Решить уравнение методом ньютона python

В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).

Видео:Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать

Метод Ньютона

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Решение нелинейных уравнений

При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).

В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение

Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:

1. обрабатывать деление на ноль
2. задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
3. убрать лишний вызов функции f(x)

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:

Видео:Вычислительная математика. Метод касательных на Python(1 практика).Скачать

Решение нелинейных систем

Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).

Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).

2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).

Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Видео:Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

Newton-Raphson Method in Python

The Newton-Raphson Method is a simple algorithm to find an approximate solution for the root of a real-valued function (f(x)=0). If the function (f) satisfies sufficient assumptions then after repeative steps the (x_):

will be a good approximation to the root.

Failure of the method to converge to the root

It is important to review the proof of quadratic convergence of Newton’s method before implementing it. Specifically, one should review the assumptions made in the proof. For situations where the method fails to converge, it is because the assumptions made in this proof are not met.

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

Calculate Derivatives in Python

The Newton-Raphson Method requires to calculate the first derivative of the function (f). This can be done with the SymPy library. Let’s provide an example by funding the first derivative of the function (f(x) = x^2-4 times x-5)

Видео:Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать

Newton-Raphson Method

Since we calculate defined the function (f(x)) and the derivative (f'(x)) we are in a position to apply the simple Newton-Raphson Method.

We will start with (x_0=1):

As we can see at the third iteration it found an approximate solution which is correct since (f(-1) = 0).

Видео:Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Issues with the Newton-Raphson Solutions

The algorithm found a solution but it does not mean that this solution is unique. Actually it found the closest one. Let’s see what we would get if we had chosen as a starting point the (x_0=10)

As we can see at the third iteration it found the other approximate solution which is correct since (f(5) = 0).

Видео:Алгоритмы. Интерполяционный полином НьютонаСкачать

More Data Science Hacks?

You can follow us on Medium for more Data Science Hacks

🌟 Видео

МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать

Сам себе программист Изучаю Python с нуля в свои 55! Исследование операций Метод Ньютона-Рафсона.Скачать

11 Метод Ньютона (Метод касательных) Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать