Сферическая волна и ее уравнение

Сферическая волна и ее уравнение

Сферическая волна и ее уравнение

Уравнения плоской и сферической волн Сферическая волна и ее уравнение Сферическая волна и ее уравнение

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

Сферическая волна и ее уравнение.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: Сферическая волна и ее уравнение. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости Сферическая волна и ее уравнение, имеет вид (при начальной фазе Сферическая волна и ее уравнение)

Сферическая волна и ее уравнениеСферическая волна и ее уравнение

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время Сферическая волна и ее уравнение.

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости Сферическая волна и ее уравнение, т.е.

Сферическая волна и ее уравнение,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания Сферическая волна и ее уравнение. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Сферическая волна и ее уравнение, или Сферическая волна и ее уравнение.

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

Сферическая волна и ее уравнение.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число Сферическая волна и ее уравнение, или в векторной форме:

Сферическая волна и ее уравнение,

(5.2.5)

где Сферическая волна и ее уравнение– волновой вектор, Сферическая волна и ее уравнение– нормаль к волновой поверхности.

Так как Сферическая волна и ее уравнение, то Сферическая волна и ее уравнение. Отсюда Сферическая волна и ее уравнение. Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Сферическая волна и ее уравнение.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. Сферическая волна и ее уравнение). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу Сферическая волна и ее уравнение. Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону Сферическая волна и ее уравнение. Следовательно, уравнение сферической волны:

Сферическая волна и ее уравнение, или Сферическая волна и ее уравнение,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при Сферическая волна и ее уравнение, амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний Сферическая волна и ее уравнение, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Видео:Колебания и волны. Лекция 10. Уравнения сферической и плоской волныСкачать

Колебания и волны. Лекция 10. Уравнения сферической и плоской волны

Сферическая волна и ее уравнение

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны v во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической (см. рис. 2.4.4). Предположим, что фаза колебаний источника равна ωt (т. е. φ0 = 0). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу

Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны

где А равна амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

Уравнение (2.4.8) неприменимо для малых r, т. к. при r → 0 амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний A

1/r, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

2.4.3. Фазовая скорость. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Фазовая скорость — это скорость распространения фазы волны. Зафиксируем какое-либо значение фазы волны и проследим, с какой скоростью фаза будет перемещаться вдоль оси x:

Это уравнение дает связь между t и тем значением x, где зафиксированное значение фазы будет в данный момент времени. Следовательно, dx/dt — это есть скорость перемещения данной фазы, т. к. ω = const, поэтому t — x/v = const. Возьмем производную по времени от обеих

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"

2.5. Сферические волны

В предыдущих разделах мы рассматривали специальный тип волн: фаза

Сферическая волна и ее уравнение

зависела только от координаты х.

Волновой фронт — это нестационарная поверхность, во всех точках которой фаза волны имеет одно и то же постоянное во времени значение.

Для изученных нами волн колебания среды одинаковы во всех точках плоскости, ортогональной направлению распространения волны (мы выбрали его в качестве оси х). Иными словами, фронт волны является плоскостью, параллельной плоскости, содержащей оси у, z. Фронт бегущей волны перемещается с течением времени вдоль оси х с фазовой скоростью v. Такие волны называются плоскими.

Трехмерное волновое уравнение

Пусть мы по-прежнему имеем дело с плоской волной. Повернем координатные оси так, чтобы направление распространения волны задавалось каким-то единичным вектором n. Решение, очевидно, имеет вид:

Сферическая волна и ее уравнение

Соотношения между Сферическая волна и ее уравнение, k и Сферическая волна и ее уравнениеостаются прежними.

Волновой вектор — это вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны:

Сферическая волна и ее уравнение

Фронт волны – плоскость, ортогональная волновому вектору k, – движется со скоростью v, оставаясь параллельным самому себе.

Найдем уравнение, которому удовлетворяет решение (2.65). Дважды дифференцируем выражение (2.65) по координатам х, у, z:

Сферическая волна и ее уравнение

Складывая эти три уравнения, находим:

Сферическая волна и ее уравнение

Вторая производная решения по времени имеет вид:

Сферическая волна и ее уравнение

Сферическая волна и ее уравнение

получаем из (2.67), (2.68):

Сферическая волна и ее уравнение

Выражение в скобках в левой части уравнения является дифференциальным оператором, который называется лапласианом (или оператором Лапласа) и имеет специальное обозначение Сферическая волна и ее уравнение.

Записываем волновое уравнение для волн в трехмерном пространстве в окончательной форме:

Сферическая волна и ее уравнение

Если волновая функция и зависит только от одной координаты (скажем, х), то лапласиан превращается во вторую производную по x, и мы возвращаемся к прежней форме волнового уравнения.

Подчеркнем, что Сферическая волна и ее уравнениене есть греческая буква Сферическая волна и ее уравнение(«дельта»), а Сферическая волна и ее уравнениеu не есть приращение величины u, но сумма вторых ее производных по координатам.

Но волновое уравнение (2.70) имеет и другие решения, нежели плоские волны. Простым дифференцированием можно убедиться, что сферическая волна

Сферическая волна и ее уравнение

удовлетворяет волновому уравнению. Фронт волны является сферой с центром в месте расположения источника колебаний (r = 0), причем радиус сферы увеличивается со скоростью v.

Действительно, поверхность постоянной фазы дается уравнением

Сферическая волна и ее уравнение

дифференцируя которое, находим

Сферическая волна и ее уравнение

Амплитуда сферической волны

Сферическая волна и ее уравнение

убывает с увеличением расстояния до точки наблюдения. Интенсивность волны

Сферическая волна и ее уравнение

убывает по закону обратных квадратов. Это, как и закон Кулона, также связано с трехмерностью нашего пространства. Если среда не поглощает излучение, то поток энергии через поверхность сферы одинаков для сфер любых радиусов, окружающих источник излучения. Поскольку площадь сферы равна 4pr 2 , то энергия, проходящая через единицу площади, обратно пропорциональна r 2 .

Стоя у полотна железной дороги, можно наблюдать следующее явление: сигнал приближающейся электрички резко меняет свой тон (частоту) в момент прохождения электрички мимо наблюдателя. Это же явление может заметить наблюдатель, сидящий в поезде и проезжающий мимо сигналящего автомобиля, стоящего на переезде.

На рис. 2.18 демонстрируется аналогичное явление при движении вертолета мимо наблюдателя.

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.18. Изменение тона звука при движении вертолета мимо наблюдателя

Эффект Доплера — это изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя.

Эффект назван по имени австрийского физика X. Доплера, предсказавшего его теоретически в 1842 г.

Движущийся наблюдатель, покоящийся источник звука. Пусть имеется источник звука, испускающий сферические звуковые волны. На рис. 2.19 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней (максимумов) звуковых волн. Пусть волна имеет частоту Сферическая волна и ее уравнение, тогда расстояние между гребнями равно длине волны

Сферическая волна и ее уравнение

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.19. Эффект Доплера при движении наблюдателя

Наблюдатель А движется прямо на источник звука со скоростью Сферическая волна и ее уравнение. Поэтому гребни волн приближаются к нему с увеличенной скоростью Сферическая волна и ее уравнение. С каждым последовательным гребнем волны наблюдатель встретится через время

Сферическая волна и ее уравнение

после предыдущего. Следовательно, для него изменяется период колебаний. Наблюдаемая частота волны равна

Сферическая волна и ее уравнение

Сферическая волна и ее уравнение

Наблюдатель В удаляется по прямой линии от источника с той же скоростью Сферическая волна и ее уравнение(предполагаем, что Сферическая волна и ее уравнение, наблюдатель, удаляющийся от источника со сверхзвуковой скоростью, «убежит» от волны и вообще не услышит звука). Значит, гребни волн приближаются к нему со скоростью Сферическая волна и ее уравнение, и период колебаний равен

Сферическая волна и ее уравнение

Отсюда получаем для наблюдаемой частоты:

Сферическая волна и ее уравнение

Наконец, пусть наблюдатель Р движется со скоростью vH, составляющей угол Сферическая волна и ее уравнениес направлением на источник. На сдвиг частоты влияет только компонента скорости вдоль линии, соединяющей наблюдателя и источник:

Сферическая волна и ее уравнение

Предыдущие формулы (2.72) и (2.73) для частных случаев получаются отсюда при Сферическая волна и ее уравнение и Сферическая волна и ее уравнение, соответственно.

На рис. 2.20 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера для случая покоящегося источника звука и движущегося наблюдателя.

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.20. Моделирование эффекта Доплера при движении наблюдателя

Движущийся источник звука, покоящийся наблюдатель. Пусть теперь наблюдатель неподвижен, а звуковые волны испускаются источником, движущимся со скоростью Сферическая волна и ее уравнение. На рис. 3.21 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней звуковой волны, отмеченных цифрами черного цвета 1, 2, 3, 4.

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.21. Эффект Доплера при движении источника

Эти гребни были испущены, когда источник звука находился в точках, отмеченных цифрами красного цвета 1, 2, 3, 4, соответственно. Иначе, точка 1 является центром сферы 1, точка 2 — центром сферы 2 и т. д. Видно, что центры соседних сфер смещаются на расстояние, проходимое источником за период колебаний

Сферическая волна и ее уравнение

Это приводит к изменению расстояния между гребнями волн, приходящих к наблюдателю. Следовательно, наблюдатель регистрирует иную длину волны.

Наблюдатель А расположен так, что источник движется прямо на него. Для этого наблюдателя расстояние между гребнями волн уменьшается и равно

Сферическая волна и ее уравнение

Скорость волны не зависит от движения источника, поскольку определяется свойствами среды. Следовательно, имеем обычную связь между длиной волны и ее фазовой скоростью:

Сферическая волна и ее уравнение

Подставляя эти соотношения в (2.75), получаем

Сферическая волна и ее уравнение

откуда находим частоту n звука, воспринимаемого наблюдателем А:

Сферическая волна и ее уравнение

Для наблюдателя В расстояние между гребнями волн увеличивается и равно

Сферическая волна и ее уравнение

Аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для частоты звуковой волны:

Сферическая волна и ее уравнение

Наконец, для наблюдателя Р, направление на которого составляет угол Сферическая волна и ее уравнениесо скоростью источника, выражение для частоты имеет вид:

Сферическая волна и ее уравнение

Предыдущие выражения получаются отсюда при Сферическая волна и ее уравнениеи Сферическая волна и ее уравнение, соответственно.

Пример 1. Наблюдатель, стоящий на платформе железной дороги, слышит гудок проходящего мимо поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна Сферическая волна и ее уравнение, а когда поезд удаляется — Сферическая волна и ее уравнение. Определим скорость поезда V и собственную частоту гудка Сферическая волна и ее уравнение. Скорость звука v предполагается известной.

При скорости поезда V, скорости звука v и собственной частоте колебаний Сферическая волна и ее уравнениечастота Сферическая волна и ее уравнение, воспринимаемая при приближении поезда, равна

Сферическая волна и ее уравнение

При удалении поезда воспринимаемая частота звука равна

Сферическая волна и ее уравнение

Разделив первое соотношение на второе, получаем:

Сферическая волна и ее уравнение

Отсюда находим скорость поезда:

Сферическая волна и ее уравнение

Подставляя скорость поезда в выражение (2.79), получаем оттуда:

Сферическая волна и ее уравнение

На рис. 2.22 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера в случае движущегося источника звука и покоящегося наблюдателя.

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.22. Моделирование эффекта Доплера при движении источника

Движущийся источник звука, движущийся наблюдатель. Из полученных формул можно сделать общие выводы:

Сферическая волна и ее уравнение

Выражение (2.84) явным образом нарушает принцип относительности Галилея. В самом деле, скорость Сферическая волна и ее уравнениесближения источника и наблюдателя есть сумма соответствующих проекций скоростей:

Сферическая волна и ее уравнение

Согласно принципу относительности, все наблюдаемые эффекты должны зависеть только от Сферическая волна и ее уравнение. Формула же (2.84) позволяет отделить движение наблюдателя от движения источника. Для иллюстрации рассмотрим три примера. Спешим успокоить читателя: это кажущееся недоразумение, его разъяснение приведено ниже в конце рассмотрения примера 4. С принципом Галилея всё в порядке.

Пример 2. Сирена полицейской машины, стоящей на обочине дороги, издает сигнал на частоте 1 000 Гц. Определим, какой частоты звук услышит водитель, проезжающий мимо со скоростью 80 км/час.

В данном случае скорость автомобиля V = 80 км/час = 22.2 м/с — это скорость наблюдателя. Скорость звука Сферическая волна и ее уравнение. При сближении с полицейской машиной водитель воспринимает звук частотой

Сферическая волна и ее уравнение

После того как водитель миновал полицейскую машину, воспринимаемая частота становится равной

Сферическая волна и ее уравнение

Пример 3. Водитель стоящей на обочине дороги машины замечает проезжающий мимо полицейский автомобиль с включенной сиреной. Найдем частоту звука, который слышит водитель, если скорость полицейского автомобиля равна 80 км/час. Полицейская сирена – та же самая, что и в предыдущем примере.

Здесь скорость V = 22.2 м/с — это скорость движения источника. При приближении полиции водитель слышит сигнал частотой

Сферическая волна и ее уравнение

При удалении частота воспринимаемого сигнала равна

Сферическая волна и ее уравнение

Пример 4. Те же машины едут навстречу друг другу с равными скоростями 40 км/час = 11.1 м/с. Найдем частоты звукового сигнала при сближении и при удалении машин.

Применяем формулу (2.84). При сближении воспринимается звук частотой

Сферическая волна и ее уравнение

При удалении машин сирена для водителя звучит на частоте

Сферическая волна и ее уравнение

Во всех трех случаях получились разные результаты, хотя каждый раз скорости сближения (удаления) наблюдателя и источника были теми же самыми. В то же время численные результаты близки друг к другу. Это объясняется тем, что скорости автомобилей в задаче малы по сравнению со скоростью звука. В этом случае в формуле (2.84) можно пренебречь членами

Сферическая волна и ее уравнение

и более высоких степеней. Преобразуем (2.84):

Сферическая волна и ее уравнение

Пренебрегая теперь слагаемыми, содержащими отношения квадратов скоростей, находим приближенное выражение:

Сферическая волна и ее уравнение

В (2.85) частота зависит только от относительной скорости источника и наблюдателя. Если бы формула была точна, во всех трех задачах мы получили бы один и тот же ответ:

Сферическая волна и ее уравнение

Формула (2.85) удовлетворяет принципу относительности Галилея, но она верна, строго говоря, только при бесконечно большой скорости сигнала. Нарушение принципа относительности Галилея связано с наличием среды. Действительно, при движении тел в среде можно отличить состояние покоя от прямолинейного равномерного движения хотя бы по возникающему при движении ветру. Поэтому системы отсчета при наличии среды не равноправны: из них выделена та, в которой среда как целое покоится.

Рассмотрим теперь случай, когда источник звуковых волн движется со скоростью, превышающей скорость звука: Сферическая волна и ее уравнение. Пусть в момент времени t = 0 источник был в точке S0, а в момент t он находится в точке St (рис. 2.23). Расстояние между этими точками равно Сферическая волна и ее уравнение.

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.23. Образование конуса Маха при сверхзвуковом движении источника

В каждой точке своей траектории (для простоты мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение) источник испускал сферические звуковые волны. Волна, испущенная в момент t = 0, к текущему моменту времени t достигла точки А. Волны, испущенные на пути от S0 до St ,успели пройти меньшие расстояния. Как видно из рис. 2.23, в данный момент времени имеется коническая поверхность (ее называют конусом Маха), касательная к фронтам всех испущенных сферических волн. Эта коническая поверхность начинается от источника звука, а ее ось совпадает с направлением движения источника. Конус Маха отделяет области пространства, куда дошел звук от источника, от тех областей, куда звук не успел еще дойти. В следующий момент времени Сферическая волна и ее уравнениеисточник переместится в точку Сферическая волна и ее уравнение. Соответственно переместится и конус Маха, захватив новые области пространства (показано пунктирной линией).

Синус угла раствора конуса определяется как отношение расстояния Сферическая волна и ее уравнение, пройденного звуковой волной за время t, к расстоянию Сферическая волна и ее уравнение, пройденного источником за то же время:

Сферическая волна и ее уравнение

Коническую поверхность можно воспринимать как фронт волны (ее называют ударной). Направление распространения волны — это нормаль к фронту. Следовательно, ударная волна распространяется под углом

Сферическая волна и ее уравнение

к направлению движения источника. Соответственно, (2.86) можно записать в виде:

Сферическая волна и ее уравнение

Число Маха — это отношение Сферическая волна и ее уравнение, то есть скорости источника к скорости звука в данной среде.

Пример 5. Самолет летит горизонтально на высоте 5 000 м с постоянной скоростью. Наблюдатель заметил его у себя над головой, и засек время. Звук от самолета появился через 11 с после этого. Найдем скорость самолета и определим, на каком расстоянии по горизонтали находится самолет от наблюдателя в момент, когда последний зарегистрировал приход звука от него?

За время t самолет удалился от наблюдателя на расстояние Сферическая волна и ее уравнение. Так как в этот момент звук достиг наблюдателя, то точка наблюдения оказалась на конусе Маха (рис. 2.24).

Сферическая волна и ее уравнение

Рис. 2.24. К примеру 5. О пролете сверхзвукового самолета. Пунктирная линия – положение конуса Маха
в момент пролета самолета над головой, сплошная – конус Маха в момент,
когда звук дошел до наблюдателя

🌟 Видео

Урок 374. Энергия, переносимая волной. Интенсивность сферической волныСкачать

Урок 374. Энергия, переносимая волной. Интенсивность сферической волны

Получение уравнения плоской бегущей волны.Скачать

Получение уравнения плоской бегущей волны.

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волны

Сферическая волна и плоскостьСкачать

Сферическая волна и плоскость

Колебания и волны | волны | сферические волныСкачать

Колебания и волны | волны | сферические волны

74. Упругие волныСкачать

74. Упругие волны

Уравнение бегущей и стоячей волны Часть 1Скачать

Уравнение бегущей и стоячей волны  Часть 1

Лекция 2 ВолныСкачать

Лекция 2 Волны

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

Механические модели волн. 1.Скачать

Механические модели волн. 1.

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волнСкачать

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волн

🌊 Продольные и поперечные волны ⚛ ФизикаСкачать

🌊 Продольные и поперечные волны ⚛ Физика

Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

Русаков В. С. - Оптика - Волновое уравнение. Плоские и сферические волныСкачать

Русаков В. С. - Оптика - Волновое уравнение. Плоские и сферические волны

4.1 Однородные волновые уравнения ГельмгольцаСкачать

4.1 Однородные волновые уравнения Гельмгольца

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Билеты №1 и №2 "Монохроматические волны"Скачать

Билеты №1 и №2 "Монохроматические волны"

Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)Скачать

Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)
Поделиться или сохранить к себе: