Решите уравнения все они заданы на множестве действительных чисел и обоснуйте все преобразования

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение уравнений с одной переменной

Решим уравнение 1- x/3 = x/6, x € R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 — ко­рень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х(х — 1) = 2х, х € R. Разделим обе части на х, получим уравнение х — 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень — число 3. Но верно ли это? Не­трудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 — 1) = 2·0. А это означает, что 0 — корень данного уравнения, который мы поте­ряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, — это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравне­ния состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Пере­несем выражение 2х из правой части в левую: х(х — 1) — 2х = 0. Выне­сем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х — 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и толь­ко в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x= 0 или х — 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения — 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х·9 = 72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х -3)·5 = 12х; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;

в) (х-3)·17 + 12; е) х 2 — 2х + 5 = 0.

2.Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3.В уравнении (х + . )(2 х + 5) — (х — 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4.Сформулируйте условия, при которых:

а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);

б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х).

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х) = -8;

6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;

в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на вы­ражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение 2/(2-x) – ½ = 4/((2-x)x); х € R. Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70)·4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;

б) 560: (х + 9) — 56; г) (х — 13581):709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время — со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

Дата добавления: 2016-05-11 ; просмотров: 3985 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Цель.Углубить знания о числовых неравенствах и равенствах. Раскрыть трактовку понятий равенства и неравенства в начальном курсе математики.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Уравнения с одной переменной.

2. Теоремы о равносильности уравнений с одной переменной.

3. Неравенства с одной переменной.

4. Теоремы о равносильности неравенств с одной переменной.

Основные понятия темы

Ø уравнение с одной переменной;

Ø корень уравнения;

Ø что значит решить уравнение;

Ø равносильные уравнения;

Ø неравенство с одной переменной;

Ø решение неравенства;

Ø что значит решить неравенство;

Ø равносильные неравенства.

Замечания, выводы

Ø рассмотрены теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Ø Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств — необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.

Практическая часть

1. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х-3) × 5= 12х; г) 3+(12-7) × 5 = 16;

б) (х-3) × 5= 12; д) (х-3) × у =12х;

в) (х-3) × 17+ 12; е) х 2 — 2х + 5 = 0.

2. Уравнение 2х 4 + 4х 2 -6=0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3. В уравнении (х + . )(2х + 5) — (х — 3)(2х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4. Сформулируйте условия, при которых: а) число 5 является корнем уравнения f(х) = q(х); б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = q(х).

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3+7х= — 4 и 2(3+7х)= — 8; б) 3+7х = — 4 и 6+7х = — 1; в) 3+7х = — 4 и х + 2=0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а) ; б) х — ; в) (2 – х) 2 – х ( х – 1,5) = 4.

8. Учащийся решил уравнение 5х + 15 = 3х + 9 следующим обра­зом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение ; х ÎR. Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) • 4 = 328; в) (85х + 765): 170 = 98;

б) 560 : (х + 9) = 56; г) (х — 13581): 709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время — со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

12. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) — 12 — 7х 4; д) 17-12 × 8;

в) 17× (13+8) 2 + 3х – 4 > 0.

13. Является ли число 3 решением неравенства 6 (2х + 7) 3; б) > 0 и 3х – 1 >0; в) 6 — 5х > — 4 и х 4; б) х 3 — (1-2х) является любое действительное число.

18. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 — х)-2 > 5- 3х.

19. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника: а) меньше 22 см; б) больше 17 см?

1. Решите задачу различными алгебраическими способами: «От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км. Из совхоза по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/час. Одновременно на станцию через совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?».

2. Решите задачу алгебраическим и арифметическим методом: «В двух пачках всего 30 тетрадей, Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?».

3. Решите задачу алгебраически и проверьте, решив арифметически: «Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на 20 км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/час, а мотоциклист со скорость. 16 км/час. на каком расстоянии от пункта А догонит мотоциклист велосипедиста?».

4. Решите задачу арифметическим методом и проверьте, решив ее алгебраическим: «В двух кусках одинаковое количество тканей. После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во вто­ром. Сколько метров ткани было в каждом куске?».

5. Решите задачу алгебраическим методом. Что в условии задачи явилось обоснованием к составлению уравнения? Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 400 деталей. В течение 5 дней бригада перевыполнила дневную норму на 20 %, а в последующие дни изготовляла ежедневно по 15 деталей сверх плана и уже за два дня до срока из­готовила 405 деталей. Сколько деталей должна была изготовлять ежедневно бригада по плану?

6. Решите задачу. Какой метод решения задачи выбрали? Как выполнили проверку решения задачи? Группа туристов отправилась на экскурсию из города А в город В на пароходе, а воз­вратилась обратно по железной дороге. Расстояние от А до В по воде 96 км, а по железной дороге 72 км. Поезда по железной дороге продолжалась на 2 час. 40 мин. меньше, чем на пароходе. Средняя скорость парохода на 30 км/час меньше скорость поезда. Какова скорость движения парохода и поезда?

7. Составьте текстовые задачи по математической модели.

а) ; b) .

8. Составьте текстовые задачи, математической моделью которых являются неравенства: а) х + 5 £ 10; б) х + 5 ³ 5. Составленные задачи решите арифметически, алгебраически и графически. Сколько решений имеют составленные задачи?

9. Составьте текстовые задачи, моделью которых являются системы уравнений:

а) ; b) ; c)

Составленные задачи решите арифметически, алгебраически и графически. Какие величины рассматриваются в задачах?

Дата добавления: 2021-01-26 ; просмотров: 377 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Уравнения с одной переменной

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Множество значений переменной, при которых выражения f(x) и g(x) имеют смысл, называется областью определения уравнения
f(x) = g(x). Множество решений уравнения является подмножеством области его определения.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называются равносильными.

Замена уравнения равносильным ему уравнением называется преобразованием.

Преобразования, позволяющие получать равносильные уравнения, могут быть следующими:

1. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, прибавить одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х, то получится уравнение f(x) + h(x) = g(x) + h(x), равносильное данному.

Из данного утверждения вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, умножить на одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х и не обращающееся на нем в нуль, то получится уравнение f(x)× h(x) = g(x)× h(x), равносильное данному.

Из этого утверждения вытекает следствие:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Задача. Установить, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

б) (3х + 1) × 2 = 6х + 1 и х2 + 1 = 0;

Решение. а) уравнения равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и –3; б) уравнения равносильны, так как оба не имеют корней, т.е. множества их решений совпадают; в) уравнения не являются равносильными, так как корнями первого уравнения являются числа –1 и 2, а второго – числа 1 и –2.

Задача. Решить уравнение и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: .

Выполнили тождественное преобра-зование выражения в левой части уравнения.

2. Отбросим общий знаменатель:

Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.

3. Выражение ­–2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.

4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х.

Выполнили тождественное преобра-зование выражения.

5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2.

Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному.

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 – корень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х (х – 1) = 2х, х Î R. Разделим обе части на х, получим уравнение х – 1 = 2, откуда х = 3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень – число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной
х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство
0 × (0 – 1) = 2 × 0. А это означает, что 0 – корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, – это разделили обе части уравнения на х, то есть умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х (х – 1) – 2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены:
х (х – 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х = 0 или х – 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения – 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Задача. Решить уравнение (х × 9) : 24 = 3, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Решение. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х × 9 = 24 × 3, или х × 9 = 72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72 : 9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Уравнение 2х4 + 4х2 – 6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнение, а 2 и –1 не являются его корнями.

2. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве R:

а) 3 + 7х = –4 и 2(3 + 7х) = –8; в) 3 + 7х = –4 и х + 2 = 0.

б) 3 + 7х = –4 и 6 + 7х = –1;

3. Решите уравнения и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а) ; б) ; в) (2 – х) × 2 – х (х + 1,5) = 4.

4. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) × 4 = 328; в) (85х + 765) : 170 = 98;

б) 560 : (х + 9) = 56; г) (х – 13581) : 709 = 306.

🎥 Видео

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Я теряю корни ★ 99 ошиблись ★ Решите уравнение ★ x^x=(1/2)^(1/2)Скачать

Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

10 класс, 4 урок, Множество действительных чиселСкачать

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=aСкачать

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Алгебра 8 класс. Множество действительных чиселСкачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать