52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Видео:Решение сложных уравнений 4-5 класс.Скачать
Решение сложных уравнений. 3 класс.
Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.
Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.
Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.
А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.
Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.
В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.
Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?
Рассмотрим уравнение в 2 действия:
х + 56 = 98 — 2 — оно достаточно легкое.
Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.
х + 56 = 98 — 2
х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!
Сейчас мы рассмотрим уравнение:
Такое уравнение можно решить несколькими способами.
- У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.
А когда к х + 5 – это число тоже известно.
Закроем его и пусть это будет другое число, например b .
Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.
2 • b = 30
А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.
А b не что иное, как х + 5.
х + 5 = 30 : 2
х + 5 = 15
х = 15 – 5
х = 10
Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.
30 – переписываем, а левую часть считаем — будет 30.
30 = 30, значит, уравнение решили правильно.
При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.
- Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.
Наше уравнение 2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.
48 : (16 – а) = 4.
Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.
Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.
16 — а = 48 : 4
16 — а = 12 – это простое уравнение.
а = 16 — 12
а = 4
Проверка: 48 : (16 — 4) = 4
Давайте посмотрим еще одно:
Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.
Проверка: 96 — (16 — 14) = 94
А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.
Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7
Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.
И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.
Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.
По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.
8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.
8 • у = 24 – это уравнение простое.
Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 . Правую часть – 7 — переписываем, а левую считаем.
Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.
(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8
(36 + d) : 4 = 18 — 8
(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит
36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!
Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться данной памяткой
Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 58
Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать
Решение рациональных уравнений сложного вида в 9-м классе
Разделы: Математика
Цели:
- Обобщить и углубить знания обучающихся по данной теме;
- Научить использовать различные методы решения: метод разложения на множители – группировки, метод замены переменной – подстановки для подведения рациональных уравнений сложного вида к более простому;
- Познакомить с различными видами рациональных уравнений: симметрических, частного случая возвратных уравнений и с методом их решения;
- Побуждать ребят к взаимоконтролю, самоконтролю и самоанализу при выполнении заданий;
- Оказывать взаимовыручку, поддержку со стороны одноклассников – ассистентов.
- Добиваться получения новых знаний через самостоятельное выполнение заданий с последующей взаимопроверкой.
Оборудование: доска раздвижная, листы – задания для устного счета, компьютер, экран.
Время: 90 минут – 2 урока.
1. Проверка домашнего задания (5 минут).
На доске (на обратной стороне) заранее на перемене учащимися записаны решения. Ученики меняются тетрадями друг с другом по парте и после проверки ставят оценки “5” – нет ошибок; “4” – 1 -2 ошибки; “3” – 3-4 ошибки, а более – “ 2”.
2. Устный тест – повторение:
На парте лежат карточки с решениями и ответы к ним, выбрать правильный ответ и объяснить почему?
| задания / ответы | 1 | 2 | 3 | 4 |
| (х-3) (х+7)=0 | 3; 7 | 3; -7 | -3;7 | -3;-7 |
| х 2 – 6х + 5 = 0 | 5;1 | 2;3 | -5;-1 | -2; -3 |
| х 2 – 25 = 0 | 0;5 | 1;25 | -5;5 | Нет решения |
| х 2 + 4х + 7 = 0 | 3,5; 2 | Нет решения | 2+ ; 2- | 1; 2,5 |
| 3(1-х)+2 = 5 – 3х | Нет решения | 3;1 | Множество корней | 0;5 |
Правильные ответы: 1 задание – 2; 2 зад. – 3; 3 зад. – 3; 4 зад. – 2; 5 зад. – 3.
Учитель: Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде: аnx n + an-1x n-1 + … a2x 2 + a1x + a0 =0, где an, an-1, …a0 – заданные числа, а х – неизвестное. Простейшие рациональные уравнения мы решаем с помощью четырех основных методов.
(Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители – группировки; функционально – графический метод).
Мы научились решать рациональные уравнения второй степени, а третьей, четвертой?
А каким методом вы решите уравнение вида a) х 3 – 8 + х – 2 = 0?
Подсказка: желательно подвести к произведению многочленов.
Да, верно, используем метод разложения на множители – группировки. Группируем слагаемые, применим формулы сокращенного умножения и получим произведение нескольких множителей – многочленов в левой части уравнения, а в правой – нуль.
(Вызывается ученик сильный в математике, а если нет, то показывает учитель ход решения).
б) А при таком уравнении х 3 – 3х + 2 = 0 можно использовать метод группировки?
Перепишем уравнение, записав 
, получим 
, а теперь сгруппируем (х 3 – х) – (2х -2) = 0. Дальнейшее решение самостоятельно, а один ученик выходит к доске, решает на другой стороне, затем учащиеся сверяют.
Учитель: Вспомним, при решении биквадратных уравнений какой метод мы использовали? Самый распространенный из всех методов – да, метод замены переменной – метод подстановки. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху. На сегодняшнем уроке мы это и рассмотрим.
Разберем решение данного уравнения:
Освободимся от знаменателя, t 2 + 4t + 3 = 0, где t ? 0.
Дорешать самостоятельно, дальнейшее решение проецируется на экран.
По формуле решаем второе уравнение 
=
= 
= 
= 
= 
= 
Ответ: х1 = -5, х2 = 1, х3 = , х4 = 
.
Учитель: Рассмотрим уравнение вида
г) (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 + 5) 2 = 157.
Метод замены переменной легко увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы для второй скобки. (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 +10х + 25) = 157; (Далее решает ученик у доски, а остальные – самостоятельно).
Пусть 
тогда получим
х 2 + 10х = 11 или х 2 + 10х = -12. Решая эти уравнения, получим
Ответ: <-11; 1; -5 
>. +
Учитель: Рассмотрим уравнение вида
Найдем равенство сумм пар чисел -7 + 2 = -1 – 4,
Перемножим между собой первую и третью, вторую и четвертую скобки, получим (х 2 – 5х – 14) ((х 2 – 5х + 4) – 40.
Введем замену: х 2 – 5х – 14 = t, где t – любое число, получим t(t + 18) = 40, t 2 + 18t – 40 = 0.
(Работает учитель, показывая ход решения или ученик с помощью учителя).
Решим данное уравнение по т. Виета 
Решим систему уравнений 
Ответ: х1 = 2, х2 = 3, х3 = х4 = 
Проверка решения данного уравнения с помощью проекции решения на экране.
+1 + 4 = + 2+ 3. Данное условие равенства выполняется, поэтому раскроем скобки, группируя первый множитель с последним и второй с третьим.
Тогда данное уравнение примет вид: (х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х +6) = 24.
Полагая х 2 + 5х = t, получим квадратное уравнение (t +4)(t +6) = 24,
решая его t 2 + 10t =0, t(t + 10) =0, найдем корни t1 =0, t2= -10.
Затем решаем уравнения
Учитель: Уравнения вида а0х n + a1x n-1 + … + akx k + … + a1x + a0 = 0, где коэффициенты членов, равно от стоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.
Симметрические уравнения обладают следующими свойствами:
1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой;
2. Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки
V = x + 
сводится к уравнению степени n.
Данное уравнение симметрическое, так как коэффициенты равно отстоящих от концов, равны между собой. Степень уравнения нечетная равная 5, поэтому корень данного уравнения х = – 1.
Пусть 
Разделим левую часть уравнения на х + 1 и получим симметрическое уравнение четвертой степени:
Разделим обе части уравнения на х 2 : 2х 2 + 3х – 16 + 3• 
+ 2• 1/х 2 = 0, и сгруппируем члены уравнения: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3 (1 + 
) – 16 = 0.
Используем метод замены переменной при t = x + 
, возведем в квадрат обе части уравнения, получим t 2 = (x + 
) 2 = x 2 + 2• x • 
+ 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение 2 t 2 + 3t – 20 = 0. Находим корни t = 
= 
= 
t1 = 
, t2 = -4. Таким образом , исходное уравнение четвертой степени равносильно совокупности уравнений x + 
и x + 
= -4.
Решив данные уравнения, получим еще четыре корня исходного уравнения.
Ответ: х1 = -1, х2 = -2+
, х3 = -2 – , х4 = 2, х5 = 
.
Учитель: Прошу вас, ребята, решить самостоятельно с последующей проверкой симметрическое уравнение четвертой степени. А почему оно симметрическое?
з) 2х 4 + 3х 3 – 16 х 2 + 3х + 2 = 0.
Разделим обе части уравнения на х 2 
, получим 2х 2 + 3х – 16 + 
+ 2/х 2 =0.
Сгруппируем (2х 2 + 2/х 2 ) + (3х+ ) – 16 = 0, 2(х 2 +12/х 2 ) + 3(х+ 
) – 16 =0.
Введем метод замены переменной, обозначим х+ = t, возведем в квадрат обе части равенства, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение вида 2(t 2 – 2) + 3t – 16 =0. Решая уравнение по общему виду 2t 2 -4 + 3t -16 = 0, 2t 2 + 3t – 20 = 0, получим корни t1 = 
, t2 = -4. Можно не решать, а сразу же записать ответы предыдущего уравнения.
Ответ: х1 = 
, х2 = -2+, х3 = -2 – , х4 = 2.
Учитель: Мы рассмотрели симметрические уравнения, являющиеся частным случаем возвратных уравнений. Следовательно, и ход их решения будет похожим, но более подробно мы познакомимся с возвратными уравнениями и рассмотрим более подробно ход решения на следующем занятии. А сейчас,
я вам предложу домашнее задание на два варианта для самостоятельного решения. Дополнительно даны ответы ко всем уравнениям. Не сможете справиться, рассмотрим на уроке. а кто-то хочет больше решить, с довольствием приветствую вас.
Вариант 1. Вариант 2. а) (х 2 – 6х) 2 -2(х – 3) 2 = 81;
б) х 3 + х + 2 = 0;
в) 6х 4 – 35 х 3 + 62 х 2 – 35х + 6 = 0;
г) (х –1)(х+2)(х-3)(х+4) = 144;
д) (х 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12;а) (х 2 – 8х) 2 + 3(х – 4) 2 = 76;
б) х 3 + 3х 2 + 2х = 0.
в) 5х 4 – 12х 3 + 14х 2 – 12х + 5 = 0.
г) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15.
д) (3х +2) 4 – 13(3х + 2) 2 + 36 = 0.
Выберите ответы, выполняя домашнее задание.
А  | В. 1. | С . | Д . | Б. |
Учитель: Подведем итог нашей темы. Уравнения третьей и четвертой степени решались в общем случае методом замены переменной, в который заключается в том, что для решения уравнения вида f(x) =0 вводят переменную t = g(x) и выражают f(x)через t, получая новое уравнение w(t) = 0. Решая затем уравнение w(t)= 0, находят его корни <t1, t2, … tn>. После чего получают совокупность n – уравнений g(x) = t1, g(x) = t2, … g(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.
📸 Видео
Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать
Как решить сложные уравненияСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать
Решение уравнений, 6 классСкачать
Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать
Математика 2 класс. «Сложные уравнения и их решение»Скачать
КАК СПИСАТЬ СЛОЖНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ, ЕСЛИ ИХ НЕТ В ИНТЕРНЕТЕ? #shortsСкачать
Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
СОСТАВНЫЕ УРАВНЕНИЯ / Как легко решать сложные уравнения / УРАВНЕНИЯ #математика #уравненияСкачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать
Уравнения. 5 классСкачать
ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
Уравнения со скобками - 5 класс (примеры)Скачать
