Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Как решать СЛАУ методом Крамера за пять простых шагов

Если вы студент младших курсов, то вы наверняка встречались с такими понятиями как матрица и СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений).

На вопрос «Что такое матрицы и откуда они взялись?» мы ответили в этой статье. А сейчас постараемся вам максимально просто и наглядно объяснить, как именно решать эти системы.

И первый способ, который мы разберем – это метод Крамера, названного в честь своего создателя Габриэля Крамера. О короткой, но насыщенной жизни этого ученого вы можете прочитать на нашем сайте.

Перейдем сразу же к практике. Пусть необходимо решить следующую систему уравнений:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Мы должны выделить все числа, которые присутствуют в данной системе (для наглядности мы выделили их разными цветами). Всего их должно быть двенадцать – по четыре в каждой строке. Если у неизвестного нет своего числа, ставим «1».

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Выписываем первые три столбца в матрицу. Количество матриц в решении всегда на одну больше, чем количество уравнений, входящих в систему, т.е. в данном случае нам понадобится 4 матрицы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Теперь мы должны вычислить основной определитель системы.
Обо всех способах вычисления определителя матрицы вы можете узнать здесь.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Если вы получили Δ=0, значит:

Теперь нам необходимо вычислить определители для x, y, z.

4.1. Найдем определитель Δ x . Для этого подставим вместо красного (первого) столбца желтый столбец свободных членов:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

4.2. Найдем определитель Δ y . Для этого подставим вместо синего (второго) столбца желтый столбец свободных членов:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

4.3. Найдем определитель Δ z . Для этого подставим вместо зеленого (третьего) столбца желтый столбец свободных членов:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Далее попеременно делим Δ x , Δ y , Δ z на Δ и, таким образом, находим решение заданной системы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Для проверки достаточно подставить полученные числа в систему и доказать равенство всех частей.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Метод Крамера — вывод формул

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

  • Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

  • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

  • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

  • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
  • Найти определители

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

  • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

  • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2

Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим эти определители:

∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2

∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆

x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2

x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3

Вычисляем ее определитель:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

Записываем определители и вычисляем их:

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .

x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0

y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2

z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

где Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников– неизвестные переменные, Решить систему уравнений методом крамера для чайников– это числовые коэффициенты, в Решить систему уравнений методом крамера для чайников– свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпри которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается Решить систему уравнений методом крамера для чайников, где

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица Решить систему уравнений методом крамера для чайникови будет решением системы уравнений, а наше равенство Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпреобразовывается в тождество. Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Если умножить Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Получается: Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Если матрица Решить систему уравнений методом крамера для чайников– невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы Решить систему уравнений методом крамера для чайниковравняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, здесь Решить систему уравнений методом крамера для чайников– 1, 2, …, n; Решить систему уравнений методом крамера для чайников– 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

где Решить систему уравнений методом крамера для чайников– 1, 2, …, n; Решить систему уравнений методом крамера для чайников– 1, 2, 3, …, n. Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на Решить систему уравнений методом крамера для чайников, части со второго уравнения на Решить систему уравнений методом крамера для чайников, обе части третьего уравнения на Решить систему уравнений методом крамера для чайникови т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы Решить систему уравнений методом крамера для чайников:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные Решить систему уравнений методом крамера для чайникови приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Откуда и получается Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Аналогично находим Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Откуда получается Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Замечание.

Тривиальное решение Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпри Решить систему уравнений методом крамера для чайниковможет быть только в том случае, если система уравнений является однородной Решить систему уравнений методом крамера для чайников. И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайниковдадут Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа Решить систему уравнений методом крамера для чайниковравняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

где Решить систему уравнений методом крамера для чайников– алгебраические дополнения элементов Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпервого столбца изначального определителя:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпри замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки Решить систему уравнений методом крамера для чайниковв исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Если в итоге получилась матрица, которая равняется Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда система решена правильно. Если же не равняется Решить систему уравнений методом крамера для чайников, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Значит, если Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Часто на практике определители могут обозначаться не только Решить систему уравнений методом крамера для чайников, но и латинской буквой Решить систему уравнений методом крамера для чайников, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – Решить систему уравнений методом крамера для чайниковпри известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников– алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при Решить систему уравнений методом крамера для чайников) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при Решить систему уравнений методом крамера для чайниковравняется Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Коэффициенты при Решить систему уравнений методом крамера для чайникови Решить систему уравнений методом крамера для чайниковбудут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

После этого можно записать равенство:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Для нахождения Решить систему уравнений методом крамера для чайникови Решить систему уравнений методом крамера для чайниковперемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на Решить систему уравнений методом крамера для чайников, во втором – на Решить систему уравнений методом крамера для чайникови прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Если Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда в результате получаем формулы Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Видео:Решение СЛАУ методом Крамера. Линейная алгебраСкачать

Решение СЛАУ методом Крамера. Линейная алгебра

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения Решить систему уравнений методом крамера для чайников, так и решения отличны от нуля.

Если определитель Решить систему уравнений методом крамера для чайниководнородной системы (3) отличен от нуля Решить систему уравнений методом крамера для чайников, тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители Решить систему уравнений методом крамера для чайников, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель Решить систему уравнений методом крамера для чайниковравняется нулю Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, отличное от нуля. Согласно с однородностью Решить систему уравнений методом крамера для чайниковРавенство (2) запишется: Решить систему уравнений методом крамера для чайников. Откуда выплывает, что Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Видео:10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Как видим, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя Решить систему уравнений методом крамера для чайниковна столбец свободных коэффициентов. Получается:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Аналогично находим остальные определители:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Ответ

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решение

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Ответ

Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайниковРешить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Проверка

Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников* Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников Решить систему уравнений методом крамера для чайников= Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Задача

Решить систему методом Крамера

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решение

В этом примере Решить систему уравнений методом крамера для чайников– некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Находим определители при неизвестных:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Используя формулы Крамера, находим:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников, Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Ответ

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Решить систему уравнений методом крамера для чайников

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников,

Решить систему уравнений методом крамера для чайников.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как Решить систему уравнений методом крамера для чайниковна Решить систему уравнений методом крамера для чайниковблагодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Решение методом Крамера в Excel

🔥 Видео

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Крамера Пример РешенияСкачать

Метод Крамера Пример Решения

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Система 4x4. Решение по правилу Крамера.Скачать

Система 4x4. Решение по правилу Крамера.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Линейная алгебра, 8 урок, Метод КрамераСкачать

Линейная алгебра, 8 урок, Метод Крамера
Поделиться или сохранить к себе: