 классе, более сложные решают выпускники и студенты вузов. Если фигурирует несколько переменных и представлено больше одного уравнения, говорят об их системе.

Тогда необходимо выразить одну неизвестную через другую и искать результат методом подстановки. Поэтому умение находить значения, в которые возводят натуральные числа, пригодится на долгие годы.

Изучаются также и показательные функции: она может быть восходящей и нисходящей, в зависимости от значения переменной или выражения.

2 x = 4 – показательное уравнение с иксом в степени;

2 x = x + 12 – смешанное, ведь икс находится также и в основании.

2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;

Если вместо знака «=» используются обозначения «>», « 1 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 9 0 = 1.

2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде:

3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р 5 = р·р·р·р·р.

4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p 5 ·p 3 = p 5+3 = p 8 .

5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p 9 /p 3 = p 9-3 = p 6 .

6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p 3 ) 4 = p 3*4 = p 12 .

Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат.

Видео:✓ Показательное уравнение | ЕГЭ-2017. Задание 12. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Примеры решения показательных уравнений

Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.

Задание 1

Упростить и решить уравнение: 5 3x+14 = 5 7+2x

В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:

Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:

Задание 2

Выполнить вычисление и найти х:

Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:

Задание 3

Упростить и найти значение х:

Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот.

Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем.

В показателе при этом появится знак «минус»:

При равных основаниях приравниваются степени: -х = 2х + 3.

Далее придется выполнить простое задание, чтобы найти неизвестную переменную:

Задание 4

Вычислить: (3 x ) 2 = 81.

Можно представить в следующем виде: (3 x ) 2 = 3 4 .

Если воспользоваться изученными свойствами, получается: 3 2x = 3 4 .

Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:

Задание 5

Решить уравнение: 5 x+1 + 7·5 x-2 = 132.

Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель прежде всего нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:

5 x-2 (5 3 + 7) = 132;

Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:

Далее необходимо вспомнить, что любое значение, возведенное в ноль, равно единице:

Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:

Задание 6

Решить показательное уравнение √4 x = 16.

Квадратный корень можно заменить степенью 1/2. Получается, что 4 имеет показатель x/2.

Значит, уравнение преобразуются в следующее:

А дальше необходимо действовать по уже проверенному и закрепленному методу:

Чтобы быстро решать показательные уравнения, нужно знать свойства степеней и умело ими пользоваться на практике. Это позволит легко находить неизвестные переменные. Полученные знания обязательно пригодятся для вычисления более сложных задач.

Существуют онлайн калькуляторы, позволяющие легко и просто решить степенные уравнения. Требуется просто вписать их в ячейку и немного подождать, пока машина справится с подсчетами. Но гораздо интереснее самому произвести арифметические действия и получить верный результат.

Интернет не всегда есть под рукой, а подобные примеры – основа решения более трудных задач, которые могут встретиться на экзамене ЕГЭ по математике. Например, логарифмических. Они могут содержать тригонометрические элементы и объемные алгебраические конструкции.

🔍 Видео

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

ЕГЭ.Как решать показательные уравнения.Скачать

Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Показательные уравнения и неравенстваСкачать

10 класс. Алгебра. Системы показательных уравнений.Скачать

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМОМ ЧАСТЬ I. Готовимся к ЕГЭ вместе #shorts #математика #егэ #огэСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)Скачать

Показательные уравнения. #уравнения #математика #егэСкачать

Как решать показательные уравнения.Скачать