при всех x ? 0 является функция
Действительно, подставив выражение для y(x) в левую
и в правую часть уравнения
получили тождественное равенство
справедливое при всех x ? 0 и при произвольных значениях константы C.
дифференциальный уравнение показательный радиоактивный
- Уравнение показательного роста. Радиоактивный распад
- Задача 2 (радиоактивный распад)
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование
- п.1. Понятие дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
- п.2. Задача Коши
- п.3. Закон радиоактивного распада
- п.4. Зарядка конденсатора
- п.5. Примеры
- 📺 Видео
Видео:Об определении решения дифференциального уравненияСкачать
Уравнение показательного роста. Радиоактивный распад
В результате экспериментов, Ф. Содди и Э. Резерфорд вывели закон радиоактивного распада, который описывается дифференциальным уравнением
где N ? количество радиоактивного материала,
л ? положительная константа, зависящая от радиоактивного вещества.
Знак минус в правой части означает, что количество радиоактивного материала N(t) со временем уменьшается (рисунок 1).
Данное уравнение легко решить, и решение имеет вид:
Чтобы определить постоянную C, необходимо указать начальное значение. Если в момент t = 0 количество вещества было N0, то закон радиоактивного распада записывается в виде:
Далее мы введем две полезных величины, вытекающие из данного закона. Периодом полураспада T радиоактивного материала называется время, необходимое для распада половины первоначального количества вещества. Следовательно, в момент T:
Отсюда получаем формулу для периода полураспада:
Среднее время жизни ф радиоактивного атома определяется выражением:
Видно, что период полураспада T и среднее время жизни ф связаны между собой по формуле:
Эти два параметра широко варьируются для различных радиоактивных материалов. Например, период полураспада полония-212 меньше 1 микросекунды, а период полураспада тория-232 превышает миллиард лет! Большой спектр изотопов с различными периодами полураспада был выброшен из атомных реакторов и охлаждающих бассейнов при авариях в Чернобыле и Фукусиме.
Радиоактивный изотоп индий-111 часто используется в радиоизотопной медицинской диагностике и лучевой терапии. Его период полураспада составляет 2,8 дней. Какова была первоначальная масса изотопного вещества, если через две недели осталось 5 г?
Используя закон радиоактивного распада, можно записать:
Решим уравнение относительно N0:
Подставляя известные значения T = 2.8 дней, t = 14 дней и N(t = 14) = 5г, получаем:
Начальная масса изотопа йода составляла 200г. Определить массу йода спустя 30 дней, если период полураспада данного изотопа 8 дней.
Согласно закону радиоактивного распада, масса изотопного вещества зависит от времени следующим образом:
Видео:Нефёдов Н. Н. - Дифференциальные уравнения - ВведениеСкачать
Задача 2 (радиоактивный распад)
Основные понятия
Дифференциальных уравнений
При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения 
является функция 
— первообразная для функции 
.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.
Задача 1 (движение материальной точки).
Материальная точка массы 
замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости 
. Найти зависимость скорости от времени.
Решение. Примем за независимую переменную время 
, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. 
. Для нахождения 
воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): 
, где 
— есть ускорение движущегося тела, 
— результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае 
— коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения
или 
, где — масса тела.
Это же уравнение можно записать так
.
Задача 2 (радиоактивный распад).
Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества 
, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества 
и временем .
Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества по времени , т.е. 
. Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение
,
где 
— коэффициент пропорциональности.
Знак минус берется потому, что с возрастанием количество вещества уменьшается, а значит, производная не положительна.
Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция
.
Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную 
, искомую функцию 
и ее производные 
. ДУ записывается так:
.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.
Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например, уравнение 
— обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение 
— ДУ третьего порядка; 
— ДУ в частных производных первого порядка.
Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.
Например, для уравнения 
функции вида 
, 
или 
, где 
— любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения 
функция вида 
, где 
, является решением данного уравнения.
Видео:Закон радиоактивного распада. Период полураспадаСкачать
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование
п.1. Понятие дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Например:
(y»+y’-4=5cosx) — ДУ второго порядка первой степени
((y’)^3+5y^2=19) – ДУ первого порядка третьей степени
(sqrt=y’x) — ДУ первого порядка первой степени
Самыми простыми для решения будут такие уравнения, у которых можно разделить переменные, т.е. собрать всё, что связано с функцией (y), по одну сторону знака равенства, и всё, что связано с независимой переменной (x), — по другую сторону.
Например:
Уравнение (sqrt=y’x) является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. $$ y’=frac<sqrt>=g(x)cdot h(y), text g(x)=frac1x, h(y)=sqrt $$
Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными
На входе: уравнение первого порядка (y’=f(x,y)), для которого (f(x,y)=g(x)cdot h(y))
Шаг 1. Записать производную в форме Лейбница (y’=frac)
Шаг 2. Преобразовать уравнение
$$ frac=g(x)cdot h(y)Rightarrow frac=g(x)dx $$ Шаг 3. Проинтегрировать левую и правую части уравнения: $$ intfrac=int g(x)dx+C $$ Шаг 4. Результат интегрирования (H(y)=G(x)+C) — общее решение данного уравнения.
На выходе: выражение (H(y)=G(x)+C)
Например:
Решим уравнение (sqrt=y’x)
1) Пусть (xne 0). Тогда: $$ y’=frac<sqrt>Rightarrowfrac=frac<sqrt>Rightarrowfrac<sqrt>=frac $$ Находим интегралы (константу запишем в конце): $$ intfrac<sqrt>=frac<(y+1)^>=frac23sqrt, intfrac=ln|x| $$ Получаем общее решение: $$ frac23sqrt=ln|x|+C, xne 0 $$ 2) Пусть (x=0). Тогда по условию: (sqrt=0Rightarrow y=-1)
Точка (0;-1) – особое решение данного уравнения.
п.2. Задача Коши
Например:
Найдем решение задачи Коши для уравнения (sqrt=y’x) при начальном условии (y(1)=3).
Общее решение нами уже найдено: (frac23sqrt=ln|x|+C) — этим выражением задано бесконечное множество кривых. Решить задачу Коши означает найти единственную кривую, проходящую через точку (1;3), т.е. конкретное значение C для заданных начальных условий.
Подставляем (x=1) и (y=3:frac23sqrt=underbrace_+CRightarrow C=frac23sqrt=frac)
Решение задачи Коши: (frac23sqrt=ln|x|+frac)
Выразим y в явном виде, что всегда приходится делать на практике: $$ sqrt=frac32ln|x|+8Rightarrow y+1=left(frac32ln|x|+8right)^Rightarrow y=left(frac32ln|x|+8right)^-1 $$ Ограничения ОДЗ: ( begin ygeq -1\ frac32ln|x|+8geq 0 end Rightarrow |x|geq -fracRightarrow |x|geq e^<-frac> )
Начальная точка (x=1gt e^<-frac>), требования ОДЗ выполняются.
Т.к. (x=1gt 0) в решении также можно убрать модуль. 
п.3. Закон радиоактивного распада
В многочисленных экспериментах по определению радиоактивности вещества был установлен следующий факт:
| Число распадов ΔN, которые произошли за интервал времени Δt, пропорционально числу атомов N в образце. |
Перейдем к бесконечно малым (dN) и (dt) и запишем соответствующее этому факту дифференциальное уравнение: $$ frac
Полученное ДУ является уравнением с разделяющимися переменными.
Найдем его общее решение: $$ frac=-lambda dtRightarrowintfrac=-lambdaint dtRightarrow ln N=-lambda t+C $$ Пусть в начальный момент времени (t=0) в образце было (N_0) атомов.
Решаем задачу Коши, находим (C: ln N_0=-lambdacdot 0+CRightarrow C=ln N_0)
Подставляем найденное C в общее решение. Получаем: $$ ln N=-lambda N+ln N_0Rightarrow ln N-ln N_0=-lambda tRightarrowlnfrac=-lambda tRightarrowfrac=e^ $$
п.4. Зарядка конденсатора
 | Соберем цепь, состоящую из конденсатора C, резистора R, источника ЭДС E и ключа K. Пусть в начальный момент времени конденсатор разряжен, напряжение на обкладках: (U(0)=0) Замкнем ключ и начнем зарядку конденсатора. |
По закону Ома для замкнутой цепи можем записать: $$ I(R+r_0)+U=varepsilon $$ где (I) — ток в цепи, (I(R+r_0)) – падение напряжения на резисторе и источнике, (U) — напряжение на конденсаторе, (varepsilon) – ЭДС источника.
Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=frac
Начальное условие (U(0)=0). Подставляем: $$ ln(varepsilon-0)=-frac+BRightarrow B=lnvarepsilon $$ Решение задачи Коши: begin ln(varepsilon-U)=-frac+lnvarepsilon\ ln(varepsilon-U)-lnvarepsilon=-frac\ lnfrac=-fracRightarrowfrac=e^<-frac>Rightarrow varepsilon e^<-frac> end
Если внутренне сопротивление источника пренебрежимо мало по сравнению с внешним сопротивлением, (r_0ltlt R), то получаем: $$ u(t)=varepsilonleft(1-e^<-frac>right) $$ При (trightarrow +infty) показатель экспоненты стремится к ((-infty)), а сама экспонента стремится к нулю: (U(trightarrow +infty)=varepsilon(1-e^)), т.е. напряжение на обкладках конденсатора стремится к значению ЭДС источника.
Например:
При (varepsilon=5В, RC=0,01) с график зарядки конденсатора имеет вид:
п.5. Примеры
Пример 1. Решите уравнение:
a) (y’=e^) begin frac=e^xcdot e^yRightarrow e^dy=e^x dxRightarrowint e^dy=int e^x dxRightarrow -e^=e^x+C end (e^=-e^x+C) (на константу, определенную от минус до плюс бесконечности, перемена знака не влияет).
(-y=ln(-e^x+C) )
(y=-ln(C-e^x))
Ответ: (y=ln(C-e^x))
б) (xy+(x+1)y’=0) begin (x+1)y’=-xyRightarrowfrac=-fracRightarrowfrac=-fracdx\ intfrac=ln|y|\ -intfracdx=-intfracdx=-intleft(1-fracright)dx=-x+ln|x+1| end Получаем: (ln|y|=-x+ln|x+1|)
Запишем константу немного по-другому, как (ln C). Это удобно для потенцирования: begin ln|y|-x+ln|x+1|+ln C\ ln|y|-ln C=-x+ln|x+1|\ lnfrac=-x+ln|x+1|\ e^<lnfrac>=e^\ frac yC=e^cdot (x+1)\ y=Ce^(x+1) end При преобразованиях мы делили на ((x+1)) и (y), считая, что (xne -1) и (yne 0). Если подставить (x=-1) в решение, получим (y=0), т.е. эта точка не является особой, она входит в общее решение.
Ответ: (y=Ce^(x+1))
Пример 2*. Найдите решение задачи Коши:
a) (frac+e^y=0, y(1)=0) begin frac=-e^yRightarrowfrac=-x^2e^yRightarrow e^dy=-x^2dx\ int e^dy=-e^, -int x^2dx=-frac end Получаем: begin -e^=-frac+CRightarrow e^=frac+CRightarrow -y=lnleft|frac+Cright|Rightarrow y=-lnleft|frac+Cright| end Общее решение: (y=-lnleft|frac+Cright|)
Решаем задачу Коши. Подставляем начальные условия: $$ 0-lnleft|frac13+Cright|Rightarrowfrac13+C=1Rightarrow C=frac23 $$ Решение задачи Коши: (y=-lnleft|fracright|)
Ответ: (y=-lnleft|fracright|)
б) (x^2(y^2+5)+y^2(x^2+r)y’=0, y(0)=sqrt) begin y^2(x^2+5)y’=-x^2(y^2+5)\ y’=frac=-fracRightarrow fracdy=-fracdx end Используем табличный интеграл: (intfrac=frac1a arctgfrac xa+C) begin intfracdy=intfracdy=intleft(1-fracright)dy=y-5cdotfrac<sqrt>arctgfrac<sqrt>=\ =y-sqrtarctgfrac<sqrt> end Аналогично: (-intfracdx=-x+sqrtarctgfrac<sqrt>)
Общее решение: (y-sqrtarctgfrac<sqrt>=-x+sqrtarctgfrac<sqrt>+C)
Решаем задачу Коши. Подставляем начальные условия: $$ sqrt-sqrtarctg1=-0+0+CRightarrow C=sqrt-frac<pisqrt>=sqrtleft(1-fracpi 4right) $$ Решение задачи Коши: (y-sqrtarctgfrac<sqrt>=-x+sqrtarctgfrac<sqrt>+sqrtleft(1-fracpi 4right))
Ответ: (y-sqrtarctgfrac<sqrt>=-x+sqrtarctgfrac<sqrt>+sqrtleft(1-fracpi 4right))
Пример 3. Найдите массу радиоактивного вещества спустя время, равное четырем периодам полураспада, если начальная масса составляла 64 г.
При радиоактивном распаде атомы одного элемента превращаются в атомы другого, поэтому для массы вещества справедлив тот же закон, что и для количества атомов этого вещества: $$ m(t)=m_0 e^ $$ Период полураспада – это время, за которое масса уменьшается в 2 раза: $$ frac<mleft(T_right)>=frac12 $$ За время, равное 4 периодам полураспада, масса уменьшится: $$ frac<mleft(4T_right)>=left(frac12right)^4=frac $$ в 16 раз.
Получаем: $$ mleft(4T_right)=frac, mleft(4T_right)=frac=4 text $$ Ответ: 4 г
Пример 4. Выведите зависимость (U(t)) на обкладках конденсатора при его разрядке в RC-цепи.
 | Разрядка конденсатора происходит в цепи без источника ЭДС. Пусть в начальный момент заряд на обкладках (U(0)=U_0.) Замкнем ключ и начнем разрядку конденсатора. |
По закону Ома для замкнутой цепи: $$ IR+U=0 $$ Ток в цепи равен производной от заряда по времени: $$ I=frac
Начальное условие (U(0)=0). Подставляем: $$ ln U_0=-frac+BRightarrow B=ln U_0 $$ Решение задачи Коши: begin ln U=-frac+ln U_0Rightarrowln U-ln U_0=-fracRightarrow lnfrac=-frac\ frac=e^<-frac> end
| Изменение напряжение на обкладках конденсатора при разрядке: $$ U(t)=U_0 e^<-frac> $$ |
Например, (при U_0=5В, RC=0,01 с) график разрядки конденсатора имеет вид:
📺 Видео
Лекции по дифференциальным уравнениям. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Скачать
Закон радиоактивного распада. 11 класс.Скачать
Урок 468. Закон радиоактивного распадаСкачать
Урок 469. Задачи на закон радиоактивного распадаСкачать
Общие понятия дифференциальных уравнений. Разделение переменных | Лекция 13 | МатАн | СтримСкачать
ОДУ. 1 Понятие ОДУ. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравненияСкачать
Дифференциальное уравнение Лагранжа II рода. Расчет механической системы.Скачать
Дифференциальные уравнения высших порядков (Шишкин Г.А.) - 2 обзорная лекцияСкачать
Урок 327. Гармонические колебанияСкачать
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
Общее, частное и особое решение ДУ. ПримерСкачать
Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретным временем и рекуррентные последовательностиСкачать
Экстремальные задачи и дифференциальные уравнения. Запись вебинара от 1.02.23Скачать
Дифференциальные уравнения, ПМИ – лекция 1Скачать
Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать
Жизнь, смерть и дифференциальные уравненияСкачать
