1. Сразу следует отметить, что выражение
так как |cos x+sin x| имеет неотрицательное значение. Исходя из того, что корень из двух есть число положительное, получаем:
2. Используя свойство модуля, получим два уравнения, решения каждого из них будут являться решением данного уравнения:
Решаем первое. Возводим в квадрат обе части:
Данное уравнение сводится к квадратному . Пусть sin2x = t, тогда получим
Мы установили (в начале решения), что sin2x ≥ 0. Это область допустимых значений. Можем сделать вывод, что второе уравнение решать нет смысла – так как полученные при решении значения х не будут входить в область определения.
Решаем sin2x = 1, получим:
Рассмотрим второе уравнение:
Решением является тот же корень что и при решении уравнения (1), так как при возведении в квадрат обеих частей получим то же уравнение
Задача 1797 Решите |cosx+sinx| = sqrt(2)sin2x.
Условие
Решите |cosx+sinx| = sqrt(2)sin2x
Решение
Ответ: Pi/4+Pin
Как мы перешли к sin2x=1 и sin2x=-1/2?
В выражение 1+sin2x = 2sin^22x замените sin2x = t. Решите уравнение 1+t = 2t^2. У вас получатся корни t=1 и t=-1/2. Перейдите к обратное замене sin2x=1 и sin2x=–1/2
Тригонометрические уравнения с модулем
Разделы: Математика
Раскрытие модуля по определению
Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а 2 x-sinx=0
sinx=0 или sinx= 
(оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)
Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx 2
cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1
х= -0,5 х = -2,5
Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)
Ответ: 
№5. Найти все решения уравнения 
на отрезке [0;4].
Решение. Перепишем уравнение в виде 
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим 
Из серии 
в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и 
; , а из серии 
Решая вторую систему, получим систему 
, которая не имеет решений.
Ответ: 
№6 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай: 
х=2 
Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2
№7. Решить уравнение.
Решение. ОДЗ: 
Раскрывая знак модуля, получаем системы: 
Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений 
надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида 
Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.
Ответ:
№8. Решить уравнение.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Ответ: 
№9. Решить уравнение.
Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.
Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x 2 +15x-45=(-x 2 +15x-44)-1≤-1
при 
причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos 
при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.
При решении уравнения второй системы получается:
В промежутке 
только одно целое нечетное число 3, т.е 
Другие способы раскрытия модулей.
Уравнения вида 
можно решать и следующим способом:
№10. Решить уравнение.
Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx 21.02.2008