Решить уравнение используя основное свойство дроби

Решение уравнений с дробями

Решить уравнение используя основное свойство дроби

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 5 класс.Скачать

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 5 класс.

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.Скачать

Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Решение уравнений с помощью основного свойства пропорцииСкачать

Решение уравнений с помощью основного свойства пропорции

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Решение уравнений, имеющих вид пропорции, с использованием основного свойства пропорции Математика 6Скачать

Решение уравнений, имеющих вид пропорции, с использованием основного свойства пропорции Математика 6

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Решить уравнение используя основное свойство дроби Решить уравнение используя основное свойство дроби

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Решить уравнение используя основное свойство дроби Решить уравнение используя основное свойство дроби

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. 6 класс.Скачать

Пропорция. Основное свойство пропорции. 6 класс.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Решить уравнение используя основное свойство дроби

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Решить уравнение используя основное свойство дроби

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Решить уравнение используя основное свойство дроби

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Решить уравнение используя основное свойство дроби

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Решить уравнение используя основное свойство дроби

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:6 класс, 8 урок, Основное свойство дробиСкачать

6 класс, 8 урок, Основное свойство дроби

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияРешить уравнение используя основное свойство дроби

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решить уравнение используя основное свойство дроби

Переведем новый множитель в числитель..

Решить уравнение используя основное свойство дроби

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 6 класс.Скачать

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 6 класс.

    Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 8

    Цели урока:

    • формирование понятия дробных рационального уравнения;
    • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
    • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
    • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
    • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
    • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
    • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
    • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
    • развитие критического мышления;
    • развитие навыков исследовательской работы.
    • воспитание познавательного интереса к предмету;
    • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
    • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

    Тип урока: урок – объяснение нового материала.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

    2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

    А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

    1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
    2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
    3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
    4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
    5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
    6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

    3. Объяснение нового материала.

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

    х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

    Видео:КАК РЕШАТЬ ПРОПОРЦИИ?Скачать

    КАК РЕШАТЬ ПРОПОРЦИИ?

    Основное свойство дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

    В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.

    Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

    Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

    Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры

    Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:

    Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.

    Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a , b и m будут справедливыми равенства:

    a · m b · m = a b и a : m b : m = a b

    Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: ( a · m ) · b = ( b · m ) · a и ( a : m ) · b = ( b : m ) · a . Таким образом, дроби a · m b · m и a b , а также a : m b : m и a b являются равными по определению равенства дробей.

    Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.

    Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4 · 5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:

    Решить уравнение используя основное свойство дроби

    Окрашенная часть – это 5 9 исходной фигуры или 20 36 , что является тем же самым. Таким образом, дроби 5 9 и 20 36 являются равными: 5 9 = 20 36 или 20 36 = 5 9 .

    Эти равенства, а также равенства 20 = 4 · 5 , 36 = 4 · 9 , 20 : 4 = 5 и 36 : 4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 5 9 = 5 · 4 9 · 4 и 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .

    Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.

    Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47 , после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3 . Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?

    Решение

    Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3 . В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.

    Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.

    Видео:Математика-6. Основное свойство дробейСкачать

    Математика-6. Основное свойство дробей

    Применение основного свойства дроби

    Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.

    Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.

    Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.

    Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.

    📸 Видео

    Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

    Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Практическая часть - решение задачи. 5 класс.Скачать

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Практическая часть - решение задачи. 5 класс.

    МАТЕМАТИКА 6 класс: Основное свойство дроби. ВидеоурокСкачать

    МАТЕМАТИКА 6 класс: Основное свойство дроби. Видеоурок

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Алгебра, 8 классСкачать

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Алгебра, 8 класс

    Основное свойство дроби (Слупко М.В.). Видеоурок по математике 6 классСкачать

    Основное свойство дроби (Слупко М.В.). Видеоурок по математике 6 класс

    Сократить дробь алгебра 8 классСкачать

    Сократить дробь алгебра 8 класс

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Математика 6 класс.Скачать

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Математика 6 класс.

    решение уравнений, используя основное свойство пропорцииСкачать

    решение уравнений, используя основное свойство пропорции

    Основное свойство дроби. Сокращение дробейСкачать

    Основное свойство дроби. Сокращение дробей

    Сократить дробь. Пример 08.Скачать

    Сократить дробь. Пример 08.
    Поделиться или сохранить к себе: