Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми граничными условиями - Про уравнения

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Содержание

Пример:
Решение задач:
Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными
Условие
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
Введение 3 page. Задание 8.Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с кусочно-гладкими начальными и нулевыми граничными условиями первого рода методом разделения

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными

Условие

Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями:

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Данное уравнение является неоднородным уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности) с однородными граничными и начальными условиями.
Найдем вначале собственные функции соответствующей однородной задачи:
Решаем задачу методом Фурье.
Положим
.
Вычислив производные и и, подставив их в уравнение, получим
.Последнее равенство выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.
.
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений первого и второго порядка
и
.
Для того чтобы получить не равные нулю решения, удовлетворяющие граничным условиям, необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
.
Воспользовавшись ими, получаем
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
Решаем ее

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

.
Составим характеристическое уравнение: . Его решения: .
Рассмотрим 3 различных случая.
1) λ 0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Система будет иметь ненулевое решение, если С2≠0, .
Отсюда
.
Получили собственные значения

Оплатите решение задач или закажите уникальную работу на похожую тему

Введение 3 page. Задание 8.Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с кусочно-гладкими начальными и нулевыми граничными условиями первого рода методом разделения

Задание 8.Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с кусочно-гладкими начальными и нулевыми граничными условиями первого рода методом разделения переменных

8.1. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.2. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.3. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.4. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.5. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.6. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.7. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.8. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.9. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.10. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.11. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.12. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.13. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.14. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.15. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.16. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.17. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.18. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.19. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.20. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.21. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.22. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.23. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.24. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.25. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.26. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.27. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.28. , 0 u(x,t) u(x,t)
8.29. , 0 u(x,t) u(x,t)	8.30. , 0 u(x,t) u(x,t)

Указания к решению расчетно-графической работы №1:

1. Смешанная задача для уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями u(0,t)=A(t), u(q,t)=B(t) сводится к задаче с однородными граничными условиями с помощью замены u(x,t)= v(x,t)+A(t)+

2. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности сводится к смешанной задаче для однородного уравнения теплопроводности с помощью подбора частного решения методом неопределенных коэффициентов.

Расчетно-графическая работа №2 «Специальные функции, интегральные преобразования и их применение»

Теоретические вопросы

1. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения.

2. Теоремы линейности, подобия, смещения, запаздывания.

3. Теоремы дифференцирования и интегрирования оригиналов и изображений.

4. Свёртка функций. Теорема умножения.

5. Теорема обращения. Нахождение оригинала по известному изображению.

6. Применение преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений.

Задания для расчетно-графической работы №2 «Специальные функции, интегральные преобразования и их применение»

Задание 1. Найти решение первой смешанной задачи для стационарного уравнения теплопроводности в круге Δu(r,φ)=0, где Δu(r,φ)= .

1.1. , 0 .	1.2. , 0 .
1.3. , 0 1.	1.4. , 0 .
1.5. , 0 .	1.6. , 0 .
1.7. , 0 .	1.8. , 0 .
1.9. , 0 .	1.10. , 0 .
1.11. , 0 1.	1.12. , 0 2.
1.13. , 0 2.	1.14. , 0 2.
1.15. , 0 3.	1.16. , 0 3.
1.17. , 0 2.	1.18. , 0 1.
1.19. , 0 2.	1.20. , 0 1.
1.21. , 0 1.	1.22. , 0 3.
1.23. , 0 4.	1.24. , 0 1.
1.25. , 0 2.	1.26. , 0 1.
1.27. , 0 2.	1.28. , 0 1.
1.29. , 0 2.	1.30. , 0 4.