Сборник уравнений по математике 11 класс

Большая подборка заданий для подготовки к профильному ЕГЭ по математике.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Бланки ЕГЭ 2022

Полный комплект бланков ЕГЭ 2022.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Задачи на объём

Метод объёмов. Важная формула. Стереометрия с нуля.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Подросткам с 14 лет разрешили регистрироваться на госуслугах

Несовершеннолетние граждане смогут стать пользователями единого портала госуслуг. Постановление об этом подписал Председатель Правительства Михаил Мишустин.

Видео:Супер нестандартное уравнение. Олимпиада 11 классСкачать

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе по теме: «Уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Материалы для подготовки

к ЕГЭ по математике

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Подготовила учитель математики

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Коваленко И.Н.

Видео:Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

2016г.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Алгебра с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 207 материалов в базе

Другие материалы

• 06.02.2016
• 922
• 3

• 06.02.2016
• 461
• 0

• 06.02.2016
• 1068
• 9

• 06.02.2016
• 425
• 0

• 06.02.2016
• 1862
• 3

• 06.02.2016
• 2092
• 4

• 06.02.2016
• 3283
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.02.2016 867
• DOCX 708.7 кбайт
• 4 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коваленко Инна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 309816
• Всего материалов: 66

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

Сборник заданий Математика Алгебра 11 класс Дорофеев

™ (0,5) 2. Решите неравенство log^ (1 — 2х) 4. /7t , л Я COS I 2 + л: I == cos g 4. Найдите промежутки возрастания функции fix) = 2х^ — + 5. 2 5. Найдите первообразную функции f(x) = 4 — х , график которой проходит через точку (-3; 10). Вариант 17 1. Решите неравенство 2, Решите уравнение 4х — X 3 + 2х 0 2. Решите уравнение logo_5(3x-l) = -3. 3. Найдите корни уравнения 2 cos х + =0, принадле- жащие отрезку [0; 2п]. 4. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 6). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f 2; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функ ции; г) при каких значениях х fx) ^ 0; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите промежутки убывания функции г/ = 2/ + 9х^ — 2Ах. 18 Вариант 19 1. Решите неравенство Зд: — 27 0. log^ (Зх -Ь 1) ilT‘ 3. Решите уравнение 7 cos (-т) + 5sin л: + 1 = 0. 4. Функция у = f<x) задана своим графиком (рис. 7). Укажите: а) область определения функции; б) при каки!?с знанениях х 2 f(x) -1. 5 3. Найдите все решения уравнения tg л: — ctg + л-j + 2 = О, принадлежащие отрезку [0; 2л]. 2 4. Дана функция f<x) ^ 2х — х + 1. Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 7. 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс И графиком функции f(x) = 2х -х . Вариант 23 9 J_ [ _19 1 1. Упростите а : а ^6^ 2. Найдите все целые решения неравенства 0,2 -3. 5 sin (тс + х) = cos ^ 1 3 4. Дана функция f<x) 3 л: — 4х + 2. Найдите координаты точек ее графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс. 5. Найдите все первообразные функции f0. 2. Решите неравенство 3. Найдите корни уравнения logo 5(2jc) ^ ^ (cos X — 1)^ = COS^ X — 1. 4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-1; 8]; б) значения функции составляют промежуток [-4; 2]; в) функция возрастает на промежутках [-1; 3] и [5; 8], убывает на промежутке [3; 5]; г) нули функции: 3 и 7. 5. Какие из данных функций возрастают на всей области определения у = sin X, Z/ = X -1- 1, J/ = г/ = л/х ? 22 Вариант 26 1. Решите неравенство 11х‘ 2 + X 0; г) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите промежутки возрастания функции у ==

х + X + 8х. 23 Вариант 27 1. Решите неравенство 4^ — X 2х — S >0. 2. Решите уравнение 9 • 81^ ^^ = 27^ * 3. Решите уравнение sin X + sin <п + х)

6. Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -7. 42 1. Вычислите 5 2 3 3 а + а Вариант 48 при а = 3. 2. Решите неравенство Ig д: + 2 Ig 2 0. 2. Решите уравнение 3^ ^ ^ + 3^ = 810. 3. Решите уравнение sin X + sin (я + х) — cos + xj = 1. 4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-2; 5]; б) значения функции составляют промежуток [-2; 4]; в) производная функции на промежутке (1; 3) принимает отрицательные значения, а на промежутках (-2; 1) и (3; 5) — положительные значения; г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точках (1; 4) и (3; 1). 5. Найдите значение производной функции f(x) = 4 sin X — cos X я при X = — J . Вариант 53 X — 1 1. Найдите область определения функции у = g ^ ^ . 2. Решите неравенство 9*3^ ^ + 3^ 1. 3. Найдите все решения уравнения tg х + л/З =0, принадлежащие отрезку [0; 2л]. 4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-1; 6]; б) значения функции составляют промежуток [-4; 4]; в) производная функции на промежутках (“1; 1) и (1; 3) принимает положительные значения, а на промежутке (3; 6) — отрицательные значения; г) нули производной функции: 1 и 3. 5. Найдите производную функции f<x) = 2х + sin х. Вариант 55 1. Найдите область определения функции I/ = Ig 0. 2. Решите уравнение 9^ = j 3. Найдите sin х, если cos х = 0,6, 0 0. 2 COS I + 1 — 0. 4, Функция у = f 0; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 2 5. Найдите наибольшее значение функции f0. log^ (1 — Зх) 0; в) промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите точки экстремума функции f(x) = -4x^ + 2. 50 1. Найдите область определения функции 5 — 4л: Вариант 61 (елени 12х + 1 * 2. Решите неравенство 3. Решите уравнение >9 2л- 1 л/З tg 2л: + 1 = 0. 4, Функция у = fix) задана своим графиком (рис. 29) Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f 0; в) промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5, Найдите все первообразные функции fix) = л:^ + 2л:. 51 Вариант 62 1 5 1. Вычислите 12^ 3^-7® 7^-8^ 8 2. Решите неравенство Ig 2л: 21oggl2 1. Вычислите о 2. Найдите все целые решения неравенства 0,04 lg5. 3. Решите уравнение cos + л: j = sin 4. Функция у = f <x) задана своим графиком (рис. 32). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) 2; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Дана функция f0. 3. Найдите все решения уравнения sin х + 0,5 = 0, принадлежащие отрезку [0; 2я]. 4. Изобразите график непрерывной функции у = /(х), зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-3; 4]; б) значения функции составляют промежуток [-3; 3]; в) Г(х) ^ о для любого X из про]УЕеясутка ( 3j 0), f (х^ 0 для любого X из промежутков (0; 2) и (2; 4), fx) = 0 при X = 2; г) нули функции: х = -1 и х = 2. 2 О. Найдите первообразную функции /(х) = 5х 4- х , график которой проходит через точку (0; 3). Вариант 67 — 2х — 5х + 2 ^ 1. Решите неравенство -— 2. Решите неравенство log^ (2х — 1)> -2. 3 3. Найдите все корни уравнения 2 tg X + tg X = о, принадлежащие отрезку [0; 2л]. 4. Найдите производную функции f(x) = х’ In х. 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f 0. ^2у: + 1 X — 1 2. Решите уравнение f ^ j =36 3. Решите уравнение sin х -г sin (тг — х) — cos — х j = -1. 4. Изобразите график функции у = f(x), зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-5; 2]; б) значения функции составляют промежуток [-2; 5]; в) f'<x) о для любого X из npoivteJKyTKa ^ 3j ^ для любого X из промежутков (

5; -3) и (-1; 2), fx) = 0 при X = ”3; г) нули функции: х = -4 и х = -1. 5. Найдите все первообразные функции /(х) = 2х + х^. Вариант 69 5 1 1 5 ^4^4 ^ ^4^4 1. Вычислите—g—^— при Ь = 2, с = 5. Z.4 4 Ь С 2. Решите неравенство Ig (3 — 2х) 3 log^ 2 + 2. 6 6 3. Решите уравнение sin — х j = sin -. 4. Изобразите график функции у = /(х), зная, что: а) область определения функции есть промежуток [-^2; 5]; б) значения функции составляют промежуток [-5; 2]; в) f о для любого X из промежутка (3; 5), fx) 0. 2. Решите уравнение log^(12- 5х) = 2 3. Докажите тождество —i———^ „ = 1. 2 2 1 + tg а 1 + ctg а 4. Функция у = f 1; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) при каких значениях х fx) = 0; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите точки экстремума функции /(JC) = — 2х^ + 6. 61 Вариант 77 1. Решите неравенство <х + 5)(jf — 6) 6х — 1 0. 2. Решите уравнение log (4 — 2х) — log 2 = 2. 3 3 2 3. Найдите корни уравнения sin д: — cos х = 1, принадлежащие отрезку [0; 2я]. 4. Функция у = f<x) задана своим графиком (рис. 37). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f1; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) точки, касательные в которых параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12i-3t^(M), где t — время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится? 64 Вариант 80 1. Найдите область определения функции Зх + 1 г/ = Ig X

4 Зх 2. Решите неравенство 10 > 0,001. 2 3. Найдите все решения уравнения 3 tg х — 1 = 0, принадле-жапцие промежутку [0; 2тс]. 4. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 38). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f 1; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) точки, касательные в которых параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = l + 4^-^^(м), где t — время движения в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится? 3- Дорофеев. Сб. заданий, 11 кл. 65 Вариант 81 1. Вычислите Г 1 2 ri 2. Решите неравенство log (2х + 1) > -2. 0,5 2 ОТТ l + tga,2 3. Докажите тождество——^ = tg а. 1 + ctg а 4. Функция у = f <x) задана своим графиком (рис. 39). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f1; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) точки, касательные в которых параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 2 5. Дана функция f(x) = 2х — 5х + 1. Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 3. 66 Вариант 82 ,-21og75 1. Вычислите 7 2. Найдите все целые решения неравенства I 3; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) при каких значениях х f’ <x) = 0; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Дана функция f<x) = 1 — 5х + Зх . Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 1. 3* 67 Вариант 83 1. Вычислите 2а 2 1 при а = 4. 3 о 3 а — За 2. Решите неравенство 1 3. Решите уравнение logg (5х — 6) 0. 2. Решите уравнение 2*5 — 10 3. Решите уравнение 2 cos (тс + 2х) = 1. 4. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 42). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f3,5; в) при каких значениях х f'(x) = 0; г) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите первообразную функции /(х) = 4 — х , график которой проходит через точку (-3; 10). Рис. 43 70 Вариант 86 7 1 3 ^ ^3 1. Вычислите 2— а = 2, а 2. Решите неравенство log^(2x- 1) 0 для любого X из промежутков (-4;-3) и (-1; 3),/'(х) = 0 при X = -3; г) нули функции: -3 и 1. 5. Найдите первообразную функции f О, 2. Решите уравнение Ig (5х + 2) — 2 36 + Ig 2. 2 1 3. Докажите тождество 1 + tg а + 2 2 2 sin а sin а cos а 4. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 47). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f 0; в) промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите все функции, имеюш;ие производную у’ = 2х — х^. 77 Вариант 95 1. Найдите область определения функции y = g — 8х). 2. Найдите все целые решения неравенства 3. Решите уравнение 6 у М Рис. 91 101 Вариант 61 6. Точки К VL L вершины куба, изображенного на рисунке 92, точки М VL N — середины его ребер. Определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM. 7. Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке С, которая делит его в отношении 3:5, считая от точки А, Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках и Длина отрезка А^С равна 12 см. Найдите длину отрезка А^^В^. Вариант 62 6. Точки Ку Ly М и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 93 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки KN и LM. 7. Образующая конуса равна 5 см, площадь его боковой поверх- 2 ности равна 15л см . Найдите объем конуса. Вариант 63 6. В кубе ABCDA’B’C’D’ проведено сечение через середины ребер АВ, AD и ВВ’. Каким многоугольником является сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объем цилиндра. м 1 1 1 » К Рис. 92 102 Вариант 64 6. Через середины двух сторон АВ и АС основания правильной треугольной пирамиды SABC и точку пересечения медиан грани SBC проведено сечение. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Сторона квадрата ABCD равна 1 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, ZABM == 30°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD, Вариант 65 6. Точки К, Ly М и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 94 пирамиды. Определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM. 7. Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведенной на расстоянии 29 см от центра шара. Вариант 66 6. Точка М — середина ребра AD куба, изображенного на рисунке 95. Скопируйте рисунок и изобразите точку АГ, принадлежащую ребру CD, так, чтобы отрезки A’N и С’М имели общую точку. 7. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения. В’ А’ Рис. 94 1 1 1 в1 . . _ — _ М D Рис. 95 С 103 Вариант 67 6. Вершинами многогранника являются середины боковых ребер и центр основания правильной пирамиды. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника. 7. Круговой сектор с радиусом 10 см свернут в виде боковой поверхности конуса. Высота конуса равна 8 см. Найдите центральный угол кругового сектора. Вариант 68 6. Точки Kj L и М расположены на ребрах куба ABCDA’B’C’D’, изображенного на рисунке 96. Скопируйте рисунок и изобразите точку Ny принадлежащую ребру CD, так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку. 7. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите объем тела вращения. Вариант 69 6. Точки К, L т М принадлежат ребрам изображенной на рисунке 97 пирамиды SABCD. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре CD так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку. 7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон. В’ 1 • 1 1 в! — — у L D С М С Рис. 96 104 Вариант 70 6. Точки К, L и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 98 пирамиды SABC. Скопируйте рисунок и отметьте точку М на ребре SC так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку. 7. Найдите объем тела, которое получено при вращении квадрата со стороной 7 см вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон. Вариант 71 6. Точки Kj L и М лежат на ребрах куба ABCDA’B’C’D’, изображенного на рисунке 99. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре C’D’ так, чтобы отрезки KN и LM пересеклись. 3 7. Высота конуса равна 8 см, объем 24тс см . Найдите площадь полной поверхности конуса. Вариант 72 6. Вершины некоторого многогранника являются центрами пяти граней куба. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника. 7. Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см сплавлены в один куб. Определите площадь поверхности этого куба. Рис. 98 В’ А’ В D’ К D Рис. 99 С М С 105 Вариант 73 6. Точки К, L и М принадлежат ребрам изображенной на рисунке 100 пирамиды SABCD. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре SC так, чтобы отрезки KN и LM пересеклись. 7. Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол в 30°, а радиус основания конуса равен 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса. Вариант 74 6. Точки К, L, М и N лежат на ребрах куба (рис. 101). Скопируйте рисунок и определите, существует ли точка пересечения отрезков KN и ML. 7. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов равен 8 см, вращается вокруг своего большего катета. Найдите площадь поверхности тела вращения. Вариант 75 6. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через диагональ основания параллельно непересекаю-щемуся с ней боковому ребру. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Высота конуса равна 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 1 I 1 1 N М Рис. 101 106 Вариант 76 6. Точки К kN лежат на ребрах изображенной на рисунке 102 пирамиды, а точки L п М принадлежат соответственно ее граням CSD и ASZ). Скопируйте рисунок, изобразите отрезки KL и MN и определите, имеют ли они общую точку, 7. Два металлических куба с ребрами 1 см и 2 см соответственно сплавлены в один куб. Определите ребро этого куба. Вариант 77 6. Точки лежат на ребрах изображенной на рисун- ке 103 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение прямых KL и MN. 7. Два металлических куба с ребрами 1 см и 2 см сплавлены в один куб. Определите полную поверхность этого куба. Вариант 78 6. Правильная треугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и середину высоты пирамиды. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Высота конуса равна 5 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса. 107 Вариант 79 6. Точки if, L, М и лежат на ребрах изображенной на рисунке 104 призмы. Скопируйте рисунок и определите, имеют ли отрезки KN и ML общую точку. 7. К плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС = 6 см и углом 120° при вершине проведен перпендикуляр AM. Расстояние от точки М до ВС равно 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников АВС и МВС, Вариант 80 6. Точки К, L VL М лежат на ребрах изображенной на рисунке 105 призмы. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре АС точку N так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку. 7. Найдите объем тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 6 см вокруг его оси симметрии. Вариант 81 6. Точка А принадлежит основанию конуса, изображенного на рисунке 106, а точка В — оси SO этого конуса. Скопируйте рисунок и отметьте точку С, в которой прямая АВ пересекает боковую поверхность конуса. 7. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24 см , площадь основания 12 см^. Одна сторона основания в три раза больше другой. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда. С’ 108 Вариант 82 6. Правильная четырехугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и медиану боковой грани. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 2 7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см , а его образующая равна диаметру основания. Найдите объем цилиндра. Вариант 83 6. Точка А принадлежит основанию конуса, изображенного на рисунке 107, а точка В — оси SO этого конуса. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или снаружи конуса, расположена точка С прямой АВ. 7. Площадь полной поверхности прямоугольного паралле- 2 лепипеда равна 136 см , стороны основания 4 см и 6 см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда. Вариант 84 6. На какие многогранники разбивает прямую призму АВСА’В’С’ плоскость, проходящая через вершины А, Б и С’? Сделайте рисунок. 7. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если АВ = 21 см, ВО = 29 см. Рис. 106 109 Вариант 85 6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 108, а точка В — оси ОО’ этого цилиндра. Скопируйте рисунок и отметьте точку С, в которой прямая АВ пересекает боковую поверхность цилиндра. 7. Полукруг свернут в виде боковой поверхности конуса. Радиус основания конуса равен 5 см. Найдите объем конуса. Вариант 86 6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 109, а точка В — оси ОО’ этого цилиндра. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или снаружи цилиндра, расположена точка С прямой АБ. 7. Диагональ квадрата АБСП равна 10 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, ZABM = 60°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD, Вариант 87 6. В кубе ABCDA’B’C’D’ проведено сечение через середины ребер АВ и A_D и вершину С Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см, вокруг большего катета. Рис. 108 tO’ ^ ^ 1 1 с. 1в iB А ‘С 1 Рис. 109 110 Вариант 88 6. Точки А, Б, С и D лежат на ребрах изображенного на рисунке 110 куба. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки АС и BD, 7. Ромб со стороной 5 см и углом 60^ вращается вокруг своей меньшей диагонали. Определите объем тела вращения. Вариант 89 6. В основании пирамиды SABCD, изображенной на рисунке 111, лежит прямоугольник. Точка М принадлежит ребру SB. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре SC точку N так, чтобы отрезки AN и DM пересекаились. 7. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его 2 центр, равна 4тс см . Найдите объем шара. Вариант 90 6. Сечение правильной треугольной призмы АВСА’В’С’ проходит через ребро АВ и точку пересечения диагоналей грани АСС’А’. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. D 111 Вариант 91 6. В основании пирамиды SABCD, изображенной на рисунке 112, лежит прямоугольник. Точка L принадлежит ребру SB, а точка К — ребру SC. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре CD точку М так, чтобы отрезки АК и LM пересекались. 7. Образующая конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90’^. Найдите объем конуса. Вариант 92 6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 113, а точка В — оси ОО’ этого цилиндра. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или сцаружи цилиндра, расположена точка С прямой АВ. 7. Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см и 8 см. Через вершину прямого угла С проходит плоскость, параллельная АВ. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 45°. Найдите синус угла, который образует с ней другой его катет. Вариант 93 6. Точки К, L я М — центры трех видимых граней куба, изображенного на рисунке 114. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки DL и КМ, 7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 2 9 СМ и 6 см, равна 408 см . Найдите диагонали параллелепипеда. 112 Вариант 94 6. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты пирамиды. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника. 7. Радиус основания цилиндра равен 8 см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Вариант 95 6. Точки А, В ш С лежат на видимой части боковой поверхности конуса, изображенного на рисунке 115. Один из отрезков с концами в этих точках полностью принадлежит поверхности конуса. Сделайте рисунок и проведите этот отрезок, 7. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45^. Найдите объем пирамиды. Вариант 96 6. В правильной треугольной пирамиде SABC проведено сечение через середины ребер АВ и ВС параллельно ребру SC. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника. 7. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота в два раза больше длины окружности основания. Найдите объем цилиндра. В’ L* D’ С’ ш Задание 8 для экзамена «Математика» 3.1. Диагональ меньшей боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна большему ребру основания. Высота параллелепипеда равна 2 см, диагональ основания равна 14 см. Найдите объем параллелепипеда. 3.2. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы. 3.3. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы. 3.4. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60°; боковая сторона и меньшая из параллельных сторон трапеции равны 4 см; диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите объем призмы. 3.5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани — угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем. 3.6. В основании прямой призмы — ромб; диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы 30° и 60°; высота призмы равна 6 см. Найдите объем призмы. 3.7. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 10 см. Сторона основания удалена от двух параллельных ей сторон противолежащей боковой грани соответственно на 5 см и 13 см. Найдите объем призмы. 3.8. Ребро нижнего основания правильной четырехугольной призмы удалено от плоскости верхнего основания на 10 см. Расстояния между противолежащими боковыми ребрами равны 8 см. Найдите объем призмы. 3.9. В основании прямой призмы лежит трапеция. Площади па- 2 2 раллельных боковых граней призмы равны 8 см и 12 см , а расстояние между ними равно 5 см. Найдите объем призмы. 114 3.10. в основании прямой призмы лежит трапеция. Объем 3 призмы равен 40 см . Площади параллельных боковых 2 2 граней равны 6 см и 14 см . Найдите расстояние между ними. 3.11. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а диагонали боковых граней 2л/Го см и 2j4 см. Найдите объем параллелепипеда. 3.12. В основании прямой призмы лежит ромб. Площадь основания призмы равна 48 см^, а площади ее диагональных 2 2 сечений равны 30 см и 40 см . Найдите объем призмы. 3.13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 см, площадь боковой поверхности равна 80 см . Найдите объем пирамиды. 3.14. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. Найдите объем пирамиды. 3.15. Площадь боковой поверхности конуса равна бОтс см ; расстояние от центра основания до образующей равно 4,8 см. Найдите объем конуса. 3.16. Основание наклонной призмы — квадрат со стороной 6 см; одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно плоскости основания и является ромбом с углом 60°. Найдите объем призмы. 3.17. В основании наклонного параллелепипеда — квадрат со стороной 3 см. Две противолежащие боковые грани перпендикулярны основанию, две другие образуют с плоскостью основания углы 30°. Полная поверхность парал- 2 лелепипеда 72 см . Найдите объем параллелепипеда. 3.18. В основании наклонного параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и острым углом 45°; боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°; диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания. Найдите объем параллелепипеда. 3.19. Все 9 ребер наклонной призмы равны 4 см. Объем приз- мы равен 24 см . Найдите угол наклона бокового ребра призмы к плоскости основания. 115 3.20. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 5 см, 12 см и 13 см. Площадь мень- 2 шей боковой грани равна 22 см . Найдите объем призмы. 3.21. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см. Боковое ребро призмы составляет с плоскостью основания угол 60°. Объем 3 призмы равен 60 см . Найдите длину бокового ребра призмы. 3.22. Две боковые грани наклонной треугольной призмы образуют угол 60°; расстояние от их общего ребра до двух других ребер равно 5 см; боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите боковую поверхность призмы. 3.23. Две боковые грани наклонной треугольной призмы пер- 2 пендикулярны. Сумма их площадей равна 70 см . Длина бокового ребра равна 5 см. Объем призмы равен 120 см . Найдите расстояния между боковыми ребрами призмы. 3.24. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. 3.25. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды. 3.26. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 3.27. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 3.28. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30°. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 3.29. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30°. Найдите объем пирамиды. 3.30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите объем пирамиды. 3.31. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро — 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 116 3.32. Высота правильной четырехугольной пирамиды . равна 20 см, а боковое ребро — 16 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3.33. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3.34. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Найдите объем пирамиды. 3.35. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 30°. Найдите объем пирамиды. 3.36. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 45°. Найдите объем пирамиды. 3.37. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3.38. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите боковую поверхность пирамиды. 3.39. Радиус цилиндра равен 8 см, а его высота равна 12 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость нижнего основания цилиндра на расстоянии 24 см от центра нижнего основания. В каких отношениях эта прямая делит пересекающиеся с ней образующие цилиндра? 3.40. Радиус цилиндра равен 6 см, а его высота равна 10 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра. Эта прямая пересекает нижнее основание цилиндра на расстоянии 3 см от центра нижнего основания. В каком отношении эта прямая делит ось цилиндра? 3.41. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра. 117 3.42. Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра. 3.43. Высота конуса равна 20 см, расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите объем конуса. 3.44. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 3.45. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов — 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию. 3.46. На расстоянии 4 см от вершины пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна 1Л 2 1 10 см и составляет ^ от площади основания пирамиды. Найдите объем пирамиды. 3.47. Радиус основания конуса 6 см, а высота равна 12 см. В конусе проведено сечение параллельно основанию. Радиус сечения равен 4 см. В каком отношении сечение делит высоту конуса? 3.48. Высота конуса равна 12 см, а радиус основания равен 3 см. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести сечение, параллельное основанию, чтобы его пло- 2 щадь была равна л см ? 3.49. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину несоприкасающе-гося с этой диагональю бокового ребра. Расстояние от плоскости сечения до вершины нижнего основания, не лежащей в плоскости сечения, равно 5 см. Площадь 2 сечения равна 10 см . Найдите объем параллелепипеда. 3.50. В правильной четырехугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец непараллельной ей диагонали верхнего основания. Площадь 2 основания призмы и площадь сечения равны 20 см . Найдите объем призмы. 118 3.51. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 45°; площадь сечения равна 4л/б см^. Найдите объем призмы. 3.52. Высота правильной треугольной призмы равна 12 см. В призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания призмы под углом 60°. Найдите объем призмы. 3.53. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину непересекающего-ся с этой диагональю бокового ребра. Объем меньшего из двух многогранников, на которые параллелепипед делится плоскостью сечения, равен 40 см^. Найдите объем параллелепипеда. 3.54. В треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. В каком отношении плоскость сечения делит объем призмы? 3.55. В треугольной пирамиде проведено сечение через среднюю линию нижнего основания и вершину пирамиды. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды? 3.56. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания перпендикулярно основанию. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды? 3.57. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение через ребро нижнего основания и точку пересечения диагоналей противолежащей боковой грани. В каком отношении плоскость сечения делит объем параллелепипеда? 3.58. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит пирамиду на части, объемы которых относятся как 1 : 26, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит высоту пирамиды? 3.59. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит высоту пирамиды на части, отношение которых равно 2:1, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды? 119 3.60. Площадь основания пирамиды равна 1м . Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две равновеликие части. Найдите площадь сечения пирамиды. 3.61. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Определите объем этой призмы. Найдите оба решения. 3.62. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения. 3.63. Прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм. 3.64. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм. 3.65. Прямоугольник со сторонами 12 см и 8 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 8 см, а во второй — правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните объемы этих призм. 3.66. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а во второй — правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм. 3.67. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в-‘-^де боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй — прйШйлъной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм. 3.68. Квадрат со стороной 24 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй — правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм. 3.69. Ромб со стороной 10 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите объем тела вращения. 3.70. Ромб со стороной 8 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. 120 3.71. Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения. 3.72. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения. 3.73. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 14 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения. 3.74. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения. 3.75. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 15 см и высотой 12 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй — около большего. Сравните объемы тел вращения. 3.76. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 20 см и высотой 15 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй — около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения. 3.77. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 16 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения. 3.78. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения. 3.79. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения. 3.80. Равнобочная трапеция с основаниями 15 см и 25 см и высотой 12 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения. 3.81. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните объемы тел вращения. 3.82. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 28 см и высотой 6 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения. 121 3.83. Прямоугольный треугольник с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите объем тела вращения. 3.84. Квадрат со стороной 8 см вращается около прямой, проведенной через вершину параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения. 3.85. Правильный треугольник со стороной 4 см вращается около оси, проведенной через вершину параллельно стороне, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения. 3.86. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около прямой, параллельной меньшему из катетов и проходящей через вершину меньшего из углов треугольника. Найдите объем тела вращения. 3.87. Ромб со стороной 13 см и диагональю 10 см вращается около оси, проходящей через вершину тупого угла параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения. 3.88. Ромб ABCZ) со стороной 10 см и диагональю АС = 12 см в первый раз вращается около оси, проходящей через вершину А параллельно диагонали BDj а во второй — через вершину В параллельно диагонали АС. Сравните объемы тел вращения. 3.89. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 6 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Найдите объем тела вращения. 3.90. Три металлических кубика с ребром а сплавлены в один шар. Что больше: площадь поверхности этого шара или суммарная площадь поверхностей кубиков? 3.91. Четыре металлических шарика радиуса а сплавлены в один куб. Что больше: площадь поверхности этого куба или суммарная площадь поверхностей шариков? 3.92. Сколько шариков диаметром 2 см можно отлить из металлического куба с ребром 4 см? 3.93. Сколько кубиков с ребром 2 см можно отлить из металлического шара диаметром 4 см? 3.94. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен К Найдите объем призмы. 122 3.95. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 3.96. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 3.97. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Объем конуса равен V. Найдите объем пирамиды, 3.98. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Объем пирамиды равен V. Найдите объем конуса. 3.99. В куб вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей куба и шара. 3.100. В шар вписан куб. Найдите отношение объемов шара и куба. Задания 9, 10 для экзамена «Математика» Задания 6, 7 для экзамена «Алгебра и начала анализа» Тригонометрия Вычислите (№ 4.1 — 4.4): sin 75° + sin 45° 4.1. 4.3. sin 285° cos 105° — cos 15° 4.2. 4.4. sin 70° + sin 20° cos 25° sin 55° cos 35°-cos^l0‘ cos 315° sin 200° Сравните значения выражений (№ 4.5, 4.6): 4.5. 4.6. 4.7. 1 + cos 40° + cos 80° cos 105° cos 5° + sin 105° sin 5° и sin 80° + sin 40° sin 20°-sin 40° 1 — cos 20° + cos 40’ и sin 95° cos 5° + cos 95° sin 5° sin 25° cos 5°-cos 25° sin 5° cos 15° cos 5° — sin 15° sin 5° ‘ Упростите выражение cos (2n — 3x) cos x + sin 3x cos + or j и укажите все x, при которых его значение равно 2 • 4.8. Упростите выражение sin (тг — Зх) cos х + cos Зх cos — д: j 7з и укажите все х, при которых его значение равно

2 • 4.9. Укажите наименьшее положительное число х, при котором sin х° = sin 15° — 2 sin 15° cos 15° + cos 15°. 4.10. Укажите наименьшее положительное число х, при котором cos х° = cos^75°-sin^75° sin 270° 4,11, Укажите наименьшее положительное число х, при sin 30° cos л:° + cos 30° sin х° котором значение выражения л равно . cos 180° 124 4.12. Укажите наименьшее положительное число л:, при cos 45° cos х° — sin 45° sin х° котором значение выражения равно 0,5. Решите уравнение (Х« 4.13 — 4.30): sin 270° 4.13. 2 2 sin X — 3 sin X + 1 = 0. 4.14. О 2 2 cos X — — cos X ” 1 = 0. 4.15. cos^ X + 6 sin X — 6 ^ 0. 4.16. 0*2, 2 sin X + 7 cos X + 2 ^ 0. 4.17. cos 2x + 8 sin X = 3. 4.18. cos 2х = 1+4 cos X. 4.19. cos 2x + sin X = 0. 4.20. cos 2х + cos X = 0. 4.21. 2 5-4 sin X = 4 cos x. 4.22. cos 2х + 9 sin X + 4 = 0. 4.23. cos 2x — 7 cos X + 4 = 0. 4.24. 2 cos 2х = 1 + 4 cos X. 4.25. 2 2 sin X + 5 cos X = 4. 4.26. 2 cos 2х = 8 sin X + 5. 4.27. sin 2x — sin X = 2 cos x — 1. 4.28. sin 2x — cos X = 2 sin x — 1. 4.29. sin 2x + 2 sin x = cos x + 1. 4.30. sin 2x + 2 cos X == sin x + 1. 4.31. Найдите все решения уравнения cos 2х + . 2 Sin X = cos X, принадлежащие отрезку [- -jt; п]. 4.32. Найдите все решения уравнения cos 2х + sin х = cos х, принадлежащие отрезку [0; 2я]. 4.33. Найдите все решения уравнения cos 2х — cos^ х

J2 sin х = 0, принадлежащие отрезку [-я; к]. 4.34. Найдите все решения уравнения cos 2х -1- sin^ X + л/З cos х = 0, принадлежащие отрезку [-я; я]. 4.35. Найдите все решения уравнения sin х = cos х, принадлежащие отрезку [-2я; 0]. 4.36. Найдите все решения уравнения Js sin х + cos х = 0, принадлежащие отрезку [я; Зя]. 4.37. Найдите все решения уравнения sin х + cos х = 0, принадлежащие отрезку [-я; я]. 4.38. Найдите все решения уравнения sin х = Js cos х, принадлежащие отрезку [я; Зя]. ол тт « 2cos X + sin X 1 4.39. Найдите все решения уравнения —_ — .- ^ “о» COSX 1 sin X ^ принадлежащие отрезку [-я; я]. 125 4.40. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку [-я; я]. 4.41. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку [-я; я]. 4.42. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку [0; 2я]. 3 sin X + cos X cos X -h 5 sin X 2 sin X — cos X 5 sin X

4 cos X sin X — 2 cos X _ 1 2 sin X + cos X 3 1 2’ 1 3 ’ Вычислите координаты точек пересечения графиков функций (№ 4.43 — 4.46): 2 2 4.43. у = sin X и I/ = cos х, 2 2 4.45. у = sin л: и г/ = 3 cos х. Найдите абсциссы общих (№4.47 — 4.50): 4.47. у = sin X и г/ = sin 2х. 4.44. у = Ъ sin^ X и I/ = cos^ х. 2 4.46. у = sin 2х и г/ = 2 cos х. точек графиков функций 4.48. г/ = 2 + cos 2х и у = cos х. 4.49. у = 3 sin 2х и у = 4 cos х. 4.50. у = 3 cos х — 1 и у = cos 2х. Степени и логарифмы Вычислите (№ 4.51 — 4.58): 4.51. log^^g27 + log3gl6 + log^3. 4.52. log^ 2 125 : log^^ 64 • log^ 81. 4.53. logjie-log^^ : 2 4.54. logi9-logJ : 3 4.55. (3 log^ 2 — log^ 24): (log^ 3 + log^ 9). 4.56. (3 Ig 2 + Ig 0,25): (Ig 14 — Ig 7). 4.57. (log^ 12 — log^ 3 + 3’°^^^ loffn 4 4.58 (log6 2 + log6 3 + 2 ) Решите уравнение (№ 4.59 — 4.80): 4.59. 2^“^-2″^“^ = 1. 4.60.3 126 1-дг_ЗХ 4.61. 1 2 2^ ■^ + 2^ » = 3. 4.62. 1 27 .3^ + 2 + 3^ ■ 1 чХ 1 + 1 4.63. 5^ -0 1] 4.64. 8 • (-J) _7^ 1 /1 чХ — 1 г -i /^1 V с 4.65. X • 3 (э ] -(5)=«- 4.66. 9 • I -2-(; 4.67. дХ -з’ С + 1 к 4 = 54. 4.68. з» + 2 • 3 4.69. 2^ • 5″» = 0,1* 103^^ 1. 4.70. 5″ 15 = 25″». 4.71. 0,: |^5д: • = 100. 4.72. 3^ ^ — 4х = 243. 4.73. 4^ -3 • 2^ = 4. 4.74. 9» + 8 • 3′ ‘ = 9. 4.75. 2^^ +1 + 7- 2»= 4. 4.76. д2Х + 1 8 • 3» = 4.77. 9^ — 5 • З»^^ + 54 = 0. 4.78. g2x + 1 7 • 2» + 4.79. 4^ + 2 «^ = 12. 4.80. 2Х 0. 4.82. ЗТ»» о «в-в- (II -а) 0. 4.87. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2^ + 2^ ^ -1. 3 Решите неравенство (№ 4.95 — 4.100): 4.95. logi (х^ + 7х + 10) > -2. 4.96. log^ (х^ — 13х + 30) 1. о 4.99. log^ix — X — 2) >2 4.98. logj (х + д: — 3) 0. 4.120. 2^-1 Злг + 2 0. V 4- 4 4.123. > о Ig JC 4.125. 0. logjX 3 Ч V — 1 4.126. >0. logjx 4 4.128. > о. Ig X 4.129. (0,1) +1000 2x-3 0. X

l 4.131. 0. V — Q 4.134. > 0. 2-1 Решите систему уравнений (№ 4.135 — 4.156): 27^ = 9^, 81’*’ = 3^^ x-y = 8, 2″‘“^^= 16, 4.135. 4.137. 4.139, 4.141, 4.143. 5 ;Ьр(|ф 1 + |x|. 5.25. cos X x^ + 1. 5.24. cos X > 1 + 2^. 5.26. cos X > 1 H—-^ 1 + X 134 Иррациональные уравнения Решите уравнение (№ 5.27 — 5.48): 5.27. J2x“ -Sx+l 5.28. Jsx^ — 4л: — 2 5.29. JSx^ — 2л: — 2 5.30. J -J: Здг 0. 2л: — 2x + 1. 4л: — 5л: Зл:^ — 2x + 1 = 6л: + 13 . 5.31. — 5х + 1 5.32. л/зх» — 4х — 1 = Jx‘ 2x-l. 2х‘ 5л: — 3. 5.33. Jx^ — х + 3 5.34. Jx^ — 2л: — 4 5.35. Зл: + 1 = Jl-x . 5.37. 8 — 2л: = + 1 . 5.39. J4-6X- ^ Зх — 5х + 6 J. 2х — 6л: — 1 5.41. л/б — 4л: — х“ = X + 4. 5.43. 73л:2 -4х + 2 = 2х — 3 5.45. 2jx + 5 =л: + 2. 5.47. 4л/^ + 6 = X + 1. Решите систему уравнений (№ 5.49 л/л: + 3i/ + 6 = 2, л/^ 5.36. 8 — Зх = л/х + 2 . 5.38. X — 2 = л/2 “ X • = х + 4. 5.40. л/з — 6х 5.42. л/l + 4х 5.44. л/ ^ _ л X — X = 6. X = X — 1. 4 + 2х-х =х-2. 2х + 1. X — 1. 5.46. 2^х^ + 8 5.48. 2^5 — 5.49. 5.50. 5.51. у+ 2=1. J2x -Зу + 2 = 3, л/Зх + 2г/ — 5 = 2. 5.52): л/х + ^ — 3 = 1, 73х — 2у + 1 = 2. 5.52, л/З^ — 2х — 2 = 1, 74X — 2г/ + 3 = 2. Найдите координаты общих точек графиков функций (№ 5.53 — 5,56): 5.53. 1/=^х + 5и«/ = 7l

2х. 5.54. г/ = 2х-7иг/= J2x — 1. 5.55. ^ = 1-4хи^ = J2x + 1. 5.56. г/ = -1 — 2х и^ = 72х + 3. 135 Степени и логарифмы Решите уравнение (№ 5.57 — 5.64): 5.57. 3*-8 • 3^ + 15 = 0 5 + 1 5.58. 3-2^-2^ =1. 5.59. 3 • 25^ — 8 • 15» + 5 • 9″» = о. 5.60. Э» + 4^^ = 2,5 • б». 5.61. + = 5.63. ЗЗ®*»’ = оШ2х х^) 5.62. 4″^^-б»-2-9»^^ = 0, 5.64.8 4(х^ + 8) 1с7(х^ + 2л:) = 1о Решите неравенство (№ 5.65 — 5.68): 5.66 5.68. Ig X + Ig (х — 3) > 1 5.65. log^ (х — 1) + log X 1. о о 5.67. log^ (л: + 1) + log^ дг log ^ 2 — log (х — 1). ОуЭ и.э ОуЭ 5.70. log, (х^ -7х + 12) 0. ^ ^гъ л Зх + 1 5.76. logj -у—2 > “1- 3 5.73. logi о О 4л: . 4Х .2 4Х , АХ Ь.оо. sin Zx = cos 2 “ sin 2 • 6.64. sin x = cos — sin , 6.65. cos 2x = 2(cos X — sin x). 6.66. (cos 6x — l)ctg 3x = sin 3x. 6.67. sin X sin 5x = cos 4x. 6,68. cos x cos 3x = cos 2x. 6.69. 3 cos X + 2 tg X = 0. 6.70. 5 sin x — 4 ctg x = 0. 6.71. 8 sin^ X + 4 sin^ 2x = 5 — 8 cos 2x. 6.72. 2 sin^ X = 4 sin^ 2x + 7 cos 2x — 6. 6.73. tg x(l — 2 sinx) — 2 cos x = V3 . 6.74. л/З sin 2x + 2sin^ x — 1 = 2 cos x. 6.75. л/З sin 2x + 2cos^ x — 1 = 2 sin x. 6.76. -ctg x(2cos X + J2) = 2 sin x. 6.77. лДо cos X — л/4 cos x — cos 2x = 0. 6.78. л/5 sin 2x — л/1 + 8 sin x cos x = 0. 6.79. Найдите наименьший положительный корень уравнения 4 sin Зх sin X + 2 cos 2х + 1 = 0. 6.80. Найдите наименьший положительный корень уравне- 2 ния 8 cos 6х cos 2х + 2 sin 4х — 3 = 0. 2 6.81. Найдите все решения уравнения sin 4х + 2 cos х = 1, удовлетворяющие условию |х| 6 • 6.164. Ictg xl = ctg X + — . ‘ ‘ sin X 2 6.166. |cos xl = cos X (x — 2) . 6.168. Л sin X = |cos x|. 6.170. 2 cos^ X = |sin x|. 6.172. 3 tg X = л/З |sin x|. 6.174. 2 sin^ X = I л/з tg x|. 6 176 4^^

^ = 2^ 6.178. cos X = tg X jcos x|. 6.180. |sin x| (4x + 2) = |2x + 1|, 6.182. jctg xl (2x — 3) = |2x — 31. 6.184. 25″»^^ > 10 • 32’^“^’^ e^ — 1| = (2x + 3)(e^ — 1). 6.186. sin^ x = cos x |sin x|. cos X = sin X cos X. 6.188. — 1| = (3x + 2)(e^ — 1). Isin x| + sin x(x ”4) =0. sin X + |sin xl (x +1,5) = 0, llog^ X — 1| = (4 — 8x)(log^ X — 1). Ilog^ X — 1| = (2x + 5)(log^ X — 1). 144 Решите систему уравнений (№6.193 2 |х — 2| + 3 |г/ + 1| = 20, 6.193. 6.195. 6.197. 2х-у = 3. 4 |х — 3| + 1у + 2] = 7, х + 2у = 4. Jx^ — 2х =у у + 2х = 1. 1, 6.194. 6.196. 6.198. 6.198): 3 |х + 1| + 2 |г/ — 2| = 20, X + 2у = 4. 2 |л: — 1| — 3 |у + 2| = 1, 2х + у = 3. П л: — л/jc 2у + 1=1. х + у = 2 Решите неравенство (№ 6.199 — 6.206): 6.199. 2 |х + 1| > X + 4. 6.200. 3 |х — 1| х + 5. 6.203. Зх^ — |х — 31 > 9х — 2. 6.204. х^ + 4 > |3х + 2j — 7х. 6.205. |х — 2| — X |х + За| 4- х . 6.213. Найдите все значения а, при которых число х = -3 является решением неравенства 4 — |х — 2а| х . 6.215. Найдите все значения а, при которых число х = 2 2 не является решением неравенства -2 0. 146 6.234. 6.235. 6.236. 6.237. 6.238. 6.239. 6.240. 6.241. 6.242. 6.243. 6.244. 6.245. 6.246. 6.247. 6.248. 6.249. 6.250. 6.251. 6.253. 6.255. <Ах- -г)^Ъх — 8 0. Jx^ — Зх + 2. — Зх + 3 ^

2х + 5 + 2х + 2 ^ “ лг + 5 / ^ Jx — 2 / vx^ + Зх — 10 UJ ^UJ -Jx^ f Зх + 4 I ух + 4 (i) > (?) (i) 2i + 2x _ 21 .4 — Зх 2л: + 3 2 — Зл: + 2 > о, + 6 >0. 3 + 4л: + 8>0. 55 4л: _ 2 (i) 3

4х -5>0, logi (6^^^-Зб»)>-2. 7ъ logi — Зб»») 4лс + 1. д»» — 2 • з»» -6 72 6.254. log^ (2 + jc) > 1 — лг. 6.256. 4″» — 3 • 2^ 0. 6.258. log 4х + 1 X 6(х — 1) 0. °5x — 4x 6.263. log 2 ,8 2. 9y — 6-260-log. фТ) 0. 6.264. 1. 6.266. 2 log Jx — 2 > log ^ . ^ X ^ 6.267. log^ I + log^ X ^ -4 log^ x. .x + 2 6.269. logg logi (x — X — 6) ^ 0. 6.270. log i (2 — 4 ) 0 для любого X из промежутков (0; 2) и (2; 3), f'(x) = 0 при X = о и при X = 2; г) нули функции: х = -1 и х = 2. 5. Найдите все первообразные функции f(x) = Зх^ — 1. 6. Найдите абсциссы обш;их точек графиков функций у = sin X и г/ = sin 2х. 7. Выясните, является ли прямая f/ = х + 1 касательной к графику функции у = 8. Решите неравенство cos X > 1 -Ь 2^. 9. Решите систему ур€1внений + У У 1 2 ’ 1 4* 10. Определите промежутки возрастания и убывания функции у = logo,5 — Зх — 2). 152 Справочный материал Алгебра и начала анализа Решение квадратного уравнения ах^ -f Ьл: + с = О ах^ + 2кх + с = О D = b^- 4ас D о — два корня: Xi 2 = —^— ^1,2 “

k ± Jk^ — ас Разложение квадратного трехчлена на множители ах^ + Ьх + с = а(х — х^Хх — Х2). Решение уравнений и неравенств 4f О. ,___ ( fix) = ig<x))^‘, 'Лм = g0, « S ^ Q. [gix)>0, i ^ ‘ ’ = |лг|, Jf <x)^ = |Дд:)| I fix) = g(x), I f<x) = g(x), logc fix) = logc g0; logc fix) 1 logc fix) 0 О, а> О, 1 aiog„i = ^ logc(aft) = log^a + logpb log^(^^ j = logca-logc& ^ogab’^ = c logafc log„c6= -loga^ 1 A log„& = —— log.a Тригонометрия Знаки тригонометрических функций tg X sm X cos X Значения тригонометрических функций а 0° 30*^ 45^^ 60° 90° 180° 270° 360° 0 л 6 л 4 л 3 л 2 л Зл 2 2л sin а 0 1 2 Л 2 Л 2 1 0 -1 0 cos а 1 Л 2 V2 2 1 2 0 -1 0 1 tg а 0 Л 3 1 л/З — 0 — 0 ctg а — л 1 -Уз 3 0 — 0 — 154 Формулы приведения р 71 2 1 +« 7c — a Я + a sin Р cos а cos a sin a -sin a cos Р sin а -sin a -cos a -cos a tgp ctga -ctg a -tga tga ctgP tga -tga -ctg a ctg a P Зя y-a Зя , 2 + a 2я — a 2я + a sin P -cos a -cos a -sin a sin a cos P -sin a sin a cos a cos a tgp ctga -ctg a -tga tga CtgP tga -tga -ctga ctg a Основные тождества sin (а ± р) = sin а cos Р ± cos а sin р cos (а ± Р) = cos а cos Р + sin а sin Р tg а ± tg р tg(a + Р) 1 + tg а • tg р Формулы двойного угла cos 2а = cos^ а — sin^ а = 2 cos^ а — 1 = 1 — 2 sin^ а sin 2а = 2 sin а cos а 2 tg а tg 2а = 4. 2 tg а 155 Переход от суммы к произведению , . о ^. а±р а+Р sin а ± sin р = 2sin ^ cos , Q „ а + р а-Р cos а + cos р = 2cos ^ «2 о * ОС + Р • ОС-Р cos а — cos Р = -2 sin

2 tg а + tg р sin(g± р) cos а cos р Переход от произведения к сумме sin а sin Р ^ [cos (а — Р)

cos (а + Р)] cos а cos Р = ^ [cos (а — р) + cos (а + р)] sin а cos Р = I [sin (а — Р) + sin (а + Р)] Формулы понижения степени . 2 1-cos 2а sin»^ а = —-;;— 2 l + cos2a cos а =——— , 2 1-cos 2а tg ос = ^ ^ l+cos2a Простейшие уравнения sin X = а(-1 X == (-l)’^arcsin а -h пк cos X = а(—1 X = 2лл cos х = -1 | /'(xq) равно О или не существует; При переходе через Xq f’ меняет знак с минуса на плюс с плюса на минус ^0 — точка минимума х^ — точка максимума 157 Первообразная fix) Fix) fix) Fix) kfix) kFix) fix) + gix) Fix) + Gix) In a с Cx sin X -cos X x’^ n+1 cos X sin X 1 X ln|xl Площадь S = Fib) — F(a) Геометрия Планиметрия Треугольник Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности: Ь-с

💥 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Все про уравнения для задания 9 на ОГЭ 2024 по математикеСкачать

решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 классСкачать

11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Супер жесть! Уравнение с олимпиадыСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Математика это не ИсламСкачать