Решите уравнение в натуральных числах x 2 3y 29

Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х^2-3у =29

• Анна Борбей
• Математика 2019-08-19 12:37:11 6 1

Y=(x-29)/3=(x+1-30)/3
если x+1 делится на 3 то и все выражение тоже делится на 3
х может делиться на 3 или не делиться на 3
если х делится на 3 то его можно записать х=3к
если число не делится на 3 то его можно записать или х=3к+1, либо 3к-1
так как из 3-х поочередных натуральных чисел одно делится на 3 , можно также сказать что если число делится на 3 то два следующих и 2 прошлых не делятся
1)если х=3к то
х+1=(3к)+1 , так как (3к) делится на 3 то (3к)+1 не делится на 3 так как оно последующее после делящегося на 3
2) если х=3к+-1 то (3к+-1)+1=9к+-6к+1 сумма первых 2-ух делится на 3 значит все выражение не делится на 3
х+1 не делится на 3 при любом естественном х, х+1-30 не делится на 3x-29 не делится на 3
уравнение x-3у=29 не имеет решений в естественных числах

Видео:Решите уравнение в натуральных числах. x2 – x y +2x-3y = 11Скачать

Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29?

Математика | 5 — 9 классы

Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29.

Y = (x² — 29) / 3 = (x² + 1 — 30) / 3

если x² + 1 делится на 3 то и все выражение тоже делится на 3

х может делиться на 3 или не делиться на 3

если х делится на 3 то его можно записать х = 3к

если число не делится на 3 то его можно записать либо х = 3к + 1, либо 3к — 1

так как из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3 , можно также сказать что если число делится на 3 то два последующих и 2 предыдущих не делятся

х² + 1 = (3к)² + 1 , так как (3к)² делится на 3 то (3к)² + 1 не делится на 3 так как оно следующее после делящегося на 3

2) если х = 3к + — 1 то (3к + — 1)² + 1 = 9к² + — 6к + 1 сумма первых двух делится на 3 значит все выражение не делится на 3

⇒ х² + 1 не делится на 3 при любом натуральном х, ⇒ х² + 1 — 30 не делится на 3⇒x² — 29 не делится на 3⇒

уравнение x² — 3у = 29 не имеет решений в натуральных числах.

Видео:Решите уравнение в натуральных числах 2^(x^2)+2^(x^2+2x)=10Скачать

Как перевести натуральное число 1 в обыкновенную дробь?

Как перевести натуральное число 1 в обыкновенную дробь?

Помогите пожалуйста, надо решить, а для этого перевести.

Видео:Решите уравнение в натуральных числах ➜ a+b+c=abcСкачать

Решите уравнение m2 — 3m — 7 = n2 — 6n в натуральных числах?

Решите уравнение m2 — 3m — 7 = n2 — 6n в натуральных числах.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решите в натуральных числах уравнение y(x + 1) ^ 2 = 128x?

Решите в натуральных числах уравнение y(x + 1) ^ 2 = 128x.

Видео:Решите уравнение в натуральных числах: 1!+2!+3!+...+n!=m²Скачать

Решите пример и переведите в натуральное число?

Решите пример и переведите в натуральное число.

Видео:Натуральные числа. Ряд натуральных чиселСкачать

Решите в натуральных числах уравнение :5?

Решите в натуральных числах уравнение :

Видео:Решить уравнение в натуральных числах. Олимпиадная задачаСкачать

Помогите пожалуйста даны натуральные числа от?

Помогите пожалуйста даны натуральные числа от.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Решите в натуральных числах уравнение : 2x + 3y + 4z = 12?

Решите в натуральных числах уравнение : 2x + 3y + 4z = 12.

Сколько решений имеет уравнение?

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Решите в натуральных числах уравнение 12х² + 21х = 2016у + 2017?

Решите в натуральных числах уравнение 12х² + 21х = 2016у + 2017.

Видео:Решить уравнение в натуральных числах. Диофантовы уравненияСкачать

Помогите пожалуйстарешите уравнение x3 + x2 + x — 3 = 0 в натуральных числах?

решите уравнение x3 + x2 + x — 3 = 0 в натуральных числах.

Видео:Решите уравнение в целых числах ➜ x²-y²=2023Скачать

Помогите пожалуйстарешите уравнение в натуральных числах 3 2x + x + x — 3 = 0?

решите уравнение в натуральных числах 3 2

На этой странице находится вопрос Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

1 ши = 4 дм 3 см 2 ши = 3 м 6 дм 3 ши = 9 дм 2 см 4 ши есеп = 2 м 6 дм.

Если там 8, 04 : / 0, 2 то получается 40, 2, а не 42.

1 неверно, есть у всех, 2 да, 3 да, 4 не найдется.

30 рабочих выполняют работу за 6 дней, значит, 1 рабочий выполняет работу за 30·6 = 180 дней соответственно, 36 рабочих (посчитано в предыдущем ответе) выполнит работу за 180 : 36 = 5 дней.

Первый матч со счетом 3 : 0 второй 0 : 0 третий 0 : 1.

Пусть в первый день он починил x планшетов, тогда во второй х — 2 в третий х — 2 — 3 по условию : х + х — 2 + х — 5 = 17 3х = 24 х = 8 (планшетов) — в первый день х — 2 = 6 (планшетов) — во второй день х — 5 = 3 (планшета) — в третий день Ответ : 8 п..

Видео:Проверь свои знания по математике за 11 классСкачать

Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;
7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n 2 — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5 m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x₁ 2 . Уравнение преобразуется к виду x₁ 2 + y 2 = 8x₁y. Отсюда вытекает, что числа x₁, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x₁, y – нечётные числа. Тогда x₁ = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x₁, y – чётные числа. Тогда x₁ = 2x₂ + 1, y = 2y₁. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

📽️ Видео

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать

Решить уравнение в натуральных числах. Короткое решение простого диофантового уравненияСкачать

№8 Линейное уравнение x/12+x/8+x=-29/6 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭСкачать

Уравнение в натуральных числах. Задача для любителей диофантовых уравнений и олимпиадСкачать

Как умножать сложные числа? Лайфхак👌 #shortsСкачать