Самое большое уравнение в мире (4 видео)

Почему самые сложные уравнения физики такие трудные?

Содержание

Уравнения Навье-Стокса описывают простые повседневные явления, вроде воды, текущей из садового шланга — однако на них основана задача, решение которой оценили в миллион долларов
Уравнение Шрёдингера
Формулы и уравнения, которые изменили мир
Теорема Пифагора
Логарифм и его тождество
Основная теорема анализа
Классическая теория тяготения Ньютона
Комплексные числа
Эйлерова характеристика полиэдров
Нормальное распределение
Волновое уравнение
Преобразование Фурье
Уравнения Навье—Стокса
Уравнения Максвелла
Второй закон термодинамики
Теория относительности Эйнштейна
Уравнение Шрёдингера
Информационная энтропия Шаннона
Логистическая модель роста популяций
Модель Блэка-Скоулза
Вместо заключения
📽️ Видео

Уравнения Навье-Стокса описывают простые повседневные явления, вроде воды, текущей из садового шланга — однако на них основана задача, решение которой оценили в миллион долларов

В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи «Задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей.

Недавно я писал о том, как для этих уравнений был получен новый важный результат. И эта работа свидетельствует о том, что прогресс на пути к «премии тысячелетия» будет более тяжёлым, чем ожидалось. Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры?

Ответ, как я понял, кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10 000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира.

Пример потока без турбулентности — это спокойная река. Каждая её часть движется в одном и том же направлении с одной и той же скоростью. Турбулентная жидкость появляется, когда поток реки ломается так, что разные части потока начинают двигаться в разных направлениях с разными скоростями. Физики описывают формирование турбулентности сперва как появление воронки в гладком потоке, а затем как формирование мелких воронок в первой воронке, и ещё более мелких воронок в этих воронках — море воронок, уходящих внутрь жидкости, так, что жидкость разбивается на дискретные части, каждая из которых взаимодействует друг с другом и движется в своём собственном направлении.

Исследователи хотят понять, как именно гладкий поток разбивается на турбулентные завихрения, и смоделировать будущую форму жидкости, после того, как турбулентность взяла своё. Но Задача тысячелетия формулируется более скромно: нужно лишь доказать, что решения всегда существуют. То есть, вопрос в том, могут ли уравнения описать любую жидкость, с любыми начальными условиями, и до бесконечно далёкого будущего?

«Первый шаг — просто попытаться доказать, что у уравнений есть какие-то решения, — говорит Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета. — Это не даёт настоящего понимания поведения жидкостей, но если у вас и этого нет, то вы вообще ничего не знаете».

Так как можно доказать существование решений? Начать нужно с того, чтобы понять, из-за чего их может не оказаться. Уравнения Навье-Стокса подразумевают подсчёт изменения таких величин, как скорость и давление. Математиков беспокоит следующий вариант развития событий: вы прогоняете эти уравнения, и через какое-то конечное время они сообщают вам, что частица жидкости движется с бесконечной скоростью. А это проблема — подсчитать изменение бесконечного значения не проще, чем поделить на ноль. Математики называют такие ситуации «взрывом», и в случае взрыва уравнения перестают работать и решений не находится.

Уравнения Навье-Стокса описывают поток несжимаемой жидкости.

В целом произведение массы (голубая часть) на ускорение (фиолетовая) приравнивается к силам, действующим на жидкость (оранжевая):

ρ — плотность жидкости;
dV/dt — изменение скорости по времени;
V ∇V — скорость и направление движения;
∇P — изменение внутреннего давления;
ρ g — влияние внешних сил (к примеру, гравитации);
μ ∇ 2 V — влияние внутренних сил (вязкость).

Доказательство отсутствия взрывов (и существования решений) равносильно доказательству того, что максимальная скорость любой частицы жидкости остаётся ограниченной неким конечным значением. Одной из наиболее важных величин оказывается кинетическая энергия жидкости.

Когда вы начинаете моделировать поток при помощи уравнений Навье-Стокса, у вашей жидкости есть некое начальное количество энергии. В турбулентных потоках энергия может начать концентрироваться. Вместо того, чтобы равномерно распространяться по всей реке, кинетическая энергия может собираться в водоворотах произвольно малого размера, и частицы в этих водоворотах (теоретически) могут разогнаться до бесконечной скорости.

«При переходе на всё меньшие и меньшие масштабы, кинетическая энергия становится всё менее и менее полезной для контроля решения. Решение может делать, что угодно, и я не буду знать, как его контролировать», — говорит Влад Викол, математик из Принстонского университета, написавший новую работу вместе с Тристаном Бакмастером.

Математики классифицируют частично дифференциальные уравнения на основании того, до какой степени они могут начать вести себя плохо на бесконечно малых масштабах. Уравнения Навье-Стокса находятся на экстремальном конце этой шкалы. Сложность математики уравнений в каком-то смысле отражает сложность турбулентных потоков, которые они должны уметь описывать.

«Когда вы увеличиваете масштаб в каком-то месте, то с математической точки зрения вы теряете информацию о решении, — говорит Викол. — Но турбулентность должна описывать именно это — передачу кинетической энергии от крупных ко всё более мелким масштабам, поэтому она прямо-таки просит вас увеличивать масштаб».

Говоря о математических свойствах физических уравнений, естественно задаться вопросом: а изменят ли эти рассуждения то, как мы расцениваем физический мир? В случае с уравнениями Навье-Стокса и Задачей тысячелетия ответ будет одновременно «да» и «нет». После почти 200 лет экспериментов ясно, что уравнения работают: течение, предсказанное Навье-Стоксом, последовательно совпадает с течением, наблюдаемым в экспериментах. Если вы — физик, работающий в лаборатории, вам этого может быть достаточно. Но математикам нужно знать больше — они хотят проверить, можно ли следовать этим уравнениям до упора, чтобы следить за тем, как именно меняется поток, от одного момента времени к другому (для любой начальной конфигурации жидкости), и даже уловить источник турбулентности.

«Поведение жидкостей таит в себе сюрпризы, — говорит Фефферман. — Эти сюрпризы в принципе объясняются фундаментальными уравнениями, управляющие потоками жидкостей, но как перейти от уравнений, управляющих движением жидкости, к описанию того, как на самом деле движется жидкость — это загадка».

Видео:Как выглядит самая сложная задача математики? Фрактал КоллатцаСкачать

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Видео:Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

Формулы и уравнения, которые изменили мир

Математик Ян Стюарт (Ian Stewart) в своей новой книге «В поисках неизвестного: 17 уравнений, которые изменили мир» рассматривает несколько наиболее важных уравнений всех времен и приводит примеры их практического применения.

Теорема Пифагора

Согласно Теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важность: Теорема Пифагора — важнейшее уравнение в геометрии, которое связывает ее с алгеброй и является основой тригонометрии. Без него было бы невозможно создать точную картографию и навигацию.

Современное использование: Триангуляция используется и по сей день, чтобы точно определить относительное расположение для GPS навигации.

Логарифм и его тождество

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.

Важность: Логарифмы стали настоящей революцией, позволив астрономам и инженерам делать расчеты более быстро и точно. С появлением компьютеров они не потеряли своего значения, поскольку все еще существенны для ученых.

Современное использование: Логарифмы важная составляющая для понимания радиоактивного распада.

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа или формула Ньютона — Лейбница дает соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Важность: Теорема анализа фактически создала современный мир. Исчисление имеет важное значение в нашем понимание того, как измерять тела, кривые и площади. Она является основой многих природных законов и источником дифференциальных уравнений.

Современное использование: Любая математическая проблема, где требуется оптимальное решение. Существенное значение для медицины, экономики и информатики.

Классическая теория тяготения Ньютона

Классическая теория тяготения Ньютона описывает гравитационное взаимодействие.

Важность: Теория позволяет рассчитать силу гравитации между двумя объектами. Хотя позднее она была вытеснена теорией относительности Эйнштейна, теория все равно необходима для практического описания того, как объекты взаимодействуют друг с другом. Мы используем ее и по сей день для проектирования орбит спутников и космических аппаратов.

Современное использование: Позволяет найти наиболее энергоэффективные пути для вывода спутников и космических зондов. Также делает возможным спутниковое телевидение.

Комплексные числа

Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел.

Важность: Многие современные технологии, в том числе цифровые фотокамеры, не могли быть изобретены без комплексных чисел. Кроме того, они позволяют проводить анализ, который нужен инженерам для решения практических задач в авиации.

Современное использование: Широко используется в электротехнике и сложных математических теориях.

Эйлерова характеристика полиэдров

Важность: Внесла вклад в понимание топологического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности. Необходимый инструмент для инженеров и биологов.

Современное использование: Топология используется, чтобы понять поведение и функции ДНК.

Нормальное распределение

Важность: Уравнение является основой современной статистики. Естественные и социальные науки не могли бы существовать в своей нынешней форме без него.

Современное использование: Используется в клинических испытаниях для определения эффективности лекарств по сравнению с отрицательными побочными эффектами.

Волновое уравнение

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение волн.

Важность: Волны исследуются с целью определения времени и места землетрясений, а также для прогнозирования поведения океана.

Современное использование: Нефтяные компании используют взрывчатку, а затем считывают данные от последующих звуковых волн для определения геологических формаций.

Преобразование Фурье

Важность: Уравнение позволяет разбивать, очищать и анализировать сложные шаблоны.

Современное использование: Используется при сжатии информации изображений в формате JPEG, а так же для обнаружения структуры молекул.

Уравнения Навье—Стокса

В левой части уравнения — ускорение небольшого количества жидкости, в правой — силы, которые воздействуют на него.

Важность: Как только компьютеры стали достаточно мощными, чтобы решить это уравнение, они открыли сложную и очень полезную области физики. Она особенно полезна для создания более качественной аэродинамики у транспортных средств.

Современное использование: Среди прочего, уравнение помогло в усовершенствовании современных пассажирских самолетов.

Уравнения Максвелла

Описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Важность: Помогли в понимании электромагнитных волн, что способствовало созданию многих технологий, которые мы используем сегодня.

Современное использование: Радар, телевидение и современные средства связи.

Второй закон термодинамики

Вся энергия и тепло со временем исчезнет.

Важность: Имеет существенное значение для нашего понимания энергии и Вселенной через понятие энтропии. Открытие закона помогло улучшить паровой двигатель.

Современное использование: Помог доказать, что материя состоит из атомов, физики до сих пор пользуются этим знанием.

Теория относительности Эйнштейна

Энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

Важность: Наверное, самое известное уравнение в истории. Оно полностью изменило нашу точку зрения на материю и реальность.

Современное использование: Помогло создать ядерное оружие. Используется в GPS навигации.

Уравнение Шрёдингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Описывает материю как волну, а не как частицу.

Важность: Перевернула представления физиков — частицы могут существовать в диапазоне возможных состояний.

Современное использование: Существенный вклад в использование полупроводников и транзисторов, и, таким образом, в большинство современных компьютерных технологий.

Информационная энтропия Шаннона

Оценивает количество данных в куске кода путем расчета вероятности его символов.

Важность: Это уравнение, которое открыло дверь в Информационную Эпоху.

Современное использование: В значительной степени все, что связано с обнаружением ошибок в кодировании (программировании).

Логистическая модель роста популяций

Оценка изменений в популяции живых существ из поколения в поколение с ограниченными ресурсами.

Важность: Помогла в развитии теории хаоса, которая полностью изменила наше понимание того, как работают природные системы.

Современное использование: Используется для моделирования землетрясений и прогноза погоды.

Модель Блэка-Скоулза

Модель Блэка Скоулза

Одна из моделей ценообразования опционов.

Важность: Помогла создать несколько триллионов долларов. Согласно некоторым экспертам, неправильное использование формулы (и ее производных) способствовало финансовому кризису. В частности, уравнение имеет несколько предположений, которые не справедливы на реальных финансовых рынках.

Современное использование: Даже после кризиса используются для определения цен.

Вместо заключения

В мире существует множество других важных уравнений и формул, которые изменили судьбу человечества в целом и нашу личную жизнь в частности. Среди них, модель Ходжкина—Хаксли, Фильтр Калмана и, конечно, уравнение поисковой системы Google. Мы надеемся, что нам удалось показать насколько важна математика, и насколько бесценен ее вклад для всех людей.