Решить методом разделения переменных задачу для неоднородного волнового уравнения (6 видео)

Сведение краевой задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний струны:

в области D = (0 где F „ (0 = yj fn ( r ) sin (Л, <' -r))dr —частное решение неоднородного

уравнения (10.56), причем выполнены условия F_n(0) = 0, /Д0) = 0.

Найдем коэффициенты А_п,В_п, подставляя (10.58) в начальные условия (10.57):

Подставив найденные функции (10.58) в ряд (10.53), получим окончательный вид решения исходной задачи (10.50) — (10.52):

Решение задачи о колебаниях ограниченной струны методом Фурье

Одним из основных методов решения краевых задач математической физики является метод разделения переменных <метод Фурье). Его суть состоит в представлении искомого решения в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций, связанных с рассматриваемой задачей. Изучение метода Фурье мы начнем с описания его применения к решению первой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения с неоднородными начальными и граничными условиями (5.31).

В соответствии с методом редукции (см. п. 3.6) разобьем эту задачу на частные задачи, содержащие неоднородности только в уравнении, или в начальных, или в граничных условиях:

Очевидно, решение задачи (5.31) можно представить как сумму решений частных задач (I), (II) и (III).

1. Задача (I). Свободные колебания струны с закрепленными концами.

Начнем с задачи (I) с однородным уравнением и однородными граничными условиями, что соответствует свободным (невынужденным) колебаниям струны с закрепленными концами:

Идея метода Фурье или метода разделения переменных состоит в следующем. Поскольку уравнение (5.33) линейно и однородно, любая линейная комбинация его частных решений также является решением. Кроме того, граничные условия (5.34) однородны, поэтому линейная комбинация функций, удовлетворяющих этим условиям, также удовлетворяет им. Попытаемся найти набор решений уравнения (5.33), удовлетворяющих граничным условиям (5.34), и такой, что для любых допустимых начальных условий (5.35) можно подобрать линейную комбинацию (как правило, бесконечную) этих решений так, чтобы удовлетворить этим начальным условиям. Такая линейная комбинация и будет искомым решением краевой задачи (5.33)—(5.35).

Для нахождения указанного набора частных решений сформулируем следующую вспомогательную задачу: найти решение уравнения (5.33), удовлетворяющее однородным граничным условиям (5.34) и представимое в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Подстановка (5.36) в (5.33) дает или после деления обеих частей равенства на ^(х) • T(t)

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Правая и левая части равенства (5.37) зависят от разных переменных, следовательно, данное равенство возможно, только если его части сохраняют постоянное значение при изменении переменных х и t в допустимых пределах, т.е.

где X = const (знак «минус» выбран для удобства дальнейших выкладок).

Из (5.38) получаем уравнения для определения не равных тождественно нулю функций A»(x) и T(t):

Граничные условия (5.34) могут выполняться, только если

поскольку иначе равенства и(0, t) = X(0)T(t) = 0 и и <1, t)= X(l)T(t) = = 0 возможны только при T(t) = 0, а тривиальное решение нас не интересует.

Таким образом, в поисках функции ЛГ(х) мы приходим к задаче

которая нетривиально разрешима не при всех значениях параметра А. Поэтому необходимо сначала найти те значения А,, при которых нетривиальные решения задачи (5.40)—(5.41) существуют (т.е. найти собственные значения этой задачи), а затем найти сами нетривиальные решения, соответствующие этим значениям (их называют собственными функциями задачи (5.40)—(5.41)).

В поисках собственных значений рассмотрим случаи.

Случай 1. А = -у 2 0. Общее решение уравнения (5.40) имеет вид

Из граничных условий следует:

Поскольку уI * 0, эта система имеет только нулевое решение С = С₂ = 0, т.е. Х(х) = 0. Итак, собственных значений А 2 >0, где у = fX > 0. Из общего решения уравнения (5.40)

и граничных условий (5.41) находим:

Для нетривиального решения X(х) постоянная С₂ * 0. Это значит,

Итак, нетривиальные решения задачи (5.40)—(5.41) существуют только при

поэтому числа Х_п из (5.42) являются собственными значениями этой задачи. Соответствующие собственные функции имеют вид

где постоянные С_п, которые можно выбрать произвольно, в дальнейшем мы будем считать равными единице.

Видео:Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Собственным числам (5.42) соответствуют следующие решения уравнения (5.39):

Итак, с учетом (5.36), (5.43) и (5.44) можно записать выражение для искомых частных решений уравнения (5.33), удовлетворяющих граничным условиям (5.34):

В силу линейности и однородности уравнения (5.33), а также однородности граничных условий (5.34) указанным уравнению и граничным условиям при любых значениях коэффициентов А_п и В_п удовлетворяют не только функции и_п(х, /), но и их сумма

Подберем коэффициенты Л_п и В_п так, чтобы функция и(х, t) из (5.46) удовлетворяла начальным условиям (5.35):

Функции ф(х) и |/(х) из начальных условий (5.35) заданы на отрезке [0; /]. Продолжим их нечетным образом на промежуток [-/; /] и, предполагая, что на нем ф(х) и ф(х) непрерывны и кусочногладки, представим эти функции рядами Фурье по тригонометрической системе. В силу нечетности этих функций получим разложения Фурье по синусам:

D_T

В 2

вытекающих из неравенства ab 2 + Ь 2 ). Поэтому согласно признаку Вейерштрасса ряды (5.52) и (5.53) сходятся равномерно в замкнутой области D_T. А это означает, что функция u(x, t) из (5.46) имеет в D_T вторые производные «**(*, t) и u_tt(x, t), которые можно найти почленным дифференцированием ряда (5.46), причем эти производные непрерывны в D_T, см. [4].

Подставив в уравнение (5.33) вместо «**(*, t) и u_tt(x, t) соответствующие ряды из (5.52) и (5.53), нетрудно убедиться, что u(x, t) из (5.46) есть решение этого уравнения в области D_T. Выполнение граничных и начальных условий (5.34) и (5.35) обеспечивается методом разделения переменных. >

Замечание. Достаточные условия теоремы 5.3 гарантируют существование классического решения задачи (5.33)—(5.35), см. п. 1.3. Однако требования этой теоремы к функциям . ;

могательного угла ф_и: v ^ в виде

Из (5.54) следует, что составляющие и_п(х, t) решения (5.46) описывают гармонические колебания точек струны с одинаковой кру- 7icn

говои частотой co_w = -у- и амплитудами, зависящими от координат х этих точек по закону синуса: С_п sin^y^-. Такие колебания называются стоячими волнами или гармониками.

Очевидно, при sin- = 1, т.е. в точках с абсциссами

отклонения струны максимальны. Такие точки называют пучностями

стоячей волны. Точки струны, для которых sin-= 0, т.е. х- = —,

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

i = 0, 1, . «, неподвижны. Эти точки называются узлами стоячей волны. Профили стоячих волн и_п(х, t), п = 1, 2, 3 для десяти равноотстоящих моментов времени показаны на рис. 5.5.

колебаний стоячих волн называются собственными частотами

струны. Напомним, что с 2 = —, где Т — натяжение струны, а р — ее

Р линейная плотность, см. п. 3.1. Поэтому со„ = — —, т.е. соб-

ственные частоты струны растут с увеличением ее натяжения и убывают с ростом ее длины и плотности материала.

Согласно (5.46) колебание струны представляет собой суперпозицию колебаний с собственными частотами (5.55). Звук, издаваемый струной, воспринимается как объединение простых тонов, т.е. гармонических звуков с частотами со_я. Тон с наименьшей частотой (Oj называют основным тоном струны, а остальные тона — обертонами. Тембр звука определяется распределением общей энергии колебания по его гармоникам.

2. Задача (II). Вынужденные колебания струны с закрепленными концами при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим теперь краевую задачу (II) из (5.32), соответствующую вынужденным колебаниям струны с закрепленными концами, в начальный момент времени находившейся в положении равновесия и в состоянии покоя:

Будем искать ее решение в виде разложения по собственным функциям ^„(х) = sin^x j задачи с однородным уравнением (5.33) и однородными граничными условиями (5.34), см. (5.43):

Очевидно, функция и(х, t) из (5.59) удовлетворяет граничным условиям (5.57), поэтому за счет выбора коэффициентов U_n(t) остается добиться того, чтобы эта функция была решением неоднородного уравнения (5.56) и удовлетворяла однородным начальным условиям (5.58).

Представим правую часть этого уравнения /(х, t) в виде разложения в ряд по функциям jsin^xj, рассматривая t как параметр. Для этого, как и выше, продолжим /(х, t) по переменной х нечетным образом на промежуток [-/; /] и, предполагая на нем непрерывность и кусочную гладкость по х функции /(х, /), представим эту функцию рядом Фурье по тригонометрической системе:

Заменив в уравнении (5.56) правую часть ее разложением (5.60) и подставив в него искомое решение (5.59), приходим к равенству

Отсюда и из однородных начальных условий (5.58) получаем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения (5.62) найдем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е.

и частного решения U_n(t) неоднородного уравнения. Последнее можно найти методом вариации произвольных постоянных, см. [9]:

Видео:5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

В соответствии с этим методом для функций C_n(t) и D_n<t) получаем дифференциальные уравнения первого порядка:

интегрируя которые находим эти функции:

Таким образом, частное решение (5.65) неоднородного уравнения найдено:

Сложив его с общим решением (5.64) однородного уравнения, запишем общее решение неоднородного уравнения (5.62):

Начальные условия (5.63) дают С_п = D_n = 0, откуда

поэтому искомое решение (5.59) задачи (5.56)—(5.58) имеет вид

1. Учитывая равенство (5.61) и меняя порядок суммирования и интегрирования, можно представить решение (5.67) в виде

где

2. Функция G(x, s, t — т) называется функцией источника, функцией Грина или функцией влияния мгновенного сосредоточенного импульса. Она характеризует вклад Аи(х, t) в общее решение и(х, t) внешнего воздействия единичной интенсивности (f(s, т) = 1), локализованного в малой окрестности AsAt точки (5, т), т.е.

3. На основе методики, использованной при доказательстве теоремы 5.3, можно обосновать достаточные условия, при которых решение задачи (5.56)—(5.58) существует и представимо рядом (5.67), см. теорему 5.5.

Теорема 5.5. Пусть функция /(х, t) из уравнения (5.56) дважды непрерывно дифференцируема по х в области D_T, непрерывна в замкнутой области D_T и /(0, t) = /(/, ?) = 0 при 0 t) — решения задач вида (I) и (II) из (5.32). Сначала рассмотрим задачу вида (I):

Ее решение находим согласно (5.46), (5.47), обозначив соб-

ственные частоты струны —— = со,, (см. (5.55)):

Теперь перейдем к задаче вида (И) из (5.32):

Для ее решения сначала по формуле (5.61) находим:

Далее из (5.66) получаем:

Отсюда в соответствии с (5.59) записываем решение задачи вида (II):

Теперь можно получить выражение для искомого решения: или

Замечание. Из найденного решения видно, что если частота со

внешнего воздействия F(x, t) = — sin со/ приближается к какой-либо

Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

из собственных частот струны со„, то отклонения и(х, t) точек струны от положения равновесия неограниченно возрастают, т.е. наступает резонанс. Неограниченность амплитуды колебаний струны — следствие идеализации в принятой модели, не учитывающей потерь механической энергии в результате трения и других причин.