Решите в целых числах систему уравнений xy z 94

Решить в целых числах систему уравнения
xy + z = 94
x + yz = 95

• Радивоз Шурик
• Алгебра 2019-08-23 00:39:04 0 1

Заметим, что 94 = 95 — 1 xy + z = x + yz — 1 xy — x + z — yz = -1 x(y — 1) — z( y — 1) = -1 (y — 1)(x — z) = 1 (y — 1)(z — x) = 1. Значит, или оба множителя равны 1, или -1, или один из их целый, а 2-ой — оборотный первому. В последнем случае выходит, что какое-то из чисел непременно будет дробным, а это не удовлетворяет условию задачи.

1) y — 1 = -1, z — x = -1 y = 0, z = 94, x = 95. z — x = 94 — 95 = -1 — правильно, решение (95; 0; 94) подходит.

2) y — 1 = 1, z — x = 1 y = 2.

z — x = 32 — 31 = 1 — верно, решение (31; 2; 32) подходит.

Видео:Решить в целых числах систему уравненийСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА. Плохо обработанные заметки, и не уверен, что скоро вернусь к ним…

Найти двузначные натуральные числа, удовлетворяющие уравнению $ 17, x+ 20, y+45, z =4111 $.

Решение. Выражаем $ x_ $: $$ x=241-y-2,z+frac . $$ Полагаем $$ 17, t_1 =14-3,y-11,z quad iff quad 17, t_1 + 3,y+11,z=14 . $$ Выражаем $ y_ $: $$ y=4-3,z-5,t_1+frac . $$ Полагаем $$ 3, t_2=2-2,z-2,t_1 quad iff quad 3, t_2+2,z+2,t_1=2 . $$ Выражаем $ z_ $: $$ z=1-t_1-t_2-frac . $$ Полагаем $$ t_2=2,t_3 . $$ Теперь выражаем неизвестные $ x,y,z_ $: $$ z=1-t_1-3,t_3, y=1-2, t_1 +11, t_3, x=238+5, t_1- 5, t_3 . $$ При любых значениях параметров $ subset mathbb Z $ последние формулы дадут решение уравнения. Для того, чтобы удовлетворить дополнительным ограничениям на решения, параметры должны подчиняться условиям: $$ 9 t_3>-18 , $$ (здесь мы снова воспользовались целочисленностью параметра). Умножим теперь первое неравенство на $ 2_ $ и прибавим ко второму: $$-84 ☞ ЗДЕСЬ схеме. Если это уравнение разрешимо в целых числах, то множество его решений записывается в виде соотношений $$ x_1=beta_t_1+dots+beta_t_ + gamma_1,dots x_n=beta_t_1+dots+beta_t_ + gamma_n, $$ при некоторых фиксированных целочисленных $ <beta_>, $ и произвольном выборе целочисленных параметров $ t_1,dots,t_ $. Подставляем полученные соотношения в оставшиеся уравнения системы, переписываем их в новую систему — относительно новых неизвестных $ t_1,dots,t_ $. Число уравнений и число неизвестных уменьшились на единицу. Продолжаем процесс.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ left< begin x_1& & — x_3 & +4,x_4 &=3, \ 2,x_1 &- x_2 & & & =3, \ 3,x_1 &-2,x_2 & & -x_4 & =1. end right. $$

Решение. Из второго уравнения выражаем $ x_ $: $$x_2=-3+2, x_1=t_1 quad Rightarrow quad x_1=frac2=1+frac2 . $$ Обозначим $$t_2=frac2 quad Rightarrow quad x_1=1+t_2, quad Rightarrow quad x_2=-1+2,t_2 . $$ Подставляем в третье: $$ x_4=4-t_2 , $$ теперь все получившиеся выражения для $ x_1,x_2,x_4 $ подставляем в первое уравнение: $$ x_3=14-3,t_2 . $$

Ответ. $ x_1 = 1+t_2, x_2 =-1+2,t_2, x_3=14-3,t_2, x_4=4-t_2 $ при $ t_2 in mathbb Z $.

Решим теперь более сложный пример.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ left< begin 5,x_1& + 7, x_2 & +8,x_3 &=11, \ 2,x_1 &- 3,x_2 & +6,x_3 & =5. end right. $$

Решение. Имеем из первого уравнения: $$ x_1=frac=2-x_2-x_3+frac quad Rightarrow quad t_1=frac . $$ Далее, $$ 2,x_2+3,x_3+5,t_1=1 quad Rightarrow quad x_2=frac=-x_3-2,t_1+ frac quad Rightarrow quad t_2=frac . $$ Получаем выражение для $ x_ $: $$ x_3=1-t_1-2,t_2 , $$ подставляем его в выражение для $ x_ $: $$ x_2=-x_3-2,t_1+t_2=-t_1=3,t_2-1 . $$ Теперь $$ x_1=2-x_2-x_3+t_1=2+3,t_1-t_2 . $$ Все три получившиеся формулы подставляем во второе уравнение системы: $$ 3,t_1-23,t_2=-8 . $$ Решаем это уравнение в той же технике, получаем: $$t_1=23,u_2+5, t_2=3, u_2+1 . $$ И возвращаемся к выражениям для $ x_1,x_2,x_3 $.

Ответ. $ x_1=16+66, u_2, x_2=-3-14, u_2, x_3=-6-29, u_2 $ при $ u_2 in mathbb Z $.

Если бы мы решали предыдущую систему в рациональных или вещественных числах, то получили бы аналогичный вид решения: $$ x_1=x_+66, t, x_2=x_-14, t, x_3=x_-29, t quad npu quad t in mathbb R . $$ Можно проверить, что сомножители при $ t_ $ — это величины миноров системы уравнений, т.е. $$ left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| , quad -left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| , quad left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| $$ соответственно. См. упражнение ☞ ЗДЕСЬ. Геометрически: направляющий вектор прямой, соответствующей пересечению двух плоскостей, всегда можно выбрать целочисленным. Таким образом, если система имеет целочисленное решение, то вхождения параметра в формулы, описывающие все множество этих решений, можно оценить с помощью методов линейной алгебры (см. теорию ☞ ЗДЕСЬ ). Проблема заключается в поиске хотя бы одного частного целочисленного решения $ x_,x_,x_ $. Вот оно может и не существовать. К примеру, система $$ left< begin 2,x_1& + x_2 & -x_3 &=1, \ x_1 &+ 2,x_2 & + x_3 & =1 end right. $$ не имеет решений в $ mathbb Z_ $.

Решение системы линейных уравнений в целых числах возможно еще симплекс-методом, но с этим я еще не разбирался. И следующий результат тоже выкладываю в надежде когда-нибудь разобраться…

Теорема [Минковский]. Рассмотрим систему вещественных линейных неравенств относительно неизвестных $ x_,dots,x_n $ $$ left< begin a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &le b_1,\ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n &le b_2,\ dots & & & dots & \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n & le b_n. end right. $$ при $ b_1>0,b_2>0,dots,b_n>0 $. Пусть определитель коэффициентов левых ее частей отличен от нуля: $$ det [a_]_^n ne 0 . $$ Тогда система имеет целочисленное решение если произведение правых ее частей не меньше абсолютной величины этого определителя: $$ prod_^n b_j ge left| det [a_]_^n right| . $$

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Диофантовы уравнения x+y=xyСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать

Немного теории.

Видео:Решить в целых числах систему уравненийСкачать

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 3x+y=7 \ -5x+2y=3 end right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ left< begin y = 7—3x \ -5x+2(7-3x)=3 end right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 Rightarrow -5x+14-6x=3 Rightarrow -11x=-11 Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 cdot 1 Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Видео:Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 2x+3y=-5 \ x-3y=38 end right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ left< begin 3x=33 \ x-3y=38 end right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение ( x-3y=38 ) получим уравнение с переменной y: ( 11-3y=38 ). Решим это уравнение:
( -3y=27 Rightarrow y=-9 )

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: ( x=11; y=-9 ) или ( (11; -9) )

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

🌟 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решите уравнение в целых числах: 1!+2!+⋯+x!=y²Скачать

Решите в целых числах уравнение Математика ЕГЭ б) 2х²–5у²=7 в) 2х²+5у²=7хуСкачать

Решите уравнение в целых числах: y²+1=2^x ➜ Как решать диофантовы уравненияСкачать

Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Решите уравнение в целых числах ➜ x²-y²=2023Скачать

Симметрические системы / Как решать по шаблону? x/y+y/x=13/6; x+y=5Скачать

Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать

Решаем систему по-быстрому ➜ x+y=1; x⁴+y⁴=7 ➜ Как решать симметрические системы уравнений?Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать