Решить линейное уравнение с двумя неизвестными и построить график (8 видео)

Решить линейное уравнение с двумя неизвестными и построить график

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Содержание

Графический метод
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Видео YouTube
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
График линейного уравнения с двумя переменными
Решение уравнений с двумя неизвестными
Определение
Решение задач
Система уравнений с двумя неизвестными
Метод подстановки
Метод сложения
Графический метод
Видео
Линейное уравнение с двумя переменными и его график (конспект+ презентация)
Выберите документ из архива для просмотра:
Тема урока:
«Линейное уравнение с двумя переменными и его график».
Видео

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $frac$;0) и точка на оси Y (0; $frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c neq 0$

x, $y in Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Решение уравнений с двумя неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Видео:ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео:График линейного уравнения с двумя переменными. 6 класс.Скачать

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными и его график (конспект+ презентация)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Видеолекции для
профессионалов

Свидетельства для портфолио
Вечный доступ за 120 рублей
311 видеолекции для каждого

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Линейное уравнение с двумя переменными и его график.doc

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Тема урока:

Видео:Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать

«Линейное уравнение с двумя переменными и его график».

выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

ввести понятие линейного уравнения как математическую модель реальной ситуации;

научить по виду определять линейное уравнение и его коэффициенты;

научить по заданному значению х находить соответствующее значение у, и наоборот;

ввести алгоритм построения графика линейного уравнения и научить применять его на практике;

научить составлять линейное уравнение, как математическую модель задачи.

На уроке кроме ИКТ технологий используются проблемное обучение, элементы развивающего обучения, технология группового взаимодействия.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

I . Организационный этап. Слайд 1.

Проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы урока, целей и задач.

1. Слайд 2. Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Слайд 3.

Ответ: ах + ву + с = 0.

Слайд 4. Отработка понятия линейного уравнения на примерах (устная работа).

Слайд 5-6. Назвать коэффициенты линейного уравнения.

2. Слайд 7. Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D (11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком уравнения с двумя переменными? Слайд 8.

3. Слайд 9. Найдите абсциссу точки М(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х – 9у = 30.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными? Слайд 10.

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

1. На каком рисунке у графика линейной функции положительный угловой коэффициент
2. На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент
3. График какой функции мы не изучали?

5. Слайд 12. Назовите числовой промежуток, соответствующий геометрической модели:

III . Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы будем закреплять умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные (необходимость составления линейного уравнения для решения задачи с двумя неизвестными).

Постарайтесь быть настойчивыми и целеустремленными при выполнении заданий.

IV . Закрепление. Слайд 13.

Задача. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? Составить математическую модель к задаче и найти два решения.

Слайд 14. (Составление математической модели к задаче). Демонстрация составления математической модели.

— Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

Учитель ставит вопрос: сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? Ответ: бесконечно много.

Учитель : как можно найти решения линейного уравнения с двумя переменными? Ответ: подобрать.

Учитель: как легче подобрать решения уравнения?

Ответ: подобрать одну переменную, например х, и из уравнения найти другую — у.

— Проверьте являются ли пары следующих значений решением уравнения.

Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй 11 дней. Сколько гектаров вспахивал за день каждый тракторист? Составьте линейное уравнения с двумя переменными к задаче и найдите 2 решения.

— Что называют графиком уравнения с двумя переменными? Рассмотреть различные случаи.

Слад 19. Алгоритм построения графика линейной функции.

Слайд 20. (устно) Рассмотреть пример построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

V . Работа по учебнику.

Слайд 21. Построить график уравнения:

I вариант № 1206 (б)

II вариант № 1206 (в)

VI . Самостоятельная работа. Слайд 22.

1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у — 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у — 1 =0?

Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

(С последующей проверкой, проверка Слайд 23-25)

VII . Закрепление. Слайд 26.

Постройте правильно. (Задание для всех учащихся класса). Построить с помощью линий цветок, о котором идёт речь:

Известно около 120 видов этих цветов, распространенных, главным образом в Средней, Восточной и Южной Азии и Южной Европе.

Ботаники считают, что эта культура возникла в Турции в ХII столетии Мировую славу растение обрело вдали от своей родины, в Голландии, по праву названной Страной этих цветов.

На различных художественно-оформленных изделиях (и ювелирных) часто встречаются мотивы этих цветов.

Вот легенда об этом цветке.

В золотистом бутоне желтого цветка было заключено счастье. До этого счастья никто не мог добраться, ибо не было такой силы, которая смогла бы открыть его бутон.

Но однажды по лугу шла женщина с ребенком. Мальчик вырвался из рук матери, со звонким смехом подбежал к цветку, и золотистый бутон раскрылся. Беззаботный детский смех совершил то, чего не смогла сделать никакая сила. С тех пор и повелось дарить эти цветы только тем, кто испытывает счастье.

Необходимо построить графики функций и выделить ту ее часть, для точек которой выполняется соответствующее неравенство: