Решить начально краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке (3 видео)

Решить начально краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке

В этом параграфе будет рассматриваться начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полупрямой. Введем обозначения для открытых областей:

и соответственно замкнутых областей:

Мы будем рассматривать начально-краевые задачи с граничными условиями первого, второго и третьего рода:

Напомним, что классическое решение задачи (11.1) — (11.4), непрерывное в замкнутой области может существовать лишь при выполнении условия согласования начального (11.1) и граничного (11.3) условий:

В силу линейности задачи (11.1) — (11.4) можно провести ее редукцию (см. гл. III).

Содержание

Метод Фурье для уравнения теплопроводности
Пример:
Решение задач:
Первая краевая задача с подвижными границами для уравнения теплопроводности
🎥 Видео

Видео:8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Первая краевая задача с подвижными границами для уравнения теплопроводности

УДК 517.958, 519.711.3, 519.6

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1, Та Чунг Тхань2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,

Изучена первая краевая задача с подвижными границами и найдены решения численным методом конечных разностей, а также проведена оценка точности полученных приближенных решений. Разработана и апробирована методика численного решения первой краевой задачи с подвижными границами для уравнения теплопроводности.

Ил. 6. Табл. 1. Библиогр. 12 назв.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности; краевая задача; разностные схемы; системы линейных алгебраических уравнений.

FIRST BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH MOVABLE BOUNDARIES FOR HEAT CONDUCTION EQUATION

E. K. Boltvina№, T. Ta Chung І

National Research Irkutsk State Technical University,

83 Lermontov St., Irkutsk, 664074

The authors have studied the first boundary-value problem with movable boundaries and revealed the solutions by the numerical method of finite differences. In addition, the authors have evaluated the accuracy of the approximate solutions. The researchers have developed and tested a method for numerical solution of the first boundary-value problem with movable boundaries for the heat conduction equation.

Illustrations: 6 pic. Table 1. Sources: 12 refs.

Keywords: heat conduction equation, boundary-value problem, finite-difference schemes, system of linear algebraic equations

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Их изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач, которые встречаются в различных областях науки и приложениях [1–2].

Так, например, процессы распространения тепла связаны с изучением поведения температурного поля и описываются уравнением теплопроводности (или уравнением передачи тепла [3, с. 23]:

(),

где константа ( – плотность, – удельная теплоемкость, – коэффициент теплопроводности), которую Кельвин назвал коэффициентом тепловой диффузии, а Максвелл – коэффициентом температуропроводности [4, с. 18].

Для этого уравнения рассматривается краевая задача специального вида и решения методом конечных разностей на основе явной, неявной схем и схемы Кранка-Николсона.

Данное уравнение представляет собой дифференциальную форму записи основного закона теплопроводности (закона Фурье), если предположить, что температурная функция имеет непрерывные производные и , источники тепла отсутствуют и температурное поле зависит только от одной декартовой координаты.

Уравнение теплопроводности описывает процесс, протекающий в некоторой области с неравномерной температурой. В этой области возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой, иначе говоря, происходит теплообмен и, согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площадью за время , пропорционально температурному градиенту: (знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры) [5, с. 7], [6, с. 181]. Уравнение (1) описывает не только процессы распространения тепла, но также процессы диффузии частиц в среде, тогда функция имеет смысл концентрации вещества в данной точке в данный момент времени, – коэффициент пористости и основополагающим является закон Нернста. [2, с. 49].

Результатами работы стали постановка задачи специального вида с подвижными границами и реализация её численного решения с применением модифицированной разностной схемы.

Обзор известных методов решения

Существует ряд методов для решения уравнения теплопроводности. Укажем наиболее важные методы, пригодные для практического использования.

Методы, которые позволяют свести уравнение теплопроводности к обыкновенным дифференциальным уравнениям или их системам: метод интегральных преобразований, метод разделения переменных (метод Фурье), метод преобразования координат.

К численным (приближенным) методам решения относятся: разложение в ряды Фурье (применяются к линейным задачам), методы Ритца и Галеркина (применимы и к некоторым нелинейным задачам), разностный метод (в случае нелинейных задач является итерационным; построение хорошо сходящихся итерационных процессов оказывается достаточно сложным, но во многих случаях – это единственный способ решить уравнение теплопроводности) [7, с. 262], методы, основанные на аппроксимации решения полиномиальными поверхностями, метод Монте-Карло (для задач, полностью неразрешимых другими методами из-за сложной природы физических систем, таких как нейтронная цепная реакция в системе с размножением; эксперимент моделируется на ЭВМ с использованием случайных чисел и известных вероятностных законов для элементарных процессов) [8, с. 323–326].

Метод теории возмущений (линеаризации) позволяет исходную нелинейную задачу свести к последовательности аппроксимирующих её линейных задач. Сущность метода функции Грина – начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого такого источника. Метод интегральных уравнений – уравнение теплопроводности сводится к интегральному. Вариационные методы заключаются в том, что вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации, поскольку функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является в то же время решением исходного уравнения. При использовании метода разложения по собственным функциям решение ищется в виде ряда по собственным функциям, которые находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, соответствующей исходной задаче для уравнения теплопроводности [9, с. 11].

Постановка первой краевой задачи

При интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получается бесконечное множество различных решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение, соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении. Этими дополнительными условиями являются начальные условия, геометрическая форма области и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью области (граничные условия). Для области определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия – пространственным краевым условием [2, 4].

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1) вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу для уравнения теплопроводности (или тепловую задачу).

Если на границах и заданы значения искомой функции в виде

где – функции, заданные в некотором промежутке времени , в котором изучается процесс. Таким образом, заданы граничные условия первого рода. И если, кроме того, задано начальное условие, которое состоит в задании значений функции в начальный момент времени [10, с. 188]:

то задачу (1)–(3) называют первой краевой задачей для уравнения теплопроводности (1) [11].

Первая краевая задача является наиболее естественной и поэтому наиболее изучаемой краевой задачей в математической физике.

Метод конечных разностей для решения первой краевой задачи

Основным способом численного решения уравнения теплопроводности является разностный метод или метод сеток, заключающийся в аппроксимации производных конечными разностями, поскольку найти точное решение краевой задачи в элементарных функциях удается редко.

Сущность этого наиболее универсального численного метода заключается в том, что на область изменения независимых переменных и накладывается сетка и решение ищется не в виде непрерывной функции , а в виде дискретного, конечного множества чисел , представляющих (заменяющих) функцию на дискретном, конечном множестве значений независимых переменных, то есть в узлах сетки. Геометрическое место точек (узлов), в которых используются значения функции в разностном уравнении при фиксированных , , называется шаблоном разностного уравнения [10, с. 220]. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией ( – значение сеточной функции в узле ). Для вычисления искомых значений используются алгебраические уравнения специального вида, приближенно заменяющие дифференциальное, – разностные уравнения [12, с. 11]. Шаги по времени определяются как , по пространству – . Разностные уравнения на каждом слое по времени связаны между собой рекуррентно. Значения в каждом неизвестном узле на -м слое выражаются через уже вычисленные значения с предыдущего -го слоя. При этом, получаются трехдиагональные СЛАУ из уравнений, где — количество точек на слое. Решается система методом прогонки [7, с. 370]. Корректное построение разностной схемы обязательно подразумевает одинаковое число уравнений и неизвестных значений искомой функции в узлах сетки. В этом случае решение системы разностных уравнений (реализация разностной схемы) существует.

Поскольку уравнение теплопроводности зависит от производных неизвестных функций по двум переменным, то вариантов аппроксимации разностными уравнениями одного и того же уравнения может быть несколько. В зависимости от выбранного шаблона, получаются те или иные разностные схемы, в связи с чем, они подразделяются на несколько групп. Наиболее важная классификация разностных схем связана с отнесением их к явным или неявным — представлено на рис. 1. Указанные разностные схемы можно записать в общем виде с параметром , где , :

при – явная четырехточечная схема; – неявная четырехточечная схема (чисто неявная); – схема Кранка-Николсона (с полусуммой или симметричная по времени) [7, с. 370–371].