Решить уравнение с помощью индексов

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Видео:Как расставить индексы в формулеСкачать

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Видео:Составление уравнений химических реакций. 1 часть. 8 класс.Скачать

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^=125 Rightarrow 5^=5*5*5 Rightarrow 5^=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^=81 Rightarrow (3*3)^=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^=3^4 Rightarrow 3^=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Видео:Как расставлять коэффициенты в уравнении реакции? Химия с нуля 7-8 класс | TutorOnlineСкачать

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Видео:Как расставлять индексы в соединенияхСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -234 )

Ввод: -1,15
Результат: ( -115 )

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Видео:Расстановка Коэффициентов в Химических Реакциях // Подготовка к ЕГЭ по ХимииСкачать

Немного теории.

Видео:Химические уравнения // Как Составлять Уравнения Реакций // Химия 9 классСкачать

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left< begin a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_1 \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin a_ & a_ & cdots & a_ \ a_ & a_ & cdots & a_ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin a_ & a_ & cdots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac ;,quad i=overline tag $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы ( X^, X^, ldots , X^ ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^, ldots , X^ ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^, ldots , X^ ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ + ldots + c_kX^ $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^, ldots , X^ ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ + c_2 X^ + ldots + c_k X^ $$
где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Задача №1 Построение уравнения регрессии

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

В) равносторонней гиперболы.

2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	ху	x 2	y 2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Итого:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
Среднее значение:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х	х

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

,

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро­вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи­меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у	lg x	lg y	lg x*lg y	(lg x) 2	(lg y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Итого	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
Среднее значение	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	х	х	х
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	х	х	х

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Итого	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
Среднее значение	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

3. Уравнение равносторонней гиперболы

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Итого:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
Среднее значение:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	х	х	х
	72,23	124,17	0,000000411	х	х	х

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у
1	100	70	72,3262	0,033231	5,411206	519,1886
2	105	79	79,49405	0,006254	0,244083	190,0458
3	108	85	83,47619	0,017927	2,322012	60,61728
4	113	84	89,64321	0,067181	31,84585	77,1887
5	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
6	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
7	110	96	86,01027	0,10406	99,79465	10,33166
8	115	99	91,95987	0,071112	49,56344	38,6174
9	119	100	96,35957	0,036404	13,25272	52,04598
10	118	98	95,28761	0,027677	7,357059	27,18882
11	120	99	97,41367	0,016024	2,516453	38,6174
12	124	102	101,46	0,005294	0,291565	84,90314
13	129	105	106,1651	0,011096	1,357478	149,1889
14	132	112	108,8171	0,028419	10,1311	369,1889
Итого:	1629	1299	1298,988	0,666742	435,7575	1738,357
Среднее значение:	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Значения параметров регрессии a и b составили:

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.

🎬 Видео

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Теория чисел. 6. Методы решения сравнений 1 й степениСкачать

Решение матричных уравненийСкачать

8 класс. Химия. Как расставить коэффициенты в уравнении?Скачать

Индивидуальные и общие индексыСкачать

Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решаем уравнение быстро #shortsСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать