Решите уравнение по определению корня n ой степени x4 625 (6 видео)

x^4=625 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=625

Содержание

Решение
Калькулятор Уравнений. Решение Уравнений Онлайн
Арифметический корень n-й степени
Арифметический корень натуральной степени
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Решение уравнений $x^n = a$
Свойства арифметических корней натуральной степени
Примеры
Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Решение показательных уравнений.
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Показательные уравнения
📸 Видео

Решение

Дано уравнение
$$x^ = 625$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 — содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]<x^> = sqrt[4]$$
$$sqrt[4]<x^> = left(-1right) sqrt[4]$$
или
$$x = 5$$
$$x = -5$$
Получим ответ: x = 5
Получим ответ: x = -5
или
$$x_ = -5$$
$$x_ = 5$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^ = 625$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^$$
подставляем в уравнение
$$r^ e^ = 625$$
где
$$r = 5$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^ = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin + cos = 1$$
значит
$$cos = 1$$
и
$$sin = 0$$
тогда
$$p = frac$$
где N=0,1,2,3.
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_ = -5$$
$$z_ = 5$$
$$z_ = — 5 i$$
$$z_ = 5 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_ = -5$$
$$x_ = 5$$
$$x_ = — 5 i$$
$$x_ = 5 i$$

Видео:Корень n-ой степени из действительного числа и его свойства. 11 класс.Скачать

Калькулятор Уравнений. Решение Уравнений Онлайн

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:11 класс, 6 урок, Свойства корня n-й степениСкачать

Арифметический корень n-й степени

Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем натуральной степени $n ge 2$ из неотрицательного числа $a ge 0$ называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Поиск корня n-й степени называют извлечением корня n-й степени.

Эта операция является обратной возведению в n-ю степень.

$ sqrt[3] = 3, т.к. 3^3 = 27 $

$ sqrt[4] = 5, т.к. 5^4 = 625 $

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Если степень n нечётная, то корнем нечётной степени n из отрицательного числа $a lt 0$ называют такое отрицательное число, n-я степень которого равна a.

Решение уравнений $x^n = a$

$$ x^2 = 16 iff x^2-16 = 0 iff (x+4)(x-4) = 0 iff left[ begin x_1 = -4 \ x_2 = 4 end right. $$

$$ x^2 = -9 lt 0 iff x in varnothing, решений quad нет$$

$$ x^4 = 81 iff x^4-81 = 0 iff (x^2+9)(x^2-9) = 0 iff $$

$$ iff (x^2+9)(x+3)(x-3) = 0 iff left[ begin x_1 = -3 \ x_2 = 3 end right. $$

$$ x^3 = 27 iff x^3-27 = 0 iff (x-3)(x^2+3x+9) = 0 iff x = 3 $$

$$ x^3 = -27 iff x^3+27 = 0 iff (x+3)(x^2-3x+9) = 0 iff x = -3 $$

Если n – чётно и $a ge 0$, уравнение $x^n = a$ имеет два решения: $x = pm sqrt[n]$

Если n – чётно и $a lt 0$, уравнение $x^n = a$ решений не имеет.

Если n — нечётно, уравнение $x^n = a$ имеет одно решение $x = sqrt[n]$ при любом $a in Bbb R$.

Свойства арифметических корней натуральной степени

$$ sqrt[n] = sqrt[np]<a^>, quad a ge 0, n in Bbb N, m in Bbb N, p in Bbb N $$

Примеры

Пример 1. Упростите выражение:

Пример 2. Вычислите:

Пример 3. Сравните числа:

$ 14 lt 17 Rightarrow sqrt[3] lt sqrt[3] $

$ -14 gt -17 Rightarrow sqrt[3] gt sqrt[3] $

$ sqrt[3] lt 0 lt sqrt Rightarrow sqrt[3] lt sqrt $

$ sqrt[3] gt sqrt[3] = 3, sqrt[4] lt sqrt[4] = 3 $

$ sqrt[4] lt 3 lt sqrt[3] Rightarrow sqrt[3] gt sqrt[4] $

Пример 4. Найдите область определения функции:

Выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным:

$ frac ge 0 Rightarrow left[ begin <left< begin x+3 ge 0 \ x-1 gt 0 end right.> \ <left< begin x+3 le 0 \ x -1 lt 0 end right.> end right. Rightarrow left[ begin <left< begin x ≥ -3 \ x gt 1 end right.> \ <left< begin x le -3 \ x lt 1 end right.> end right. Rightarrow left[ begin x gt 1 \ x le -3 end right. Rightarrow x le -3 cup x gt 1 $

Область определения: $x in (-infty;-3] cup (1;+infty)$

Выражение под нечётным корнем может иметь любой знак.

Ограничения области определения связаны только с делением на 0:

Область определения: $x in (-infty;-3) cup (-3;8) cup (8;+infty)$

Пример 5. Решите уравнение:

$ x = pm sqrt[6] = pm sqrt[6] = pm 2 $

$ x in varnothing$ — решений нет

Пример 6*. Найдите значение выражения $sqrt[3]<9+sqrt> +sqrt[3]<9-sqrt>$

Мы получили уравнение: $A^3 = 3(A+6)$ или $ frac = A+6$. Решим его графически:

Видео:Корень n-ой степени. Алгебра, 9 класс Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Видео:Корень n-й степени. Область определения функции, содержащей корень n-й степениСкачать

Немного теории.

Видео:ЧТО ТАКОЕ КОРЕНЬ В N- СТЕПЕНИ? Пригодится для ЕГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #корни #mathСкачать

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, ( a neq 1), не имеет корней, если ( b leqslant 0), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Видео:Корень степени n — правильные определенияСкачать

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, ( a neq 1), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, ( a neq 1) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как ( 7^x neq 0 ) , то уравнение можно записать в виде ( frac = 1 ), откуда ( left( frac right) ^x = 1 ), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
( left( frac right) ^ = 1 )
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, ( 3 neq 1), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1