Решить уравнение если определитель равен нулю

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Содержание
  1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  2. Метод Крамера
  3. Матричный способ решения СЛАУ
  4. Метод Гаусса
  5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
  6. Следствия из теоремы Кронекера — Капелли
  7. Лазер Вирта
  8. Энциклопедия экономики
  9. Если определитель равен нулю то система уравнений
  10. Методы вычисления определителей
  11. Вычисления определителей второго порядка
  12. Методы вычисления определителей третьего порядка
  13. Правило треугольника
  14. Правило Саррюса
  15. Разложение определителя по строке или столбцу
  16. Разложение определителя по элементам строки или столбца
  17. Замечание
  18. Приведение определителя к треугольному виду
  19. 4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.
  20. Теорема Лапласа
  21. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
  22. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
  23. Формулы Крамера
  24. Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений
  25. Три случая при решении систем линейных уравнений
  26. Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
  27. К началу страницы
  28. Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
  29. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.
  30. Определители. Вычисление определителей (стр. 2 )
  31. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
  32. Формулы Крамера
  33. Три случая при решении систем линейных уравнений
  34. Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
  35. Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения
  36. К началу страницы
  37. Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
  38. Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Видео:5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?Скачать

5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение Решить уравнение если определитель равен нулю

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы Решить уравнение если определитель равен нулю

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на Решить уравнение если определитель равен нулюдля этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: Решить уравнение если определитель равен нулю

Второй столбец умножим на Решить уравнение если определитель равен нулютретий столбец — на Решить уравнение если определитель равен нулю-ый столбец — на Решить уравнение если определитель равен нулюи все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение Решить уравнение если определитель равен нулюне изменится:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. Решить уравнение если определитель равен нулю

Определение: Определитель Решить уравнение если определитель равен нулюназывается первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: Решить уравнение если определитель равен нулю

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Решить уравнение если определитель равен нулюПроанализируем полученные формулы:

  • если главный определитель системы отличен от нуля (Решить уравнение если определитель равен нулю), то система имеет единственное решение;
  • если главный определитель системы равен нулю (Решить уравнение если определитель равен нулю), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( Решить уравнение если определитель равен нулюили Решить уравнение если определитель равен нулю, или, . или Решить уравнение если определитель равен нулю), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
  • если все определители системы равны нулю (Решить уравнение если определитель равен нулю), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Решить уравнение если определитель равен нулю

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) Решить уравнение если определитель равен нулю

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя Решить уравнение если определитель равен нулю

Воспользуемся формулами Крамера

Решить уравнение если определитель равен нулю

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Решить уравнение если определитель равен нулюОтсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных Решить уравнение если определитель равен нулюматpицы-столбцы неизвестных Решить уравнение если определитель равен нулюи свободных коэффициентов Решить уравнение если определитель равен нулю

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Решить уравнение если определитель равен нулюМатричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу Решить уравнение если определитель равен нулюк матрице А, получим Решить уравнение если определитель равен нулюв силу того, что произведение Решить уравнение если определитель равен нулюнайдем Решить уравнение если определитель равен нулюТаким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу Решить уравнение если определитель равен нулю после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы Решить уравнение если определитель равен нулю

Найдем матрицу Решить уравнение если определитель равен нулю(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Решить уравнение если определитель равен нулю Решить уравнение если определитель равен нулюЗапишем обратную матрицу Решить уравнение если определитель равен нулю(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:Решить уравнение если определитель равен нулю

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: Решить уравнение если определитель равен нулю

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Решить уравнение если определитель равен нулюПриведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Решить уравнение если определитель равен нулюРазделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу Решить уравнение если определитель равен нулю

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Решить уравнение если определитель равен нулюРазделим все элементы третьей строки на (-3), получим Решить уравнение если определитель равен нулюТаким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Решить уравнение если определитель равен нулю

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы Решить уравнение если определитель равен нулюназывается наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если Решить уравнение если определитель равен нулюто среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, Решить уравнение если определитель равен нулюсреди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Решить уравнение если определитель равен нулюОчевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство Решить уравнение если определитель равен нулюдля определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
  • Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулюСкачать

Решите уравнение ➜ Определитель третьего порядка равен нулю

Лазер Вирта

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Энциклопедия экономики

Видео:§11 Свойства определителейСкачать

§11 Свойства определителей

Если определитель равен нулю то система уравнений

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с Решить уравнение если определитель равен нулюнеизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы Решить уравнение если определитель равен нулю, а свободными членами — числаРешить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Первый индекс Решить уравнение если определитель равен нулювозле коэффициентов Решить уравнение если определитель равен нулюуказывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй Решить уравнение если определитель равен нулю— при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы Решить уравнение если определитель равен нулюне равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность Решить уравнение если определитель равен нулючисел Решить уравнение если определитель равен нулю, которая при Решить уравнение если определитель равен нулюпревращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Решить уравнение если определитель равен нулю

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель Решить уравнение если определитель равен нулюсистемы Решить уравнение если определитель равен нулюлинейных алгебраических уравнений с Решить уравнение если определитель равен нулюнеизвестными отличен от нуля Решить уравнение если определитель равен нулюто эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю— определители, образованные с Решить уравнение если определитель равен нулюзаменой Решить уравнение если определитель равен нулю-го столбца, столбцом из свободных членов.

Если Решить уравнение если определитель равен нулю, а хотя бы один из Решить уравнение если определитель равен нулюотличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же Решить уравнение если определитель равен нулю, то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решить уравнение если определитель равен нулю

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Так как Решить уравнение если определитель равен нулю, то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим неизвестные

Решить уравнение если определитель равен нулю

Итак Решить уравнение если определитель равен нулюединственное решение системы.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Найдем составляющие определителя:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Подставим найденные значения в определитель

Решить уравнение если определитель равен нулю

Детерминант Решить уравнение если определитель равен нулю, следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение системы Решить уравнение если определитель равен нулю

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

Решить уравнение если определитель равен нулю
——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Методы вычисления определителей

В общем случае правило вычисления определителейРешить уравнение если определитель равен нулю-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы Решить уравнение если определитель равен нулювторого порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Задание. Вычислить определитель второго порядка Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение.Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Видео:Свойства определителя - bezbotvyСкачать

Свойства определителя - bezbotvy

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Задание. Вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулюметодом треугольников.

Решение.Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Задание. Вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулюс помощью правила Саррюса.

Решение.Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение.Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулю, разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце.

Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Видео:Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулюприведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.

Все преобразования будет выполнять проще, если элемент Решить уравнение если определитель равен нулюбудет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента Решить уравнение если определитель равен нулю, для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен Решить уравнение если определитель равен нулю, то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Решить уравнение если определитель равен нулю

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Теорема Лапласа

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Ответ.Решить уравнение если определитель равен нулю

Читать дальше: обратная матрица.

Видео:Как вычислить определитель матрицы четвертого порядка | Высшая математикаСкачать

Как вычислить определитель матрицы четвертого порядка | Высшая математика

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 31 Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

Решить уравнение если определитель равен нулю(1)

равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна.

Формально, доказательство этой теоремы нетрудно получить методом от противного. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение (x0 , y0 ). Тогда как показано в предыдущем параграфе,

Но по условию Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δx и Δy отличен от нуля. Таким образом, равенства (2) одновременно выполняться не могут. Теорема доказана.

Однако представляется интересным более детально выяснить, почему система уравнений (1) в рассматриваемом случае несовместна.

Решить уравнение если определитель равен нулю

означает, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1) пропорциональны. Пусть, например,

Решить уравнение если определитель равен нулю

означает, что коэффициенты при у и свободные члены уравнений системы (1) не пропорциональны. Поскольку b1 = kb2 , то c1 =/= kc2 .

Следовательно, система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:

Решить уравнение если определитель равен нулю

В этой системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны, но коэффициенты при у (или при х) и свободные члены не пропорциональны. Такая система, конечно, несовместна. Действительно, если бы она имела решение (x0 , y0 ), то выполнялись бы числовые равенства

Но одно из этих равенств противоречит другому: ведь c1 =/= kc2.

Мы рассмотрели лишь случай, когда Δx =/= 0. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда Δy =/= 0.»

Доказанную теорему можно сформулировать и таким образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) пропорциональны, а коэффициенты при какой-нибудь из этих неизвестных и свободные члены не пропорциональны, то эта система уравнений несовместна.

Легко, например, убедиться в том, что каждая из данных систем будет несовместной:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Видео:Линейная алгебра, 4 урок, Свойства определителейСкачать

Линейная алгебра, 4 урок, Свойства определителей

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных.

Видео:Найти определитель матрицы 4x4Скачать

Найти определитель матрицы 4x4

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Решить уравнение если определитель равен нулю(дельта).

Определители Решить уравнение если определитель равен нулю

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

Решить уравнение если определитель равен нулю;

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Найти значения Решить уравнение если определитель равен нулюи Решить уравнение если определитель равен нулювозможно только при условии, если

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Решить уравнение если определитель равен нулю. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Итак, решение системы (2):
Решить уравнение если определитель равен нулю

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

* Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

* Решить уравнение если определитель равен нулю,

** Решить уравнение если определитель равен нулю,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

* Решить уравнение если определитель равен нулю

** Решить уравнение если определитель равен нулю.

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Видео:Вычислить определитель путём накопления нулей в строке или столбцеСкачать

Вычислить определитель путём накопления нулей в строке или столбце

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

Решить уравнение если определитель равен нулю.

На основании теоремы Крамера
Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю
………….
Решить уравнение если определитель равен нулю,

где
Решить уравнение если определитель равен нулю

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим:
Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

К началу страницы

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Находим определители при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим:

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Находим определители при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

По формулам Крамера находим:

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю,

Решить уравнение если определитель равен нулю.

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Решить уравнение если определитель равен нулю

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Калькулятор — решение систем уравнений онлайн

Программная реализация метода Крамера на C++

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решить уравнение если определитель равен нулюРешить уравнение если определитель равен нулю Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.

Определитель квадратной матрицы (детерминант) — численная характеристика матрицы.

Обозначение определителей: |A|, det A, A.

Определителем «n» порядка называют алгебраическую сумму всех возможных произведений его элементов, удовлетворяющих следующим требованиям:

1) Каждое такое произведение содержит ровно «n» элементов (т.е. определитель 2 порядка — 2 элемента).

2) В каждом произведении присутствует в качестве сомножителя представитель каждой строки и каждого столбца.

3) Любые два сомножителя в каждом произведении не могут принадлежать одной строке или столбцу.

Знак произведения определяется порядком чередования номеров столбцов, если в произведении элементы расставлены в порядке возрастания номеров строк.

Рассмотрим несколько примеров нахождения детерминанта матрицы:

У матрицы первого порядка (т.е.

Видео:Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4Скачать

Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

имеется всего 1 элемент), детерминант равен этому элементу:

2. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

Решить уравнение если определитель равен нулю

3. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (3×3):

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Решить уравнение если определитель равен нулю

Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

Решить уравнение если определитель равен нулю

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Решить уравнение если определитель равен нулю

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

Решить уравнение если определитель равен нулю

1. Если элементы строки или столбца равны нулю, то и определитель равен нулю.

2. Определитель изменит знак, если поменять местами какие-либо 2 строки или столбца. Рассмотрим это на небольшом примере:

Решить уравнение если определитель равен нулю

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

Решить уравнение если определитель равен нулю

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

Решить уравнение если определитель равен нулю

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

Решить уравнение если определитель равен нулю

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

Решить уравнение если определитель равен нулю

  • Минор и алгебраическое дополнение
  • Сложение и вычитание матриц на примерах
  • Действия с матрицами
  • Понятие «матрицы»

    Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

    Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

    Найдем определитель матрицы размером 2х2: Решить уравнение если определитель равен нулю

    Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно Решить уравнение если определитель равен нулю, то есть Решить уравнение если определитель равен нулю

    Примеры нахождения определителя матриц второго порядка

    Разложение по строке/столбцу

    Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1) i+j где(i,j — номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i — строки и j — столбца. Разберем на матрице Решить уравнение если определитель равен нулю

    Например возьмем вторую строку.

    Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решение можно написать так:
    Решить уравнение если определитель равен нулюРешить уравнение если определитель равен нулю

    Примеры нахождения определителя разложением по строке/столбцу:

    Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

    Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

    Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

    Решить уравнение если определитель равен нулюРешить уравнение если определитель равен нулю

    При построении матрицы следует помнить три простых правила:

    1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
    2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
    3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

    Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором.

    Взглянем на нашу матрицу:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

    Поменяем же эти две строки местами.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя.

    Определители. Вычисление определителей (стр. 2 )

    Сделаем это потом.

    Теперь, чтобы получить ноль в первой строке — умножим первую строку на 2.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Отнимем 1-ю строку из второй.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки — это 6.

    Умножим 3-ю строку на 2.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Возвратим нашу 1-ю строку.

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

    Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором — забудем про 1-ю строку — работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Не забываем вернуть вторую строку.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось ? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

    Решить уравнение если определитель равен нулюРешить уравнение если определитель равен нулю

    Правило Саррюса(Правило треугольников)

    Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

    Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    У правила треугольников то же, только картинка другая.

    Решить уравнение если определитель равен нулю
    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Теорема Лапласа см. Разложение по строке/столбцу

    Метод Крамера решения систем линейных уравнений

    Формулы Крамера

    Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

    Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

    Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Решить уравнение если определитель равен нулю(дельта).

    Определители Решить уравнение если определитель равен нулю

    получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

    Решить уравнение если определитель равен нулю;

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Найти значения Решить уравнение если определитель равен нулюи Решить уравнение если определитель равен нулювозможно только при условии, если

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Этот вывод следует из следующей теоремы.

    Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

    Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

    Решить уравнение если определитель равен нулю. (2)

    Согласно теореме Крамера имеем:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Итак, решение системы (2):
    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

    Три случая при решении систем линейных уравнений

    Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

    (система совместна и определённа)

    * Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

    (система совместна и неопределённа)

    * Решить уравнение если определитель равен нулю,

    ** Решить уравнение если определитель равен нулю,

    т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

    * Решить уравнение если определитель равен нулю

    ** Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

    Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

    Пусть дана система

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    На основании теоремы Крамера
    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю
    ………….
    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    где
    Решить уравнение если определитель равен нулю

    определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    По формулам Крамера находим:
    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

    Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

    Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    По формулам Крамера находим:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Итак, решение системы — (2; -1; 1).

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

    Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    К началу страницы

    Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

    Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

    Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

    Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

    В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

    Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Находим определители при неизвестных

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    По формулам Крамера находим:

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

    Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Находим определители при неизвестных

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    По формулам Крамера находим:

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

    Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Решить уравнение если определитель равен нулю

    Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

    По формулам Крамера находим:

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю,

    Решить уравнение если определитель равен нулю.

    Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

    Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

  • Поделиться или сохранить к себе: