Пример 1 . Общее решение дифференциального уравнения с правой частью: y» + py’ + qy = R(x) получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части y» + py’ + qy = 0 где R(x) = e αx [P1(x)cos(βx) + P2sin(βx)]
1. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = 2x+3 корнями характеристического уравнения r 3 – 4r 2 + 5r – 2 = 0 являются r=2 кратности 1 и r=1 кратности 2. Следовательно α+β i=0 и не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0 и частное решение ищем в виде y = cx + d. Так как y’ = 0, y’’ = 0, y’’’ = 0, то, подставляя в уравнение, получаем 5c — 2cx — 2d = 2x + 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем -2c = 2. -5c – 2d = 3. Следовательно, c=-1, d= -4 и y = -x-4 — частное, а y = -x-4+C1e x + C2e 2 x — общее решения уравнения.
2. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = (2x+3)e 2 x число α+β i=2 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y = x(cx + d)e 2 x .
3. Для уравнения y’’ + y = cos(x) корнями характеристического полинома r 2 +1 являются числа r = ±i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a1cosx + a2 sinx). Тогда
y’ = (a1 + a2x)cosx + (a2 – a1x)sinx,
y’’ = (2a2 – a1x)cosx + (-2a1-a2x)sinx
Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 2a2 cosx – 2a1sinx = cosx, откуда a1 = 0;a2=0,5.
4. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ + 2y = x 2 + 3x
Находим решение однородного уравнения y» — 3y’ + 2y = 0.
Характеристическое уравнение: r 2 -3r+2=0 имеет корни r1= 1, r2= 2.
Общее решение уравнения без правой части равно: yОбщ = C1e x + C2e 2x
Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 не является корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = Ax 2 + Bx + C Находим y»,y’, которые подставляем в равенство:
2Ax 2 + (2B — 6A)x + 2C — 3B + 2A = x 2 + 3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
2A = 1; 2B — 6A = 3; 2C — 3B + 2A = 0,
из которых находим: A = 1/2, B = 3, C = 4, так что
y * = x 2 /2 + 3x + 4
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = yОбщ + y * = C1e x + C2e 2x + x 2 /2 + 3x + 4
5. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ = x 2 + 3x
Характеристическое уравнение: r 2 — 3r = 0 имеет корни r1= 3, r2= 0.
Общее решение уравнения без правой части равно: yОбщ = C1e 3x + C2e 0 = C1e 3x + C2 Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 является однократным корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = x(Ax 2 + Bx + C) Находим y»,y’, которые подставляем в равенство y» — 3y’ = x 2 + 3x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
-9A = 1, -6B + 6A = 3, -3C + 2B = 0,
из которых находим: A = -1/9, B = -11/18, C = -11/27, так что
y * = x 2 /9 — 11x/18 -11/27
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = yОбщ + y * = C1e 3x + C2 + x 2 /9 — 11x/18 -11/27
Пример 2 . Решить дифференциальное уравнение 8y» +2y’ — 3y = 0.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
8r 2 +2r — 3 = 0
D = 2 2 — 4·8·(-3) = 100 
, 
Корни характеристического уравнения: r1 = 1 /2, r2 = -3 /4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e 1/ 2x , y2 = e -3/ 4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Найдем частное решение при условии: y(0) = -6, y'(0) = 7
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = -6
Находим первую производную:
y’ = 1 /2•c1•e 1/ 2•x — 3 /4•c2•e -3/ 4•x
Поскольку y'(0) = 1 /2•c1— 3 /4•c2, то получаем второе уравнение:
1 /2•c1— 3 /4•c2 = 7
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = -6
1 /2•c1— 3 /4•c2 = 7
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 2, c2 = -8
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: 
Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Дифференциальные уравнения по-шагам
Видео:Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
💡 Видео
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать
Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать
Как распознать талантливого математикаСкачать
Супер ЖЕСТЬ для продвинутых: sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))=xСкачать
Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать
Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Однородное линейное дифференциальное уравнение. Алгоритм решенияСкачать
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать
онлайн-лекция Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать
