Так как d = 1-1=0, то это уравнение параболического типа. Уравнение характеристик имеет вид:
Его общее решение y+x=C. Сделаем замену переменных:
Приведем уравнение к каноническому виду:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Составляем его характеристическое уравнение 2 -4=0. Находим корни 1=0, 2=4. Общее решение имеет вид:
После замены переменных =x +y , = y оно представится в виде:
где — произвольные дважды дифференцируемые функции.
Методом Даламбера найти решения задач Коши:
По формуле Даламбера:
Решить методом Фурье волновое уравнение:
колебаний струны, длиной l, закрепленной на концах х=0 и х=l.
Решить задачу Дирихле уравнения Лапласа:
Решение задачи Дирихле ищем в виде:
Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке [0, l]:
дифференциальный коши уравнение отрезок
Решить экстремальную задачу методом Лагранжа
Приведем задачу к каноническому виду.
Составим функцию Лагранжа.
Запишем необходимые условия минимума:
1) Условия стационарности:
2) Условия дополняющей нежесткости:
3) Условия согласования знаков:
4) Условия допустимости:
1. Нерегулярный случай 0=0. Тогда из условий стационарности получим:
Возможен случай, что 1=0, 2=0. Это противоречит третьему условию согласованности.
Из условий допустимости получаем:
При данных ограничениях минимум целевой функции достигается в точке (1,-4) и равно 16.
2. Регулярный случай 0=1. Тогда из условий стационарности имеем:
2.1 Рассмотрим случай 2>0. Тогда условия дополняющей нежесткости принимают вид%
Если здесь 1>0, то получим:
Первое условие допустимости не выполняется, случай 1=0, 2>0 невозможен
2.2. Рассмотрим случай 2=0. Тогда условия стационарности принимают вид:
Если 1=0, то решений нет.
Условия допустимости выполняются.
Значение целевой функции равно 9,46.
. Наименьшее значение принимает в точке (1,24;-3,03).