Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения пуассона в прямоугольнике (4 видео)

Содержание

Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0&lt
Условие
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
Решение
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений
19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений
🎥 Видео

Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0&lt

Реферат.Справочник
Решенные задачи по физике
Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0&lt

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике 0

Видео:9. Уравнение ПуассонаСкачать

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

ux,y=x4+x3+x2+2y2+2ax- -16a2π3k=0∞12k+13 shπ2k+1b-ya+shπ2k+1yashπ2k+1basinπ2k+1xa.

Решение

Сначала избавимся от неоднородности в уравнении Пуассона (1). Для этого подберем частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2). Исходя из вида неоднородностей, эту функцию будем искать в виде
wx,y=Ax4+Bx3+Cx2+Dy2+Exy+Fx+Gy+H.
Подставляем в уравнение (1)
12Ax2+6Bx+2C+2D=6+6x+12×2,
и граничные условия (2)
Dy2+Gy+H=2y2,
Aa4+Ba3+Ca2+Dy2+Eay+Fa+Gy+H=2y2+3a2+a3+a4,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях y в левой и правой частях этого равенства получим
12A=126B=62C+2D=6D=2G=0H=0Ea+G=0Aa4+Ba3+Ca2+Fa+H=3a2+a3+a4 ⟹ A=1B=1C=1D=2G=0E=0F=2aH=0
wx,y=x4+x3+x2+2y2+2ax.
Решение исходной задачи будем искать в виде суммы
ux,y=vx,y+wx,y=vx,y+x4+x3+x2+2y2+2ax.
Краевая задача для функции vx,y примет вид
∂2v∂x2+∂2v∂y2=0,
(4)
v0,y=0, va,y=0,
(5)
ux,0=vx,0+x4+x3+x2+2ax=3×2+x3+x4,
ux,b=vx,b+x4+x3+x2+2b2+2ax=3×2+x3+x4+2b2,
vx,0=2×2-2ax, vx,b=2×2-2ax.
(6)
Для решения краевой задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
vx,y=Xx⋅Yy.
Подставляем в уравнение (4)
X»x⋅Yy+Xx⋅Y»y=0.
Разделим равенство на Xx∙Y(y)
X»(x)X(x)+Y»yY(y)=0,
X»(x)X(x)=-Y»yY(y)=-λ2=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X»x+λ2Xx=0,
(7)
Y»y-λ2Yy=0.
(8)
Подставляя vx,y в виде Xx⋅Yy в однородные граничные условия (5), получим
X0⋅Yy=0, X(a)⋅Yy=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X(a)=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X»x+λ2Xx=0 X0=0, X(a)=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xa=C2 sinλa=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλa=0,
λa=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λn=πna, n=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinλnx=sinπnxa, n=1,2,3,…
Уравнение (8) для функции Y(y) примет вид
Yn»y-λn2Yny=0.
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
Yny=Anchλny+Bnshλny.
Удобнее фундаментальную систему решений уравнения взять в виде shλn(b-y, shλny и решение записать как
Yny=Anshλn(b-y+Bnshλny.
Решение vx,y исходной задачи записывается в виде тригонометрического ряда Фурье по собственным функциям
vx,y=n=1∞XnxYny=n=1∞Anshπn(b-y)a+Bnshπnyasinπnxa.
Неизвестные коэффициенты An,Bn этого ряда определим из граничных условий (3)
vx,0=n=1∞Anshπnbasinπnxa=2×2-2ax,
vx,b=n=1∞Bnshπnbasinπnxa=2×2-2ax.
В силу полноты системы собственных функций sinπnxan=1∞ из этих условий следует, что коэффициенты Anshπnba=Bnshπnba и будут коэффициентами разложения функции 2×2-2ax в ряд Фурье по этой системе функций

Оплатите решение задач или закажите уникальную работу на похожую тему

Видео:Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

1 Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu = f(x, ), (x, ) G, (1) u = µ(x, ), (x, ) Γ. () Пусть G = G + Γ = прямоугольник, а Lu = ( p (x, ) u ) + ( q(x, ) u ), (3) x x p (x, ), q(x, ) достаточно гладкие функции, 0 2 так что Lu = L 1 u + L u. Операторы L 1 и L заменим разностными операторами Λ 1 и Λ Здесь Λ 1 u = p i+ 1 j u i+1j u h x u +1 u Λ u = q + 1 h q 1 u u i 1j p i 1 j, (5) h x u u 1 h. (6) Обозначим p i+ 1 j = p(x i + h x /, j ), p i 1 j = p(x i h x /, j ), q + 1 = q(x i, j + h /), q 1 = q(x i, j h /). Λu = Λ 1 u + Λ u, 1 i N x 1, 1 j N 1. Если u(x, ) имеет не менее четырех непрерывных ограниченных в рассматриваемой области G производных по x и по, а p(x, ) и q(x, ) не менее трех, то разностный оператор Λ аппроксимирует дифференциальный L со вторым порядком, т. е. Lu Λu = O( h ), h = h x + h. Итак, решение задачи (1)-() свелось к решению разностной задачи Дирихле (Λ 1 u + Λ u ) = f, 1 i N x 1, 1 j N 1 (7) при граничных условиях u i0 = µ(x i, 0), 0 i N x, u in = µ(x i, l ), 0 i N x, u 0j = µ(0, j ), 0 j N 1, u Nxj = µ(l x, j ), 0 j N 1. (8) 0.3. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона Для вычисления решений многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриваются последние как результат установления развивающегося во времени процесса, расчет которого оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния. Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распространении тепла u = L 1 u + L u + f(x, ), t (9) u Γ = µ(x, ), u(x,, 0) = u 0 (x, ), где f(x, ) имеет прежний смысл, а u 0 (x, ) произвольно. Поскольку источники тепла f(x, ) и температура на границе µ(x, ) не зависят от времени, то естественно ожидать, что и решение u(x,, t) с течением времени будет меняться все медленнее, распределение температур в пределе при t превратится в равновесное распределение температуры u(x, ), описываемое исходной задачей (1)-(). Надо решать задачу до тех пор, пока ее решение не перестанет меняться в пределах интересующей нас точности. Рассмотрим вначале разностную схему, с помощью которой могла бы решаться задача (7)-(8), но на практике ее не применяют по указанным в п. 0. причинам. 0.. Двухслойная схема с весами Аппроксимируем задачу (9) разностной схемой u k τ = Λ(σ + (1 σ)u k ) + f(x i, j ), 1 (10) 1 При решении стационарных задач методом установления k номер итерации, а τ итерационный параметр, который выбирается из соображений точности аппроксимации и быстроты сходимости.

3 i = 1. N x 1, j = 1. N 1, k = 0, 1. i0 = µ(x i, 0), 0 i N x, in = µ(x i, l ), 0 i N x, 0j = µ(0, j ), 1 j N 1, N xj = µ(l x, j ), 1 j N 1. Решение при k = 0 находится из начального условия в (9) (11) Рассмотрим два варианта значений параметра σ. u 0 = u 0 (x i, j ), i = 0, 1. N x, j = 0, 1. N. а) При σ = 0 получаем явную схему и решение во внутренних узлах сетки вычисляется по формуле = u k + τ(λ 1 u k + Λ u k ) + τf(x i, j ), (1) i = 1. N x 1, j = 1. N 1, k = 0, 1. Схема (1) условно устойчива при τ Ah. Общее число действий при переходе со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки, т. е. O(N x N ) схема экономичная. б) При σ = 1 получаем неявную схему. Она устойчива при любых h и τ. Для определения на каждом слое линейную систему получаем τ(λ 1 + Λ ) = u k + τf(x i, j ), (13) i = 1. N x 1, j = 1. N 1, k = 0, 1. Матрица этой системы пятидиагональная и решать систему можно методом матричной прогонки или методом исключения Гаусса, который при учете специального вида матрицы требует O(N xn ) действий, т. е. схема не является экономичной Схема переменных направлений Эта схема сочетает лучшие качества явной схемы экономичность и неявной устойчивость. Наряду с основными значениями u k и uk+1 вводится промежуточное значение /, которое формально можно рассматривать как значение при t = t k+ 1 = t k + τ. Решение задачи в этом случае сводится к решению двух систем вида (1)-(15) с трехдиагональными матрицами. u k+ 1 u k τ/ = Λ 1 u k+ 1 + Λ u k + f(x i, j ), (1) 1 i N x 1, 1 j N 1. 3

4 u k+ 1 τ/ = Λ 1 u k+ 1 + Λ + f(x i, j ), (15) 1 i N x 1, 1 j N 1. k = 0, 1. В граничных узлах решение должно принимать заданные в (11) значения. Схема (1) неявна по направлению x и явна по направлению, а схема (15) явна по направлению x и неявна по направлению, что позволяет использовать для нахождения решения одномерные прогонки. Система (1) с учетом граничных условий (11) может быть записана в следующем виде: u k+ 1 0j = µ(0, j ), где A u k+ 1 i 1j B u k+ 1 + C u k+ 1 i+1j = G k+ 1, 1 i N x 1, u k+ 1 N xj = µ(l x, j ) (16) G k+ 1 = u k τ (Λ u k + f(x i, j )), (17) 1 j N 1. В итоге при каждом 1 j N 1 получили линейную замкнутую систему (N x + 1)-го порядка относительно u k+ 1 0j, u k+ 1 1j. u k+ 1 N xj. Матрица системы 3-х диагональная и решать систему следует методом прогонки. Прогонки осуществляются вдоль строк (рис. ). u k u k+ 1 l Рис. l x x При j = 0, j = N решения находятся из (11): u k+ 1 i0 = µ(x i, 0, t k+ 1 ), 0 i N x, u k+ 1 in = µ(x i, l, t k+ 1 ), 0 i N x. Система (15) с учетом граничных условий (11) может быть записана в следующем виде: i0 = µ(x i, 0), A 1 B + C +1 = G k+1, 1 j N 1, in = µ(x i, l ), где (18) (19) G k+1 = u k+ 1 τ (Λ 1u k+ 1 + f(x i, j )), (0) 1 i N x 1,

6 0.6. Выбор точности Разностная схема (7)-(8) аппроксимирует исходную задачу (1)-() со вторым порядком относительно шага сетки. Заданная точность приближенного решения должна быть согласована с порядком аппроксимации. Часто отлаживают задачу на известном точном решении u, тогда судят о точности решения по его фактической абсолютной погрешности u k u или по относительной погрешности u k u / u 0 u. Если точное решение неизвестно и неизвестны оценки для погрешностей, то судят по величине невязки Λu k + F. Здесь F вектор значений правой части системы (7) во внутренних точках сетки. Для получения невязки подставляем значения u k в точках сетки в разностное уравнение (7) и вычисляем Λu k + F = max 1 i N x 1, 1 j N 1 Λu k + f. Также можно судить по величине относительной невязки Λu (k) + F / Λu 0 + F. Итак, в качестве критерия конца вычислений может быть выбран один из следующих: а) u k u 7 . Норма невязки нулевого приближения Λu 0 + F. 3. Характеристики вычисленного в цикле с параметром k приближенного решения u k (Таблица 1) Здесь 5.1 номер итерации; Таблица k Λu k + F rel.d. u k u rel.error u k u k норма невязки k-го приближения; 5.3 относительная невязка k-го приближения Λuk + F Λu 0 + F ; 5. норма абсолютной погрешности k-го приближения; 5.5 относительная погрешность k-го приближения uk u u 0 u ; 5.6 норма разности двух соседних приближений.. Решение, удовлетворяющее заданной точности ε, или u kmax на крупной сетке. Крупной будем называть сетку при N x = 5, N = 5 и, независимо от значений N x и N, приближенное решение должно печататься только в точках этой сетки, например при l x = l = 1 должна быть выведена таблица cо значениями решения следующего вида: Таблица x Таблица точного решения на крупной сетке. Проанализировать полученные результаты. Рекомендации по составлению программы можно посмотреть здесь. Разностные схемы других методов установления изложены в [] и [3]. Список литературы [1] Самарский А.А. Теория разностных схем. М., [] Марчук Г.И. Методы расщепления. М., [3] Практикум по численным методам/ А.И. Воронкова, И.К. Даугавет, А.А. Марданов и др. СПб., 003. Варианты заданий 7

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения: