Решите с помощью результанта систему уравнений

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Результант

Будем обозначать через $ mathbb A_ $ какое-либо из множеств $ mathbb Z, mathbb Q, mathbb R_ $ или $ mathbb C_ $.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Результант в форме Сильвестра

Для полиномов $ f(x)=a_x^n+a_1x^+dots+a_n $ и $ g(x)=b_x^m+b_1x^+dots+b_m $ при $ a_ne 0, b_0ne 0 $ рассмотрим квадратную матрицу порядка $ m+n_ $ $$ M=left(begin a_0&a_1&a_2&ldots&ldots&a_n&0&dots &0 &0\ 0&a_0&a_1&ldots&ldots&a_&a_n&dots&0 &0\ vdots&&ddots&&&&&&ddots\ 0&0&ldots&a_0&ldots&ldots & & ldots &a_ &a_n\ 0&0&ldots&&b_0&b_1&ldots& ldots &b_&b_m\ 0&0&ldots&b_0&b_1&ldots &&ldots &b_m&0\ vdots&&&ldots&&&& &&vdots\ 0&b_0&ldots&ldots&&b_m&ldots&&ldots&0\ b_0&ldots&ldots&&b_m&0&ldots&&&0 endright) begin left.begin \ \ \ \ endright> m \ left. begin \ \ \ \ \ endright> n end $$ (элементы выше $ a_ $ и $ b_ $, и ниже $ a_ $ и $ b_ $ все равны нулю). Выражение $$ (f,g)= (-1)^<n_(n-1)/2> det M $$ называется результантом 1) (в форме Сильвестра) полиномов $ f_ $ и $ g_ $ .

Пример.

$$ (a_0x^2+a_1x+a_2, b_0x^2+b_1x+b_2)= $$ $$ =(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) , . $$

Теорема. Если $ lambda_,dots,lambda_n $ — корни полинома $ f_(x) $, а $ mu_,dots,mu_m $ — корни полинома 2) $ g_(x) $ , то

$ (f,g)=0_ $ тогда и только тогда, когда полиномы $ f_(x) $ и $ g_(x) $ имеют общий корень.

Откуда возникает результант в форме Сильвестра см. ☞ ЗДЕСЬ

Пример. Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых полиномы

Решение. Вычисляем определитель с помощью элементарных преобразований строк: $$ (x^3+ <coloralpha >,x+1, x^2+ <coloralpha >,x+1)= (-1)^left| begin 1 & 0 & <coloralpha > & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 0 & 1 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 1 & <coloralpha > & 1 & 0 \ 1 & <coloralpha > & 1 & 0 & 0 end right| =- left| begin 1 & 0 & <coloralpha > & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 0 & 1 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 0 & <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 \ 0 & <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 & 0 end right|= $$ (первую строку вычли из последней, вторую — из предпоследней), разложим по элементам первого столбца: $$ =-left| begin 1 & 0 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 1 & <coloralpha > & 1 \ 0 & <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 \ <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 & 0 end right|=- left| begin 1 & 0 & <coloralpha > & 1 \ 0 & 1 & <coloralpha > & 1 \ 0 & <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 \ 0 & 1- <coloralpha > & -1- <coloralpha >^2 & — <coloralpha > end right|= $$ (из последней строки вычли первую, домноженную на $ <coloralpha > $), снова разложим по первому столбцу: $$ =-left| begin 1 & <coloralpha > & 1 \ <coloralpha > & 1- <coloralpha > & -1 \ 1- <coloralpha > & -1- <coloralpha >^2 & — <coloralpha > end right|= -left| begin 1 & <coloralpha > & 1 \ <coloralpha >+1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 end right|= $$ (ко второй строке прибавили первую, к третьей — первую, домноженную на $ <coloralpha > $), разложим по последнему столбцу: $$ =-left| begin <coloralpha >+1 & 1 \ 1 & -1 end right|=-(-( <coloralpha >+1)-1)= <coloralpha >+2 . $$

Ответ. $ <coloralpha >=-2_ $.

Проверка. $ x^-2,x+1equiv (x-1)(x^2+x-1), x^2-2,x+1equiv (x-1)(x+1) $.

Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых полиномы

$$ x^+ <coloralpha >,x^2-14 quad mbox x^+ <coloralpha >,x-14 $$ имеют общий корень.

В частном случае $ g_(x)equiv f^(x) $ результант превращается в дискриминант.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Свойства

2. $$ left(f_1cdot f_2,, gright)=(f_1,,g)cdot (f_2,, g) $$ 3. $$(Af(x)+Bg(x),Cf(x)+Dg(x))=(AD-BC)^nleft(f(x),g(x)right)$$ Последнее равенство справедливо в предположении, что $$ deg f= nge m =deg g ge 1 quad u quad deg (Af(x)+Bg(x))=deg (Cf(x)+Dg(x))= n .$$ 4. Если $ f(x)=a_x^n + a_1x^ + dots + a_n $ и $ g(x)=b_x^m+b_1x^+dots+b_m $ и числа $ a_,a_n,b_0,b_m $ отличны от нуля, то $$ (f,g) = (-1)^(a_nx^n+ldots+a_0,b_mx^m+ldots+b_0) .$$

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Результант как полиномиальная функция коэффициентов

По построению, результант является полиномом с целыми коэффициентами относительно коэффициентов полиномов $ f_(x) $ и $ g_(x) $: $$ (a_0 x^n+ ldots + a_, b_0x^m + ldots + b_m)equiv R(a_0,dots,a_n,b_0,dots,b_m) in [a_0,dots,a_n,b_0,dots,b_m] ;$$ степень этого полинома равна $ mn_ $. Как полином от $ a_0,dots,a_ $ результант является однородным степени $ m_ $; как полином от $ b_,dots,b_m $ результант является однородным степени $ n_ $.

Теорема. Если полиномы $ f_(x) $ и $ g_(x) $ имеют единственный общий корень $ lambda_ $, то

Доказательство. Рассмотрим случай $ j=0, k=1 $. Продифференцируем по $ b_ $ определяющее результант равенство: $$ (f,g)= a_0^m prod_^n g(lambda_j) ; $$ получим: $$ frac<partial b_>= sum_^n frac<partial b_> cdot prod_^n g(lambda_j) = sum_^n lambda_j^ prod_^n g(lambda_j) . $$ Если полиномы $ f_(x) $ и $ g_(x) $ имеют единственный общий корень $ lambda_1 $, то последнее равенство преобразуется в $$ frac<partial b_>=lambda_1^ prod_^n g(lambda_j) $$ и произведение $ prod $ отлично от нуля. Поскольку равенство справедливо для любых значений $ q_ $, то $$ frac<partial b_> Bigg/ frac<partial b_>= lambda_1 , $$ а общий случай из теоремы доказывается аналогично. ♦

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Субрезультанты и наибольший общий делитель

Рассмотрим матрицу $ M_ $ из определения результанта и удалим из нее первую и последнюю строки, а также первый и последний столбцы. Получим снова квадратную матрицу порядка $ m_+n-2 $. Определитель получившейся матрицы: $$ ^(f,g)= left|begin a_0&a_1&ldots&ldots&a_&a_n&dots&0 \ vdots&ddots&&&&&ddots\ 0&ldots&a_0&ldots&ldots & & ldots &a_ \ 0&ldots&&b_0&b_1&ldots& ldots &b_\ 0&ldots&b_0&b_1&ldots &&ldots &b_m\ vdots&&ldots&&&& &vdots\ b_0&ldots&ldots&&b_m&ldots&&0 endright| begin left.begin \ \ \ endright> m-1 \ left. begin \ \ \ \ endright> n-1 end $$ называется первым субрезультантом результанта $ (f_,g) $.

Теорема. Для того чтобы полиномы $ f_(x) $ и $ g_(x) $ имели один и только один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы $$(f,g)=0, ^(f,g)ne 0 .$$

При выполнении условий предыдущей теоремы единственный общий корень полиномов $ f_(x) $ и $ g_(x) $ можно выразить в виде рациональной функции коэффициентов полиномов $ f_(x) $ и $ g_(x) $:

$$ lambda=-<det M_1^over ^(f,g)> . $$ Здесь матрица $ M_1^ $ получается из $ M_ $ удалением первой и последней строк, первого и предпоследнего столбцов.

Пример. При выполнении условий теоремы для полиномов

$$ f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 u g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3 $$ ($ a_ ne 0, b_0 ne 0 $) их общий корень выражается формулой $$ lambda =- left| begin a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&0\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_5\ 0&0&0&b_0&b_1&b_3\ 0&0&b_0&b_1&b_2&0\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 endright| Bigg/ left|begin a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 end right| . $$ Определитель матрицы $ M_ $, получаемой из матрицы $ M_ $ вычеркиванием $ k_ $ первых и $ k_ $ последних столбцов, $ k_ $ первых и $ k_ $ последних строк, называется $ $-м субрезультантом полиномов $ f_ $ и $ g_ $ и обозначается $ ^(f,g) $. Для однообразия будем считать нулевым субрезультантом определитель матрицы $ M_ $: $$ ^(f,g)= det M =(-1)^(f,g) . $$

Пример. Для полиномов

Откуда возникают субрезультанты см. ☞ ЗДЕСЬ

Теорема. Для того чтобы полиномы $ f_(x) $ и $ g_(x) $ имели наибольший общий делитель степени $ k>0 $, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

При выполнении условий предыдущей теоремы наибольший общий делитель полиномов $ f_(x) $ и $ g_(x) $ можно представить в виде

$$ operatorname (f(x),g(x)) equiv x^k^(f,g) +x^ det M_k^ +ldots +det M_k^ . $$ Здесь $ M_k^ $ — матрица, получаемая из субрезультанта $ ^(f,g) $ заменой последнего его столбца на столбец $$ [a_, a_,dots, a_,b_,b_,dots,b_]^ $$ (полагаем $ a_=0 $ при $ K>n_ $ и $ b_=0 $ при $ L>m_ $).

Пример. Найти наибольший общий делитель полиномов

Решение. Опуская вычисления, приведем лишь окончательный результат: $$ (f,g)=0, ^(f,g)= 0, ^(f,g)= 0, ^(f,g)= left| begin 1 & -1 & 0 & 3 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 end right| =-7 ne 0 $$ Таким образом, $ operatorname (f(x),g(x)) $ имеет степень $ 3 $. Для его нахождения составим определитель заменой последнего столбца субрезультанта $ ^ $: $$ operatorname (f(x),g(x)) =left| begin 1 & -1 & 0 & 3 & -2,x^3+x \ 0 & 1 & -1 & 0 & 3,x^3-2,x^2+1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & x^3+x^2+2,x+1 \ 0 & 1 & 0 & 1 & x^3+2,x^2+x \ 1 & 0 & 1 & 1 & 2,x^3+x^2 end right|=-7,x^3 +7,x^2-7,x-7 . $$

Ответ. $ x^3-x^+x+1 $.

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Результант в форме Кронекера

Для полиномов $$ f(x)=a_0x^n+a_1x^+ldots+a_nquad u quad g(x)=b_0x^m+b_1x^+ldots+b_m $$ ($ a_ne 0 $) построим сначала формальное разложение дроби $ g_(x)/f(x) $ в ряд Лорана по отрицательным степеням $ x_ $. Для случая $ deg g ☞ ПУНКТА, заключаем, что $ operatorname(f,g) $ имеет степень, равную $ 2_ $.

Ответ. Два общих корня.

Следующий результат дает явное выражение субрезультантов через корни полинома $ f_(x) $.

Теорема. Если все корни полинома $ f_(x) $ простые, то справедливо следующее равенство:

$$ C_p=sum v(lambda_,dots,lambda_)^2 frac<g(lambda_)><f'(lambda_)>times dots times frac<g(lambda_)><f'(lambda_)> ; $$ здесь суммирование идет по всевозможным наборам индексов $$ (j_1,dots, j_p), 1le j_1 ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Результант в форме Безу

Рассмотрим снова полиномы из $ _[x] $: $$f(x)= a_0 x^n+ dots + a_n quad mbox quad g(x) = b_0 x^m+ dots + b_m quad (a_0 ne 0,b_0 ne 0) . $$ Найдем остатки от деления $ x^g(x) $ на $ f_(x) $: $$g_k(x)= b_x^+b_x^+dots+b_quad mbox k in , . $$ Составим матрицу из коэффициентов этих остатков: $$ B=[b_]_^ $$ и обозначим $ B_,dots,B_n $ ее главные миноры.

Теорема. Имеет место формула, связывающая миноры матрицы $ B_ $ с субрезультантами:

Доказательство проведем для случая $ n=5,, m=3_ $ и $ k=1_ $. Для элементов первых двух строк матрицы $ B_ $ имеем следующие формулы: $$ b_=0, b_=b_=b_0, b_=b_=b_1, b_=b_=b_2 , b_=b_=b_3, b_=0 ; $$ элементы остальных строк получаются по формулам, связывающим коэффициенты $ g_(x) $ с коэффициентами $ g_(x_) $: $$ b_=b_-b_a_/a_0quad npu quad j in . $$ Тогда справедливо следующее матричное равенство: $$ left( begin 1 & & & & & \ 0 & 1 & & & & \ 0 & 0 & 1 & & & \ 0 & 0 & 0 & 1 & & \ 0 & -b_/a_0 & 0 & 0 & 1 & \ -b_/a_0 & -b_/a_0 & 0 & 0 & 0 & 1 endright) cdot left(begin a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\ &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\ & & &b_0&b_1&b_2\ & &b_0&b_1&b_2&b_3\ &b_0&b_1&b_2&b_3& \ b_0&b_1&b_2&b_3& & end right) =left( begin a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5\ & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4\ & & b_ & b_ & b_ & b_\ & & b_ & b_ & b_ & b_\ & & b_ & b_ & b_ & b_\ & & b_ & b_ & b_ & b_ endright) . $$ Переходя в этом равенстве к определителям, получим требуемое. ♦

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Еще некоторые представления результанта

Теорема. Пусть

$$ g(x)=b_x^m+dots+b_m in [x] $$ — произвольный полином. Вычислим полином от квадратной матрицы $ A_ $: $$ g(A)=b_A^m+dots+b_m E , .$$ Тогда $$ det g(A) = (-1)^ (f,g_) , $$ где $ (f,g_) $ — результант полиномов $ f(x) =det (A-x_ E) $ и $ g_(x) $.

Этот результат доказывается анализом собственных чисел матрицы $ A_ $.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Применения результанта

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Преобразование Чирнгауза

Задача. Пусть даны два полинома из $ [x] $: $$f(x)= a_0 x^n+ dots + a_n quad mbox quad g(x) = b_0 x^m+ dots + b_m quad (a_0 ne 0,b_0 ne 0) . $$ Обозначим $ lambda_,dots,lambda_n $ (как правило, заранее неизвестные) корни $ f_(x) $. Построить полином $ F_(y) $, имеющий корни $ g(lambda_),dots,g(lambda_n) $. Нахождение этого полинома называется преобразованием Чирнгауза $ y=g_(x) $ полинома $ f_(x) $.

Теорема. Существует единственный нормализованный полином $ F_(y) $ степени $ n_ $, решающий задачу:

$$ F(y)equiv _(f(x),y-g(x))/a_0^m ; $$ здесь результант рассматривается для полиномов относительно переменной $ x_ $. Коэффициенты $ F_(y) $ рационально зависят от коэффициентов $ f_(x) $ и $ g_(x) $.

Пример. Найти преобразование Чирнгауза $ y=x^+x-1 $ полинома $ f(x)=x^-2,x+3 $.

Решение. $$ F(y)=(x^3-2,x+3, -x^2-x+(1+y))= $$ $$ =-left| begin 1 & 0 & -2 & 3 & 0 \ 0 & 1 & 0 & -2 & 3 \ 0 & 0 & -1 & -1 & 1+y \ 0 & -1 & -1 & 1+y & 0 \ -1 & -1 & 1+y & 0 & 0 endright| =y^3-y^2+6y-4 . $$ ♦

Применение преобразования Чирнгауза в задаче решения алгебраических уравнений ☞ ЗДЕСЬ

Обобщениями задачи являются следующие (и подобные им).

Задача. Для полинома $ f_(x) $ степени $ n_ $ построить полином $ F_(y) $, имеющий корнями всевозможные

a) суммы $ lambda_ + lambda_k $;

б) произведения $ lambda_ lambda_k $;

в) квадраты разностей $ (lambda_ — lambda_k)^2 $;

корней $ lambda_,dots,lambda_n $ полинома $ f(x) $ (здесь $ 1le j ☞ УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ. Следующая теорема дает один из самых распространенных критериев устойчивости.

Теорема [Льенар, Шипар] [2]. Для устойчивости полинома $ f(x)=a_x^n+a_1x^+dots+a_n $ с вещественными коэффициентами и $ a_ > 0 $ необходимо и достаточно, чтобы

а) все коэффициенты $ a_,dots, a_n $ были положительными;

б) все субрезультанты результанта $$ left(a_n+a_Y+a_Y^2+dots, a_+a_Y+a_Y^2+dots right) $$ были положительными.

Пример. Условие б) для $ n_=7 $:

То, что при соответствующих четностях $ k_ $ определители $ Delta_ $ действительно являются субрезультантами результанта из теоремы проверяется перестановкой строк.

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Исключение переменных в системе полиномиальных уравнений

Задача. Пусть $ f_(x,y) $ и $ g_(x,y) $ — полиномы от переменных $ x_ $ и $ y_ $ с комплексными коэффициентами. Решить систему уравнений $$ f(x,y)=0, g(x,y)=0 , $$ т.е. определить все пары $ x_= alpha, y_= beta $ при $ subset mathbb C $, обращающие каждое из уравнений в верное равенство.

Представим $ f(x_,y) $ и $ g_(x,y) $ в виде сумм их форм: $$begin f(x,y)=f_n(x,y)+f_(x,y)+ldots+f_0(x,y) ,\ g(x,y)=g_m(x,y)+g_(x,y)+ldots+g_0(x,y) . end$$ Относительно коэффициентов старших форм $$ begin f_n(x,y)=a_x^n+a_x^y+dots+a_y^n ,\ g_m(x,y)=b_x^m+b_x^y+dots+b_y^m end $$ сделаем следующее

Предположение : $ a_ne 0,a_ne 0,b_ne 0,b_ne 0 . $

Пара $ x_= alpha, y= beta $ при $ subset mathbb C_ $ будет решением системы тогда и только тогда, когда полиномы $ f(alpha,y) $ и $ g(alpha,y) $ имеют общий корень $ y_=beta $, а, следовательно, на основании основного свойства результанта $$ (f(alpha,y),g(alpha,y))=0 . $$ Разложим $ f(alpha,y) $ и $ g(alpha,y) $ по убывающим степеням $ y_ $ $$begin f(alpha,y)=A_0y^n+A_1(alpha)y^+dots+A_n(alpha) ,\ g(alpha,y)=B_0y^m+B_1(alpha)y^+dots+B_m(alpha) end$$ (здесь $ A_0=a_ne0,B_0=b_ne 0 $ по предположению , $ deg A_j(alpha)le j $; $ deg B_j(alpha)le j $) и вычислим определитель Сильвестра: $$ begin mleft<begin \ \ \ \ endright. \ nleft<begin \ \ \ \ \ endright. end left|begin A_0&A_1(alpha)&dots&&A_n(alpha)&&mathbb O &\ &A_0&dots&&&A_n(alpha)& & \ &&ddots&&&dots&ddots\ &&&&A_0&A_1(alpha)&dots&A_n(alpha)\ &mathbb O &&&&B_0&dots&B_m(alpha)\ &&&&B_0&B_1(alpha)&dots&\ &&&&&dots&&\ &B_0&B_1(alpha)&dots&&B_m(alpha)&\ B_0&B_1(alpha)&dots&&B_m(alpha)&&mathbb O endright| =(alpha) . $$ Выражение $ (alpha) $ — полином по $ alpha_ $, причем, по построению, с коэффициентами из того же множества , что и коэффициенты $ f_ $ и $ g_ $. Для того, чтобы пара $ x_= alpha, y= beta $ была решением системы уравнений необходимо, чтобы значение $ alpha_ $ было корнем полинома $ (x)=0 $.

Полином $ (x) $ — результант $ f_(x,y) $ и $ g_(x,y) $, рассматриваемых как полиномы по переменной $ y_ $ $$ (x)= _y left(f(x,y),g(x,y) right) , $$ — называется элиминантой 3) системы уравнений по переменной $ x_ $. Аналогично определяется и вторая элиминанта системы $$(y) = _x(f(x,y),g(x,y)) .$$ С помощью элиминанты решение системы из двух уравнений с двумя переменными сводится к решению одного уравнения от одной переменной: $ (x)=0 $ (или $ (y)=0 $). Говорят, что другая переменная исключена. Поэтому и соответствующий раздел алгебры называется теорией исключения.

Пример. Решить систему уравнений

$$left<begin f(x,y)=4,x^2-7,xy+y^2+13,x-2,y-3=0 ,\ g(x,y)=9,x^2-14,xy+y^2+28,x-4,y-5=0 . endright. $$ Решение. Разложим полиномы системы по степеням $ y_ $ $$begin f(x,y)=y^2+(-7,x-2)y+(4,x^2+13,x-3) ,\ g(x,y)=y^2+(-14,x-4)y+(9,x^2+28,x-5) , end $$ и вычислим элиминанту: $$(x)=left|begin 1&-7x-2&4x^2+13x-3&0\ 0&1&-7x-2&4x^2+13x-3\ 0&1&-14x-4&9x^2+28x-5\ 1&-14x-4&9x^2+28x-5&0 endright|= $$ $$ =24(x^4-x^3-4,x^2+4,x) .$$ Найдем ее корни: $ alpha_1=0,alpha_2=1,alpha_3=2,alpha_4=-2 $.

Итак, найдены $ x_ $-компоненты решений системы. Как найти их $ y_ $-компоненты? Можно построить вторую элиминанту $ (y) $, отыскать ее корни, составить всевозможные пары из корней $ (x) $ и $ (y) $, подставить их в $ f_(x,y) $ и $ g_(x,y) $ и проверить на равенство нулю. Либо же найденный корень $ x_=alpha $ подставить в одно из уравнений: $ f(alpha,y)=0 $, решить его относительно $ y_ $, и каждую полученную таким образом пару подставить в $ g(x,y) $; хотя бы одна из них должна удовлетворить уравнению $ g(x,y)=0 $. В решаемом примере любой из этих подходов приведет к правильному ответу.

Ответ. $ (0,-1); (1,2) ; (2,3) ; (-2,1) $.

Известно, однако же, что, как правило, корни полинома не являются — даже не то чтобы целыми числами — но даже и выражаемыми через коэффициенты этого полинома в виде «хороших» функций (см. ☞ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ ). Поэтому следует ожидать, что корни элиминанты могут быть найдены разве лишь приближенно. Но тогда предлагаемая в примере схема подбора соответствующей пары становится ущербной: равенство $ f(alpha,beta)=0 $ следует рассматривать как приближенное и ошибка округления может привести к неправильному заключению.

Пример. Решить систему уравнений

$$left<begin f(x,y)=3,x^2+3,xy+3,y^2-3,x-12,y+10=0 ,\ g(x,y)=x^3+y^3-x^2+xy-5,y^2-5,x+7,y-3=0 . endright. $$ Решение. Элиминанта $$ (x)=left|begin 3 & 3,x-12 & 3,x^2-3,x+10 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 3,x-12 & 3,x^2-3,x+10 & 0 \ 0 & 0 & 3 & 3,x-12 & 3,x^2-3,x+10 \ 0 & 1 &-5 & x+7 & x^3-x^2-5,x-3 \ 1 &-5 & x+7 & x^3-x^2-5,x-3 & 0 endright| = $$ $$ =-(108,x^6-54,x^5-459,x^4+126,x^3+558,x^2+72,x+1) $$ имеет корни $$ -1.4357404546, -1.2204153656, -0.1184043714, -0.0158215507, $$ $$ 1.6451908712 pm 0.3378906924 , $$ некоторые из которых близки между собой. Заметим, что при любом корне $ x= alpha $ элиминанты $ (x) $ полиномы $ f(alpha, y) $ и $ g(alpha, y) $ должны иметь общий корень как полиномы по $ y $. Однако общий корень полиномов (в случае его единственности) может быть найден как рациональная функция от коэффициентов этих полиномов —с помощью субрезультантов. Формула $$ y=-left| begin 3 & 3,x-12 & 0 \ 0 & 3 & 3,x^2 -3,x + 10 \ 1 & -5 & x^3-x^2-5,x-3 end right| Bigg/ left| begin 3 & 3,x-12 & 3,x^2 -3,x + 10 \ 0 & 3 & 3,x-12 \ 1 & -5 & x + 7 end right|= $$ $$ =-(18,x^3-9,x^2-24,x+3)/(-9,x-3) $$ для каждого корня элиминанты задает значение $ y $ так, что получившаяся пара оказывается решением системы уравнений.

Ответ. $$ (-1.4357404546, 3.4637885415) , (-1.2204153656, 1.7326988317), (-0.1184043714, 2.9392910117), $$ $$ (-0.0158215507, 1.1818959593) , $$ $$ (1.6451908712 pm 0.3378906924 , , 0.8411628278 pm 1.5734509554 , ) . $$

Вывод. Как правило, систему полиномиальных уравнений удается привести к эквивалентному (в смысле множества решений) виду: $$ (x)=0, p_0(x)y+p_1(x)=0 . $$ Здесь $ < , p_0, p_1 > $ — полиномы по $ x_ $.

Развитие этой идеологии для случая систем уравнений многих переменных медленно производится ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Безу

Сколько решений имеет система уравнений $ f(x,y)=0, g(x_,y)=0 $ ? — Очевидно, что это число совпадает со степенью элиминанты.

Теорема [Безу]. Пусть выполнены условия предположения . Тогда, как правило,

Доказательство, взятое из [5], приведем для случая $ n=3_ $ и $ m=2_ $. $$begin f(x,y)=A_0y^3+A_1(x)y^2+A_2(x)y+A_3(x) ,\ g(x,y)=B_0y^2+B_1(x)y+B_2(x) , end$$ $$(x)=left|begin A_0&A_1(x)&A_2(x)&A_3(x)&\ &A_0&A_1(x)&A_2(x)&A_3(x)\ &&B_0&B_1(x)&B_2(x)\ &B_0&B_1(x)&B_2(x)&\ B_0&B_1(x)&B_2(x)&& endright| .$$ Здесь $$ A_0=a_,B_0=b_;deg A_j(x) le j; deg B_j(x) le j quad npu quad j in . $$ Старший моном $ (x_) $ образуется из старших мономов элементов определителя. Выделим их $$ begin A_0=a_;&B_0=b_ ;\ A_1(x)=a_x+ldots;&B_1(x)=b_x+ldots ;\ A_2(x)=a_x^2+ldots;&B_2(x)=b_x^2+ldots ;\ A_3(x)=a_x^3+ldots& end . $$ Следовательно, $$(x)=left|begin a_&a_x&a_x^2&a_x^3&\ &a_&a_x&a_x^2&a_x^3\ &&b_&b_x&b_x^2\ &b_&b_x&b_x^2&\ b_&b_x&b_x^2&& endright|+ldots , $$ и нам осталось извлечь степень $ x_ $ из первого определителя. Проделаем это с помощью процедуры, которую можно обобщить на случай произвольных полиномов $ f(x,y) $ и $ g(x,y) $: домножим вторую и четвертую строки на $ x_ $, третью — на $ x^ $: $$=fracleft|begin a_&a_x&a_x^2&a_x^3&\ &a_x&a_x^2&a_x^3&a_x^4\ &&b_x^2&b_x^3&b_x^4\ &b_x&b_x^2&b_x^3&\ b_&b_x&b_x^2&& endright|+ldots = $$ Из второго столбца выносим общий делитель его элементов $ x_ $, из третьего — $ x^2 $, из четвертого — $ x^3 $, из пятого — $ x^4 $: $$=frac<x^>left|begin a_&a_&a_&a_&\ &a_&a_&a_&a_\ &&b_&b_&b_\ &b_&b_&b_&\ b_&b_&b_&& endright|+ldots= $$

Доказать, что старшие коэффициенты $ (x) $ и $ (y) $ совпадают с точностью до знака.

Указание. См. свойство 4 ☞ ЗДЕСЬ.

Поиск мнимого корня полинома

Задача. Для полинома $ f_(z) $ вычислить все его корни.

Будем предполагать, что полином $ f_(z) $ степени $ n_ $ имеет вещественные коэффициенты 4) . Известно, что корни такого полинома либо вещественны, либо мнимы, причем в последнем случае они образуют комлексно-сопряженные пары $ alpha_ pm beta mathbf i $ при $ subset mathbb R^, beta ne 0 $ (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Для поиска вещественных корней можно применять различные численные методы (Ньютона, Лагранжа и т.п.). Как решить аналогичную задачу для мнимых корней?

Представив переменную в виде $ z=x_+y mathbf i $, сведем уравнение от комплексной переменной к системе уравнений от переменных вещественных: $$ f(z)=0 iff f(x+y mathbf i)=0 iff phi(x,y)+ psi(x,y) mathbf i =0 iff left< begin phi(x,y)=0, \ psi(x,y)=0; end right. $$ здесь $ phi(x,y) = mathfrak Rmathbf e (f_(z)), psi(x,y) = mathfrak Imathbf m (f_(z)) $. Таким образом для того, чтобы найти мнимый корень полинома $ f_(z) $ нам достаточно найти вещественные решения системы алгебраических уравнений с вещественными же коэффициентами. Для решения последней задачи перспективно применить метод исключения переменной, изложенный в предыдущем пункте. Тем самым мы сведем задачу поиска корня полинома к аналогичной задаче, но только корни теперь будут вещественными; такую задачу мы умеем решать.

Теперь оформим изложенную идею аналитически. Для получения представлений полиномов $ phi_(x,y) $ и $ psi_(x,y) $ воспользуемся формулой Тейлора, разложив $ f(x_+ mathbf i y) $ по степеням $ mathbf i y_ $: $$ f(z)=f(x+ mathbf i y)=f(x)+mathbf i ,y+(mathbf i , y)^2+ dots+<f^(x)over n!>(mathbf i ,y)^n=$$ $$=left[ f(x)-y^2+<f^(x)over 4!>y^4-dotsright]+mathbf i ,yleft[ -y^2+<f^(x)over 5!>y^4-dotsright]= $$ $$ =F_1(x,Y)+mathbf i ,yF_2(x,Y) $$ при $$ Y= -y^2 , left< begin F_1(x,Y)&= & displaystyle<f(x)+Y+<f^(x)over 4!>Y^2+dots,> \ \ F_2(x,Y)&=&displaystyle<+Y+<f^(x)over 5!>Y^2+dots> end right. $$ Полиномы $ F_ $ и $ F_ $ имеют вещественные коэффициенты.

Уравнение $ f_(z) =0 $ порождает две системы уравнений $$ left< begin F_1(x,Y)=0, \ y=0, end right. quad u quad left< begin F_1(x,Y)=0, \ F_2(x,Y)=0. end right. $$ Первая из этих систем отвечает за вещественные корни полинома $ f_(z) $: все решения этой системы имеют $ y_ $-компоненту равной $ 0_ $, а $ F_1(x,0)equiv f(x) $. Вторая система состоит из уравнений четных по переменной $ y_ $: эта переменная входит в их разложение в виде квадрата $ Y=-y^2 $. Если полином $ f_(z) $ имеет корень $ lambda=alpha + mathbf i beta $ при $ subset mathbb R $ и $ beta ne 0 $, то корнем будет и $ overline=alpha — mathbf i beta $ ввиду вещественности коэффициентов $ f_(z) $ (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Но тогда система уравнений $$ F_1(x,Y)=0, F_2(x,Y)=0 $$ должна будет иметь вещественное решение $ x= alpha, Y=-beta^2 $. Будем искать это решение исключением переменной $ Y_ $. Cоставим элиминанту системы по переменной $ x_ $: $$ mathcal X(x) = _Y(F_1,F_2) . $$

Теорема. $ deg mathcal X_=N = n(n-1)/2 $.

Действительно, по аналогии с доказательством теоремы Безу, можно установить старший член разложения $ mathcal X_ $ по степеням $ x_ $: $$ mathcal X(x)=mathcal A_0x^N+dots , quad npu mathcal A_0=(-1)^K2^Na_0^, K=leftlfloorfrac rightrfloor . $$ Здесь $ lfloor rfloor $ означает целую часть числа, $ a_ $ — старший коэффициент $ f_(z) $. ♦

Каждому значению корня полинома $ mathcal X(x) $ соответствует значение $ Y_ $ такое, что образующаяся пара становится решением системы уравнений $ F_(x,Y)=0, F_2(x,Y)=0 $. Это соответствие организуется с помощью субрезультантов, как было отмечено ☞ ЗДЕСЬ.

Нас интересуют только вещественные решения системы, более того, только те из них, что имеют $ Y_ $-компоненту отрицательной.

Пример. Найти мнимые корни полинома

Ответ. Мнимые корни полинома: $ lambda_ =1pm mathbf isqrt $, $ lambda_=-7/2pm mathbf i sqrt/2 $.

Элиминанта $ mathcal X(x) $, построенная в этом пункте, обладает рядом полезных свойств. В частности, справедлива следующая

Теорема [Раус][7,8]. Для устойчивости полинома $ f(z)in mathbb R[z] $ необходимо и достаточно чтобы

а) все коэффициенты $ f_(z) $ были одного знака;

б) все коэффициенты $ mathcal X(x) $ были одного знака.

Видео:Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Дифференциальный результант

Известная аналогия задач преобразования алгебраических уравнений и задач преобразования линейных дифференциальных и разностных уравнений позволяет перенести понятие результанта из алгебры в дифференциальные уравнения.

Пример. Найти условие, при котором два дифференциальных уравнения

Решение. Воспользуемся аналогом приема из обоснования возникновения результанта. Грубо говоря, для перенесения какого-то результата из теории полиномов на линейные дифференциальные уравнения иногда достаточно формально заменить $$ x mapsto frac , $$ т.е. операцию возведения в степень — на операцию дифференцирования. Предположим, что существует общее решение рассматриваемых уравнений: $ y=varphi(x) $; тогда эта функция должна при подстановке обращать оба уравнения в тождества: $$ begin varphi^+a_1varphi^+a_2varphi+a_3equiv 0 , \ varphi^+b_1varphi^+b_2varphi+b_3equiv 0 . end $$ Продифференцируем 5) каждое из этих тождеств по $ x_ $: $$ begin varphi^+a_1varphi^ +(a_1^ +a_2)varphi^+a_2^varphi + a_3^equiv 0 , \ varphi^+b_1varphi^ +(b_1^ +b_2)varphi^+b_2^varphi + b_3^equiv 0 ; end $$ и еще один раз: $$ begin varphi^+a_1varphi^ +(2a_1^ +a_2)varphi^+ (a_1^+2a_2^)varphi^ + a_2^varphi a_3^equiv 0 , \ varphi^+b_1varphi^ +(2b_1^ +b_2)varphi^+ (b_1^+2b_2^)varphi^ + b_2^varphi + b_3^equiv 0 . end $$ Теперь объединяем получившиеся тождества в систему, рассматриваемую относительно столбца неизвестных $$ left[varphi^(x),varphi^(x), varphi^(x),varphi^(x), varphi(x), 1 right] .$$ Эта система однородна и имеет нетривиальное решение. Следовательно ( см. ☞ ЗДЕСЬ ), определитель ее матрицы равен нулю.

Ответ. Для существования общего решения уравнений необходимо выполнение условия: $$ left| begin 1 & a_1(x) & 2a_1^(x) +a_2(x) & a_1^(x)+2a_2^(x) & a_2^(x) & a_3^(x) \ 0 & 1 & a_1(x) & a_1^(x) +a_2(x) & a_2^(x) & a_3^(x) \ 0 & 0 & 1 & a_1(x) & a_2(x) & a_3(x) \ 0 & 0 & 1 & b_1(x) & b_2(x) & b_3(x) \ 0 & 1 & b_1(x) & b_1^(x) +b_2(x) & b_2^(x) & b_3^(x) \ 1 & b_1(x) & 2b_1^(x) +b_2(x) & b_1^(x)+2b_2^(x) & b_2^(x) & b_3^(x) end right| equiv 0 . $$

Определитель, стоящий в левой части тождества, называется дифференциальным результантом.

Найти общее решение дифференциальных уравнений

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Задачи

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Источники

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[3]. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichungen. Werke. Bd. 2. 1897. 113-192, Teubner, Leipzig

[4]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988. с.477–478

[5]. Brill A. Vorlesungen über ebene algebraischen Kurven und algebraische Funktionen. Braunschweig. Vieweg. 1925

[6]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

[7]. Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Часть II. Учеб. пособие. СПб. «СОЛО». 2007.

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Результант

Калькулятор вычисляет результант для двух многочленов. Также отображается матрица Сильвестра.

Этот калькулятор вычисляет результант для двух полиномов Res(A,B). Нулевой результант означает наличие общих множителей (корней) полиномов. Если у полиномов нет общих множителей — результант всегда отличается от нуля.
Например, у следующих полиномов:

• 3x 3 +9 x 2 +x+3
• x 2 +5x+6
  cуществует общий множитель: x+3 и соответственно результант этих полиномов равен нулю.

Результант

Вычисление результанта

Результант может быть вычислен как определитель матрицы Сильвестра, составленной из коэффициентов полиномов. Но наш калькулятор отображает матрицу Сильвестра исключительно для справки, так как он использует дугой алгоритм основанный на Евклидовом делении полиномов.
Алгоритм калькулятора (только без рекурсии) соответствует алгоритму опубликованному в книге Computer Algebra and Symbolic Computation автора Joel S. Cohen 1 .

Joel S. Cohen Computer Algebra and Symbolic Computation. Mathematical Methods. par. 7.1 The Resultant Concept ↩

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Видео:Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Немного теории.

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 3x+y=7 \ -5x+2y=3 end right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ left< begin y = 7—3x \ -5x+2(7-3x)=3 end right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 Rightarrow -5x+14-6x=3 Rightarrow -11x=-11 Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 cdot 1 Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Видео:Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ left< begin 2x+3y=-5 \ x-3y=38 end right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ left< begin 3x=33 \ x-3y=38 end right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение ( x-3y=38 ) получим уравнение с переменной y: ( 11-3y=38 ). Решим это уравнение:
( -3y=27 Rightarrow y=-9 )

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: ( x=11; y=-9 ) или ( (11; -9) )

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.