Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций маткад (5 видео)

Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Содержание

Решение нелинейных уравнений
Отделение корней нелинейного уравнения
Уточнение корней нелинейного уравнения
Решение систем уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Решение систем нелинейных уравнений
Цель работы: Изучить вычислительные возможности пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений и систем, и оптимизационных задач.
MathCAD — это просто! Часть 5. Системы нелинейных уравнений
🎦 Видео

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Решение нелинейных уравнений

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Уточнение корней нелинейного уравнения

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.

Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨

Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.

Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.

Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логический .

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).

Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.

Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .

Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Решение систем уравнений

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.

Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨

Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .

Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹ ;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).

Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

Видео:4 Метод простой итерации Mathcad Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

Цель работы: Изучить вычислительные возможности пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений и систем, и оптимизационных задач.

Используемые программные средства: пакет MathCAD.

Решение уравнения с одним неизвестным. Метод простых итераций.Пусть задана непрерывная функция и требуется найти корни уравнения

(5.1)

Уравнение (5.1) заменим эквивалентным ему уравнением

(5.2)

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим последующие приближения по формулам:

(5.3)

Процесс итераций сходится , если выполнено условие на отрезке [a, b], содержащем корень .

Метод Ньютона.Пусть дано уравнение , корень которого отделен. Суть метода состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к ней и за приближение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осью OX.

В методе касательных приближение вычисляется по формуле , , в которой за нулевое приближение принимается такое значение из отрезка [a, b], для которого выполняется условие .

Оценка абсолютной погрешности определяется формулой , где .

Средства пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений вида .Для решения уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает по-разному.

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно предварительно присвоить этой переменной некоторое число, в окрестности которого будет производиться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня. Отделить корень можно, построив график функции f(х)и с помощью опцииTrace(см.лабораторную работу № 3)определить примерно абсциссу пересечения графиком оси ОХ.

Пример 5.1.

Рассмотрим уравнение , корни которого известны заранее.

Примем начальное значение .

Решение.

Поиск корня уравнения в заданном интервале.Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

— внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;

— значения и должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Пример 5.2.Найти корень уравнения из интервала .

Решение.

Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций маткад

Поиск мнимых корней уравнения.Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти.

Пример 5.3.Решить уравнение .

Решение.

Замечание.Явный вид функции может быть определен непосредственно в теле функции root.

Корни полинома.Если функция является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из элементов. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом не требуется вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root.

Пример 5.4.

Найти корни полинома

Решение.

1) Задаём полином .

2) Определяем вектор коэффициентов полинома

3) Находим вектор корней полинома

Представляем результаты на графике:

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение систем уравнений с применением вычислительного блока (см. пункт «Средства пакета MathCad для решения систем уравнений»). Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости.

Пример 5.5

Find

Вместо знака равенства после функции Find в листингах следует стрелка — знак символьных вычислений, который можно ввести с панели Symbolic (Символика) или, нажав клавиши + . При этом уравнения должны иметь вид логических выражений (знаки равенства нужно вводить с помощью панели Booleans (Булевы операторы) – жирные знаки равенства).

С помощью символьного процессора решить уравнение с одним неизвестным можно и другим способом:

1. Введите уравнение, пользуясь панелью Booleans (Булевы операторы) или нажав клавиши + для получения логического знака равенства.

2. Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой требуется решить уравнение.

3. Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable/Solve (Переменная/Решить).

После строки с уравнением появится строка с решением или сообщение о невозможности символьного решения этого уравнения.

Символьные вычисления могут производиться и над уравнениями, которые помимо неизвестных содержат различные параметры.

Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций (последовательных приближений).Систему нелинейных уравнений можно записать в векторном виде

(5.4)

или подробно в координатном виде .

Нулевое приближение в случае двух переменных находится графически: на плоскости строят кривые и и находят точки их пересечения.

Для трех и более переменных удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.

Заменим нелинейную систему (5.4) эквивалентной системой вида

. (5.5)

или .

Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (предполагается, что решение существует).

Заканчивать итерации можно по критерию сходимости: , выполнение которого необходимо проверить для каждой компоненты.

Средства пакета MathCAD для решения систем нелинейных уравнений.При решении систем нелинейных уравнений, а также задач оптимизации используется специальный вычислительный блок, открываемый ключевым словом Given и имеющий следующую структуру:

Начальные условия

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Выражения с функциями Find, Minner (Maximize, Minimize).

Начальные условияопределяют начальные значения искомых переменных и задаются в виде var:=value, т.е. обычным присваиванием переменным заданных значений.

Уравнения задаются в виде expr_left=expr_right с применением жирного знака равенства между левой и правой частями каждого уравнения, который вводится либо с палитры Boolean (Булевы операторы), либо сочетанием клавиши + .

Встроенная функция Find (x₁. ,x_n) возвращает значение одной или нескольких переменных для точного решения. Таким образом, число элементов вектора решений равно числу аргументов функции Find.

Пример 5.6. Решить систему уравнений в окрестности точки .

Решение.

Ответ: решением системы является точка

Замечание. Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Например, если , то уравнение будет считаться выполненным и при , и при .

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find (см. пример 5.5).

Если окрестность, в которой требуется найти решение системы, не задана, начальное приближение для решения можно задать, построив в одной графической области графики кривых, задаваемых уравнениями системы.

Пример 5.7.

Найти решение системы уравнений

Решение. Зададим функции и , соответствующие первому и второму уравнениям:

Построим графики поверхностей, описываемых этими уравнениями (рис. 5.1).

На графике видно, что в качестве начального приближения можно выбрать, например, точку (0,0).

Выполним проверку, подставив найденные значения в функции и :

Ответ: решением системы является точка .

Если не удаётся решить точно систему уравнений с помощью функции Find, можно попытаться найти её приближённое решение, заменив в вычислительном блоке функцию Find на функцию Minerr с тем же набором параметров.

Пример 5.8.

Минимизация функций.Система нелинейных уравнений в векторной форме

(5.6)

Рассмотрим функцию . Эта функция неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, если . Таким образом, решение исходной системы уравнений (5.6) будет одновременно нулевым минимумом скалярной функции многих переменных Иногда проще искать такой минимум, чем решать систему уравнений. Задачи минимизации функций принято называть задачами оптимизации, так как основной целью решения этих задач обычно является достижение оптимального режима работы. При этом минимизируемую функцию обычно называют целевой функцией.

Решение задач оптимизации складывается из следующих элементов: создание математической модели явления, определение целевой функции и важнейших параметров, подлежащих оптимизации, непосредственная минимизация некоторой функции (обычно большого числа переменных).

Функции MathCAD для решения задач оптимизации.MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Второй вариант таит в себе опасность уйти в окрестность другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее при решении практических задач.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

— Minimize (f, x₁, . х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

— Maximize (f, x₁, . х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

— x₁, . х_n – аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения.

Пример 5.9.Поиск локального экстремума в окрестности заданной точки.

Найти максимум функции в окрестности точки (4; 5).

Решение.

;

Ответ:функция имеет максимум, равный 4, в точке .

Пример 5.10.Поиск условного экстремума функции.

Найти минимум функции при условиях .

Решение.

1) Задаем целевую функцию, матрицу системы ограничений и вектор правой части этой системы

2) Задаем начальное приближение решения:

3) С помощью вычислительного блока находим вектор R, на котором достигается минимальное значение функции .

Ответ: минимум функции равен 32.155 и достигается в точке .

Порядок выполнения работы

Ответить на контрольные вопросы. Выполнить примеры из практической части. Выполнить задачи своего варианта.

Отчет должен содержать ответы на контрольные вопросы и результат решения соответствующего варианта.

1. Что значит отделить корень уравнения ?

2. Какие функции могут быть использованы для решения нелинейных уравнений?

3. Опишите конструкцию вычислительного блока.

4. В чем различие между функциями Find и Minner для решения систем нелинейных уравнений?

5. Где необходимо расположить ограничительные условия при решении задачи оптимизации?

Вариант 1

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 2

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении , , .

Вариант 3

1. Решить уравнение , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении , , , .

Вариант 4

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 5

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти минимальное и максимальное значения функции .

Вариант 6

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома , проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

4. Найти максимум функции при условиях , , , , , .

Вариант 7

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 8

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 9

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Вариант 10

1. Решить уравнение, предварительно отделив корни , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , , , .

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ПАКЕТЕ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ MATHCAD

Цель работы: Изучить возможности символьного пакета Mathcad для программирования условных и циклических выражений. Приобретение навыков написания простейших программ.

Используемые программные средства:Mathcad.

Пакет инженерных расчетов Mathcad предлагает использовать средства программирования, которые позволяют пользователю создавать свои собственные функции, используя оператор присваивания, условный оператор, операторы цикла, операторы прерывания вычислений и оператор обработки ошибок, что оптимизирует работу пользователя и улучшает читаемость программы.

Для написания функций используется понятие программный блок (другое название – программный модуль).

Программный блок пишется с помощью инструкций (операторов) программирования. Инструкции программирования находятся на палитре компонент Programming, которую можно вызвать щелчком мыши на кнопке палитры компонент Math, либо выбрать пункт главного меню View ► Toolbars ► Programming.

Палитра компонент программирования имеет вид, изображенный на рис. 6.1.

Основной инструкцией программирования является инструкция Add Line, которая создает программный блок и позволяет добавлять инструкции в программный блок. Маска программного блока выглядит следующим образом , где черные квадраты – это поля для ввода инструкций.

Следующей по значимости инструкцией является инструкция локального присваивания . При присваивании значения переменной внутри программного блока используется не обычный оператор присваивания :=, а оператор локального присваивания . Если в программном блоке переменной присвоено значение, то областью действия данной переменной будет только программный блок. Вне данного программного блока может существовать другая переменная с тем же самым именем (глобальная переменная), но при этом они являются различными. Если глобальная переменная перед выполнением программного блока имела некоторое значение, то оно не изменится, если в следом идущем программном блоке локальная переменная с тем же именем будет принимать другие значения. В программном блоке могут фигурировать и переменные, которым раньше в программном блоке не было присвоено никакого значения, в таком случае данные переменные должны быть определены глобально – до выполнения программного блока.

Результатом выполнения программного блока есть значение, которое является последним вычисленным в программном блоке.

Пример 6.1. Найти значение выражения при и . Программный блок, вычисляющий данное значение, приведен на рис. 6.2.

Рис. 6.2

Разумеется, значения программных блоков можно присваивать переменным (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Следующий фрагмент документа Mathcad (рис. 6.4) показывает, что локальная переменная отличается от глобальной переменной с тем же самым именем.

Рис. 6.4

При написания следующего программного блока используются как локальные, так и глобальные переменные.

Пример 6.2. Найти значение выражения при и . Программный блок, вычисляющий данное значение, приведен на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Программный блок используется (это его основное предназначение) для написания собственно разработанных пользователем функций. В этом случае переменные, которые используются внутри программного блока, могут быть либо локальными, либо глобальными, либо параметрами функций. Параметры функций существуют только во время выполнения программного блока, где их значения можно изменять. Параметры функций могут совпадать с названиями глобальных переменных, при этом это различные переменные.

Пример 6.3. Вычислить значение функции при , и . Программный блок данной задачи приведен на рис. 6.6.

Инструкции if и otherwise используются для написания условных операторов. Инструкция if (если) имеет следующую маску ввода , где справа от инструкции if пишется условие (булевское выражение), при выполнении которого выполняются операторы, стоящие слева от инструкции if. Инструкция otherwise (иначе, в противном случае) имеет следующую маску ввода и всегда пишется после последовательно идущих инструкций if. Слева от инструкции otherwise пишутся операторы, которые выполняются тогда, и только тогда, когда условия всех непосредственно идущих инструкций if перед инструкцией otherwise не выполняются.

Булевские выражения пишутся с помощью булевских операторов, расположенных на палитре компонент Boolean, которую можно вызвать щелчком мыши на кнопке палитры компонент Math, либо выбрать пункт главного меню View ► Toolbars ► Boolean.

Палитра булевских компонент приведена на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Назначение булевских операций следующее:

– равенство двух выражений;

– знак меньше;

– знак больше;

– знак меньше, либо равно

– знак больше, либо равно;

– знак неравенства двух выражений;

– отрицание логического выражения;

– конъюнкция (операция И) логических выражений;

– дизъюнкция (не исключающее ИЛИ) логических выражений (принимает значение ИСТИНА, если хотя бы одно из высказываний ИСТИНА, в противном случае принимает значение ЛОЖЬ);

– операция исключающего ИЛИ над логическими выражениями: принимает значение ИСТИНА, когда одно из высказываний принимает значение ИСТИНА, а другое высказывание принимает значение ЛОЖЬ, и принимает значение ЛОЖЬ, когда оба высказывания одновременно принимают значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

Пример 6.4. Вычислить значение функции

при и .

Данная задача решена двумя различными способами (рис. 6.8 и рис. 6.9), однако программный код на рис. 6.9 считается более грамотным.


Рис. 6.8	Рис. 6.9

Пример 6.5. Вычислить значение функции

при , и .

Решение данной задачи приведено на рис. 6.10.

Рис. 6.10

Пример 6.6. Вычислить значение функции

при и , и , и .

Решение данной задачи приведено на рис. 6.11 и рис. 6.12, однако программный блок на рис. 6.12 считается более грамотным.


Рис. 6.11	Рис. 6.12

К инструкциям цикла относят инструкцию for и инструкцию while.

Инструкция for (цикл с заданным числом повторений) имеет следующую маску ввода:

Более подробно: маска ввода инструкции for имеет следующий вид:

for iÎBegin, Next .. End

Здесь переменная i, которая называется параметром цикла for, последовательно принимает значение с одним и тем же шагом: сначала значение Begin, потом значение Next, и так далее, пока значение i будет не больше значения End. При каждом значении i выполняются операторы, написанные ниже инструкции for. Если параметр Next инструкции for не указан, то шаг цикла равен 1. Напомним, чтобы набрать двоеточие (..) в инструкции for, надо нажать клавишу; (точка с запятой).

Пример 6.7. Функция f, зависящая от трех параметров Begin, End и h, находит сумму квадратов всех чисел от Begin до End с шагом h. Решение задачи приведено на рис. 6.13.

Инструкции можно вкладывать друг в друга (если это возможно).

Рис. 6.13

Пример 6.8. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, состоящий из 3 координат: первая – минимальное значение матрицы A, вторая и третья – номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится минимальный элемент матрицы A (если матрица A обладает несколькими минимальными элементами, то номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится минимальный элемент матрицы, выбирается произвольным образом). Решение задачи приведено на рис. 6.14.

Рис. 6.14

В этом примере инструкция for, в которую вложена инструкция if, является вложенной в инструкцию for. При этом при выполнении условия в инструкции if выполняются три оператора. Для набора таких операторов надо выделить ячейку ввода, стоящую слева от инструкции if и выбрать инструкцию Add Line. Также при написании программного блока использовались две функции rows(A) и cols(A), которые соответственно вычисляют количество строк и столбцов матрицы A.

Инструкция while (цикл с предусловием) имеет следующую маску ввода:

Справа от инструкции while пишется условие, снизу инструкции while пишется набор операторов. Инструкция while «работает» по следующему алгоритму:

1. Проверяется условие. Если условие верно, то переходим к пункту 2, если условие не верно, то переходим к пункту 4.

2. Выполняется набор операторов.

3. Переходим к пункту 1.

4. Конец выполнения инструкции while.

Пример 6.9. Функция f, зависящая от двух параметров и , вычисляет значение следующего выражения

где число выбирается таким, что , а . Решение задачи приведено на рис. 6.15.

Рис. 6.15

Инструкция break вызывает прерывание (прекращение) выполнения цикла (for или while), внутри которого она находится. Если инструкция break не находится внутри цикла, то она вызывает прекращение выполнения программного блока.

Пример 6.10. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, i-ый элемент которого содержит номер первого столбца строки i матрицы A, в котором содержится нулевой элемент матрицы A; если i-ая строка матрицы A не содержит нулевого элемента, то i-ый элемент полученного вектор-столбца равен . Решение задачи приведено на рис. 6.16.

Инструкция continue обеспечивает досрочное завершение очередного прохода цикла; эквивалент передачи управления в самый конец циклического оператора. А именно, если инструкция continue находится в инструкции while, то после выполнения инструкции continue цикл while начинает выполняться заново, т. е. с проверки условия; если инструкция continue находится в инструкции for, то после выполнения инструкции continue параметр цикла увеличивается на свой шаг.

Рис. 6.16

Инструкцию continue можно использовать, например, вместо инструкции otherwise с вложенной в нее инструкцией if.

Пример 6.11. Параметром функции minmax является матрица A. Результатом выполнения функции minmax является вектор-столбец размерности 2, первый элемент которого равен минимальному элементу матрицы A, а второй – максимальному. Решение задачи приведено на рис. 6.17 с инструкцией otherwise и на рис. 6.18 с инструкцией continue.

Инструкция return прерывает выполнение программного блока и выводит значение выражения, стоящего справа от инструкции return. Маска инструкции return имеет следующий вид .


Рис. 6.17	Рис. 6.18

Пример 6.12. Параметром функции f является матрица A. Результатом функции f является вектор-столбец, содержащий номер строки и номер столбца матрицы A, в которых находится первый нулевой элемент матрицы. Элементы матрицы идут в следующем порядке: слева верхнего угла матрицы по строчкам вниз. Если матрица A не содержит элемента, равного 0, то функция f выводит вектор-столбец с двумя координатами –1. Решение задачи приведено на рис. 6.19.

Инструкция on error позволяет создавать процедуры обработки ошибок. Эта инструкция задается в виде:

Выражение_1 on error Выражение_2

Если при выполнении Выражение_2 возникает ошибка, то выполняется Выражение_1.

Рис. 6.19

Пример 6.13. Написать программу, которая вычисляет значение следующей функции

Решение приведено на рис. 6.20.

Для обработки ошибок полезна также функция error(S), которая, будучи помещенной в программный блок, при возникновении ошибки выводит всплывающую подсказку с сообщением, хранящемся в символьной строке S.

Пример 6.14. Написать функцию, которая вычисляет значение функции при , а при выдает всплывающую подсказку “Division by zero”. Решение приведено на рис. 6.21.

Разработанные пользователем функции обладают тем свойством, что внутри функций можно вызывать как встроенные в Mathcad функции, так и функции, написанные пользователем раньше в этом документе Mathcad.

Пример 6.15. Написать программу, которая вычисляет функцию

где . Решение приведено на рис. 6.22.

Рис. 6.22

Порядок выполнения работы

Студенту рекомендуется изучить внимательно теоретический материал, проделать все примеры, в нем встречающиеся, и после этого приступать к выполнению своего варианта задания.

1. Краткий обзор по теоретической части.

2. Файл MathCAD с выполненными заданиями своего варианта.

Вариант 1

1. Составьте функцию, которая будет менять местами 2 строки матрицы.

2. Используя встроенную функцию error вычислите значение функции , либо выведите всплывающую подсказку «Division by zero».

3. Напишите функцию, которая возвращает значение , если аргумент функции есть число отрицательное; значение 0, если аргумент функции равен 0; значение 1, если аргумент функции есть число положительное.

Вариант 2

1. Составьте функцию, которая будет выводить сумму конечной геометрической прогрессии, при следующих значениях аргументов: – первый член геометрической прогрессии, – количество членов прогрессии, – знаменатель геометрической прогрессии.

2. Напишите функцию, которая возвращает квадратную матрицу размерности , на побочной диагонали которой стояли бы 1, а все остальные элементы матрицы равнялись бы 0.

3. Вычислите значение функции

Вариант 3

1. Напишите функцию, которая вычисляет сумму чисел , где – натуральное число.

2. Для числа , изменяющегося от –2 до 2 с шагом вычислите значение функции .

3. Составьте функцию для вычисления длины вектора.

Вариант 4

1. Напишите функцию pr(n), которая вычисляет произведение чисел , где – натуральное число, без использования оператора – факториал.

2. Создайте функцию для вычисления корней многочлена .

3. Используя оператор on error вычислите функцию, которая равняется при и 1 при .

Вариант 5

1. Создайте функцию для вычисления корней квадратного многочлена .

2. Напишите функцию, вычисляющее значение выражения , которое зависит от действительного числа и натурального числа .

3. Напишите функцию, которая возвращает знак «+», если значение и знак «–», если значение .

Вариант 6

1. Напишите функцию, которая будет выводить единичную (квадратную) матрицу. Аргументом функции является размерность матрицы.

2. Вычислите значение , используя итерационную формулу

, , .

В качестве приближенного значения квадратного корня берется такое значение , которое удовлетворяет условию , где – заданная точность вычисления. Аргументами функции являются числа и .

3. Используя Вами разработанную функцию, вычислите , где изменяется от 0 до 10 с шагом 1.

Вариант 7

1. Составьте функцию, которая будет выводить сумму арифметической прогрессии при заданных значениях: – первый член арифметической прогрессии, – количество членов арифметической прогрессии, – разность арифметической прогрессии.

2. Составьте программу для вычисления функции по формуле

3. Напишите программу, которая выводит абсолютное значение функции .

Вариант 8

1. Определите функцию, которая равна 1, если ее аргумент есть четное число, либо размещен между четным и нечетным числом, и 0 в противном случае.

2. Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .

3. Напишите функцию, которая по данным матрицам и вычисляет матрицу , элементы которой равны .

Вариант 9

1. Напишите функцию, возвращающую диагональную матрицу, с наперед заданным значением величины, стоявшей на главной диагонали.

2. Составьте функцию для вычисления скалярного произведения двух векторов.

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

MathCAD — это просто! Часть 5. Системы нелинейных уравнений

Добрый день, уважаемые читатели и читательницы, мы с вами продолжаем грызть гранит науки. Делаем мы это с целью — напомню, если кто вдруг успел позабыть — овладеть замечательным математическим пакетом под названием MathCAD. И в прошлый раз мы с вами закончили на решении систем линейных алгебраических уравнений, для простоты также обозначаемых как СЛАУ. Что ж, линейные уравнения — это, конечно же, спору нет, замечательно. Однако на них, к величайшему сожалению многих поколений школьников и студентов, математические задачи далеко не заканчиваются, а даже, я бы сказал, напротив. То есть СЛАУ — это только частный случай систем уравнений, которые могут в обыкновенной вычислительной практике оказаться совсем даже и не линейными, а, напротив, нелинейными (да, именно так их и называют математики). Системы нелинейных уравнений без использования MathCAD или какого-либо другого математического пакета решать обычно не просто трудно, а очень трудно, но в MathCAD подход к ним не слишком отличается от подхода к СЛАУ — в этом вы сейчас получите возможность убедиться лично.

В общем-то, основные аспекты аналитического решения систем уравнений мы с вами уже, по большому счету, обсудили. Когда это мы так лихо успели? А вот именно тогда, когда обсуждали аналитическое решение систем линейных уравнений с помощью оператора solve. Оказывается, все те же методы вполне применимы для решения систем нелинейных уравнений. Тем не менее, чтобы вы лучше их усвоили, повторю еще раз кратко алгоритм их решения с помощью MathCAD’а и приведу небольшой пример решения подобной системы. Давайте попробуем решить следующую систему уравнений: ex + y + z(xyz)1/2 = 0
(x + y+ z)1/2 = c
x +y + cz = 0

Система выглядит несложной, но для того, чтобы решить ее без использования MathCAD’а, даже очень хорошему математику потребуется не такое уж малое количество времени. Естественно, MathCAD с этой системой справится в два счета. Для ее решения создайте матрицу размером 3 на 1 (3 строки, 1 столбец), в которую и поместите уравнения нашей системы. Напомню, что для того, чтобы MathCAD распознавал уравнения как уравнения, знак «равно» нужно нажимать, удерживая клавишу Ctrl. После того, как система будет введена в виде матрицы, найдите на панели Symbolic оператор solve — мы им уже неоднократно пользовались для решения и простых уравнений, и СЛАУ, так что вы, по идее, уже должны были запомнить, где именно он находится. После оператора через запятые укажите переменные, которые входят в нашу систему уравнений — это пусть будут для начала x, y и z. Поскольку при вводе solve с панели Symbolic MathCAD сам добавляет нужную стрелочку для аналитического решения нашей с вами системы уравнений, то больше ничего, в общем-то, делать не нужно — дальше MathCAD будет решать систему. Сколько это времени у него займет, зависит, конечно же, от мощности вашего компьютера, ну и от самой системы. Нашу систему он решит быстро, а вот если поизвращаться и написать какую-нибудь систему тригонометрических и логарифмических уравнений, да еще и с комплексными переменными (о них мы потом еще поговорим отдельно), то решать такое MathCAD может на слабых компьютерах и не один час.

Для чистоты эксперимента поменяем переменные: пусть теперь произвольной константой в нашей системе будет не c, а z. В этом случае нас ожидает совершенно другое, куда как более громоздкое, решение этой самой системы.

Как видите, аналитическое решение систем нелинейных уравнений с помощью MathCAD’а — вещь несложная, только, к сожалению, возможная далеко не всегда. Как обычно, на помощь символьному процессору MathCAD, который опускает в бессилии руки перед сложными системами, спешат численные методы. Вот здесь уже начинаются различия с системами линейных уравнений.

Численное решение нелинейных систем

В целом алгоритм решения систем нелинейных уравнений в MathCAD для пользователя мало чем отличается от него же для СЛАУ. Мы точно так же задаем начальные приближения, пишем «Given», записываем под этим словом наши уравнения и запрягаем функцию Find, которая должна вывести эти самые уравнения на чистую воду. Все точно так же, как тогда, когда мы решали СЛАУ.

Почему же я так пугал вас буквально двумя абзацами выше, говоря о том, что решать системы нелинейных уравнений намного сложнее, чем СЛАУ? Дело в том, что в случае нелинейных уравнений намного сложнее подобрать такие начальные значения, чтобы численное решение сходилось к реальным значениям корней уравнений. Честно говоря, со СЛАУ тоже не всегда все так просто, как я в прошлый раз сказал, однако в крайнем случае можно заставить MathCAD решить СЛАУ аналитически, а затем просто подставить конкретное численное значение какого-нибудь коэффициента. С нелинейными системами такой прием, что называется, «не покатит». Именно поэтому для получения максимального точного решения многих из таких систем придется озадачиться такими вещами, как задание начальных значений для наших переменных.

Первый способ, который я вам предложу, сразу предупреждаю, для людей неленивых. Заключается он в банальном подборе значений переменных собственными руками. То есть для начала берем начальные значения «с потолка» и решаем систему с помощью Find’а. Подставляем значения, выданные этой функцией, в исходные уравнения и смотрим, насколько они похожи на истинные решения. Если уравнения обращаются при подстановке в верные равенства, то все хорошо: либо система была простой, либо в вас дремлет талант подбирателя корней уравнений. Но если равенством после подстановки и близко не пахнет, то придется попотеть. Нужно начать изменять значения начальных приближений для каждой переменной и смотреть, как это отразится на близости выражений, получившихся после подстановки решений в уравнения, к равенствам. Таким нехитрым методом можно за не столь долгое время, как может сначала показаться, добиться хорошего приближения начальных значений к реальным решениям. И, несмотря на явный садомазохистский характер данного метода, он имеет то неоспоримое преимущество, что действует железно на любые системы и любые переменные — было бы терпение.

Второй метод, который я хочу предложить, этим достоинством не обладает, но зато и не требует от пользователя столь деятельного участия в решении. Думаю, вы сами сможете сформулировать главный его недостаток, если я скажу, что с этим методом мы уже сталкивались, и заключается он в построении графиков для уравнений, входящих в систему. Да, главный недостаток — это сложность в применении к системам уравнений, содержащим более трех переменных. Сложно, сами понимаете, изобразить на мониторе компьютера 25-мерное пространство для отображения решений системы с 25-ю переменными. Но для тех систем, которые содержат две или три переменные, построить график мы вполне сможем. Однако для этого сначала нужно научиться строить графики уравнений.

Построение графиков параметрических кривых

Наиболее простым способом построения графика уравнения в MathCAD’е является параметризация входящих в него переменных друг через друга или через какую-то третью переменную. Что это означает? Поясню на примере. Например, у нас есть уравнение окружности x2 + y2 = 5. Если вы попытаетесь записать функцию f(x, y) = x2 + y2 — 5, а потом построить ее график от x или от y, то вас ожидает разочарование. То, что в итоге выдаст на экран MathCAD, будет так же мало похоже на окружность, как сам MathCAD — на пасьянс «Косынка». Придется придумывать что-то другое. Например, можно подобрать такие функции переменной t, которые, будучи возведенными в квадрат, в сумме тоже дадут пять. Естественно, такими функциями будут тригонометрические — синус и косинус от переменной t, помноженные на корень из пяти. Если мы выразим таким образом x и y через t, то мы параметризуем наше уравнение и уже сможем успешно построить график x(t) от y(t) или же y(t) от x(t) — впрочем, в данном случае в силу симметричности это будет уже не столь важно.

Для того, чтобы решить систему уравнений, нужно просто подобным образом параметризовать и второе уравнение. Вполне возможно, что, как и в нашем примере, оно вполне подойдет для того, чтобы банально выразить x через y или наоборот, после чего построение графика окажется особенно простым (см. соответствующий скриншот). Для нахождения начальных приближений достаточно воспользоваться уже знакомой нам с вами трассировкой — само собой, решением будет точка пересечения двух кривых на уравнении. Для того, чтобы получить более точное значение решения, чем предлагает нам трассировка, нужно, конечно же, подставить полученные с ее помощью координаты точки пересечения графиков в численное решение системы перед Given’ом. Последний скриншот иллюстрирует, что графики мы с вами построили правильно, и с его помощью действительно намного легче искать решение системы двух исходных уравнений. А легче хотя бы уже просто потому, что видно, какого количества корней мы вправе ожидать от нашей системы.

Но работа с трехмерными графиками в MathCAD’е не так проста, как с двумерными, поскольку и сама по себе поверхность — более сложный объект, чем кривая. С поверхностями можно ожидать немалого количества не самого приятного рода сюрпризов, так что лучше о них поговорить более подробно. Этим мы с вами и займемся в следующей статье из цикла о MathCAD’е.

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 17 за 2008 год в рубрике soft