Про уравнения - легко » Статьи

Решения заданий с уравнением касательной

Обновлено
Содержание
  1. Тестовые задания по теме: «Касательная к графику функции»
  2. Уравнение касательной к графику функции
  3. п.1. Уравнение касательной
  4. п.2. Алгоритм построения касательной
  5. п.3. Вертикальная касательная
  6. п.4. Примеры
  7. Как составить уравнение касательной к графику функции
  8. Как составлять уравнение касательной в заданной точке
  9. Алгоритм написания уравнения
  10. Задачи на написание уравнения касательной
  11. Видео
  12. Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Тестовые задания по теме: «Касательная к графику функции»

Разделы: Математика

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке хРешения заданий с уравнением касательной: y = f(хРешения заданий с уравнением касательной) + f ‘(хРешения заданий с уравнением касательной)(x – хРешения заданий с уравнением касательной)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х Решения заданий с уравнением касательнойабсциссу точки касания.

2. Найти f(хРешения заданий с уравнением касательной)

3. Найти f ‘(x) и f ‘(хРешения заданий с уравнением касательной) 4. Подставить найденные числа хРешения заданий с уравнением касательной, f(хРешения заданий с уравнением касательной), f ‘(хРешения заданий с уравнением касательной) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функцииРешения заданий с уравнением касательной Решения заданий с уравнением касательнойв точке с абсциссой хРешения заданий с уравнением касательной=3.

1. х Решения заданий с уравнением касательной= 3 – абсцисса точки касания.

3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения хРешения заданий с уравнением касательной=3, f(хРешения заданий с уравнением касательной)=-2, f ‘(хРешения заданий с уравнением касательной)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой хРешения заданий с уравнением касательной.

1. f(x)=-xРешения заданий с уравнением касательной-4x+2, хРешения заданий с уравнением касательной=-1.1) y=-2x-3;2) y=2x-1;3) y=-2x+3;4) y=2x+3.
2. f(x)=-xРешения заданий с уравнением касательной+6x+8, хРешения заданий с уравнением касательной=-2.1) y=2x-6;2 )y=10x+12;3) y=4x+8;4) y=-10x+8.
3. f(x)=xРешения заданий с уравнением касательной+5x+5, хРешения заданий с уравнением касательной=-1.1) y=7x+8;2) y=8x+7;3) y=9x+8;4) y=8x+6.
4. f(x)=2cosx, хРешения заданий с уравнением касательной= Решения заданий с уравнением касательной1) y=Решения заданий с уравнением касательной2) y=Решения заданий с уравнением касательной3) y=Решения заданий с уравнением касательной4) y=Решения заданий с уравнением касательной
5. f(x)=tgx, хРешения заданий с уравнением касательной= Решения заданий с уравнением касательной1) y=x;2) y=x+Решения заданий с уравнением касательной3) y=x-Решения заданий с уравнением касательной4) y=x-1.
6. f(x)=1-sin2x, хРешения заданий с уравнением касательной=0.1) y=1-2x;2) y=2x;3) y = -2x;4) y=2x+1.
7. f(x)= Решения заданий с уравнением касательнойхРешения заданий с уравнением касательной=-2.1) y = -x+1; 2) y = x+1;3) y = -x-1;4) y = -x-2.

8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.

9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=eРешения заданий с уравнением касательной-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.

10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-Решения заданий с уравнением касательной)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.

Ответы к упражнениям

Задание12345678910
Номер ответа3222313244

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=Решения заданий с уравнением касательной— хРешения заданий с уравнением касательной— х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у’ = хРешения заданий с уравнением касательной-2х-1; к= у'(хРешения заданий с уравнением касательной)= хРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-2хРешения заданий с уравнением касательной-1=2.

Решив уравнение хРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-2хРешения заданий с уравнением касательной-1=2; хРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-2хРешения заданий с уравнением касательной-3=0, получим (хРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной=3, (хРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной=-1, откуда (уРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной= -2, (уРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной= Решения заданий с уравнением касательной. Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;Решения заданий с уравнением касательной)

Ответ: (3;-2) и (-1;Решения заданий с уравнением касательной).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть хРешения заданий с уравнением касательной— абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-Решения заданий с уравнением касательной. К= f ‘ (хРешения заданий с уравнением касательной)=2-Решения заданий с уравнением касательной=1.

Решив уравнение 2-Решения заданий с уравнением касательной=1, получим хРешения заданий с уравнением касательной=1.

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

1. f(x)= х+еРешения заданий с уравнением касательной, у(х)= -х.1) —Решения заданий с уравнением касательной; 2) 0; 3) Решения заданий с уравнением касательной; 4) 1.
2. f(x)=2Решения заданий с уравнением касательной+х, у(х)= 2х.1) 1; 2) 4; 3) 0; 4) Решения заданий с уравнением касательной.
3. f(x)=хРешения заданий с уравнением касательной-5х, у(х)= -х.1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2.
4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0.1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1.
5. f(x)=-х-еРешения заданий с уравнением касательной, у(х)= 4-2х.1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2.

6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=хРешения заданий с уравнением касательной— 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.

7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= Решения заданий с уравнением касательнойпараллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.

8. К графику функции у = Решения заданий с уравнением касательнойпроведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой хРешения заданий с уравнением касательной= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.

9. К графику функции у =- Решения заданий с уравнением касательнойпроведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой хРешения заданий с уравнением касательной= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.

10. На графике функции у = х (х-4) Решения заданий с уравнением касательнойуказать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.

Ответы к упражнениям

Задание12345678910
Номер ответа2142214321

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом

Задача 1. К графику функции f(x) = 3xРешения заданий с уравнением касательной+5x-15 в точке с абсциссой xРешения заданий с уравнением касательной= Решения заданий с уравнением касательнойпроведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

f'(xРешения заданий с уравнением касательной) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке xРешения заданий с уравнением касательной. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.

k= f ‘(xРешения заданий с уравнением касательной)=tgРешения заданий с уравнением касательной, где xРешения заданий с уравнением касательной— абсцисса точки касания, а Решения заданий с уравнением касательной— угол наклона касательной к оси Ох.

f ‘(xРешения заданий с уравнением касательной)= f ‘(Решения заданий с уравнением касательной)=6. tgРешения заданий с уравнением касательной=6.

Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.

Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(xРешения заданий с уравнением касательной) = tg 45° найдем xРешения заданий с уравнением касательной: x Решения заданий с уравнением касательной– 3 = 1, xРешения заданий с уравнением касательной= 4.

1. xРешения заданий с уравнением касательной= 4 – абсцисса точки касания.

2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.

4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xРешения заданий с уравнением касательнойlnx в точке xРешения заданий с уравнением касательной=1.

Решение. k= f'(xРешения заданий с уравнением касательной)=tgРешения заданий с уравнением касательной.

Находим f ‘(x)= 2xlnx+xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной=2xlnx+x=x(2lnx+1).

При xРешения заданий с уравнением касательной=1 получим f ‘(1)=1, откуда tgРешения заданий с уравнением касательной=1 и, значит, Решения заданий с уравнением касательной=Решения заданий с уравнением касательной.

Ответ: Решения заданий с уравнением касательной.

К графику функции f(x) в точке с абсциссой x Решения заданий с уравнением касательнойпроведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

1. f(x)= 2+x-2xРешения заданий с уравнением касательной, xРешения заданий с уравнением касательной=1.1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0.
2. f(x)= Решения заданий с уравнением касательной, xРешения заданий с уравнением касательной=8.1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16.
3. f(x)= 5xРешения заданий с уравнением касательной-3xРешения заданий с уравнением касательной-7, xРешения заданий с уравнением касательной=-1.1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21.
4. f(x)= 3xРешения заданий с уравнением касательной-2lnx, xРешения заданий с уравнением касательной=2.1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5.
5. f(x)= Решения заданий с уравнением касательной-x+14, xРешения заданий с уравнением касательной=1.1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77.

Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x Решения заданий с уравнением касательной

6. f(x)=eРешения заданий с уравнением касательной-xРешения заданий с уравнением касательной, xРешения заданий с уравнением касательной=1.1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2.
7. f(x)=2sinx+2, xРешения заданий с уравнением касательной=0.1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2.
8. f(x)=4cosx-1, xРешения заданий с уравнением касательной=Решения заданий с уравнением касательной.1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1.
9. f(x)=2Решения заданий с уравнением касательной+3, xРешения заданий с уравнением касательной=4.1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5.

10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx — xРешения заданий с уравнением касательной, в точке xРешения заданий с уравнением касательной=1. 1) Решения заданий с уравнением касательной2) Решения заданий с уравнением касательной3) arctg2; 4) Решения заданий с уравнением касательной

Ответы к упражнениям

Задание12345678910
Номер ответа2313214324

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = xРешения заданий с уравнением касательной— 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

При х =2, находим у = 4-8+3=-1Решения заданий с уравнением касательной-5, то есть точка М не лежит на кривой y = xРешения заданий с уравнением касательной-4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (хРешения заданий с уравнением касательной) – точка касания.

у ‘ =2х-4, k = 2xРешения заданий с уравнением касательной— 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

уРешения заданий с уравнением касательной=-5-(2хРешения заданий с уравнением касательной-4)(2-хРешения заданий с уравнением касательной). Поскольку точка (хРешения заданий с уравнением касательной) лежит на кривой, получим y Решения заданий с уравнением касательной= xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-4xРешения заданий с уравнением касательной+3.

Решим уравнение xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-4xРешения заданий с уравнением касательной+3 = -5-(2хРешения заданий с уравнением касательной-4)(2-хРешения заданий с уравнением касательной);

xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-4xРешения заданий с уравнением касательной+3=2xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной-8xРешения заданий с уравнением касательной+3, xРешения заданий с уравнением касательнойРешения заданий с уравнением касательной— 4xРешения заданий с уравнением касательной=0, (хРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной=0, (хРешения заданий с уравнением касательной)Решения заданий с уравнением касательной= 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент kРешения заданий с уравнением касательной= -4 (при хРешения заданий с уравнением касательной=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент kРешения заданий с уравнением касательной=4 (при хРешения заданий с уравнением касательной=4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

1. f(x)=4хРешения заданий с уравнением касательной-8х-2, М(3;-90).1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
2. f(x)=7хРешения заданий с уравнением касательной-2х-5, М(2;-93).1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
3. f(x)=6хРешения заданий с уравнением касательной-4х-1, М(1;-23).1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3.
4. f(x)=хРешения заданий с уравнением касательной-8х-2, М(1,5;-54).1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
5. f(x)=хРешения заданий с уравнением касательной-9х-5, М(-1,5;4,5).1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) — 3.
6. f(x)=7хРешения заданий с уравнением касательной-7х-1, М(2;-50).1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= хРешения заданий с уравнением касательной— 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.

1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= хРешения заданий с уравнением касательной+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.

1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.

9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 хРешения заданий с уравнением касательной+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.

1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.

10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=Решения заданий с уравнением касательной. Найти уравнения этих касательных.

1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.

Ответы к упражнениям

Задание12345678910
Номер ответа2134412424

V. Нестандартные задачи, связанные с касательной

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).

6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.

7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

8. Найдите угол Решения заданий с уравнением касательноймежду касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: Решения заданий с уравнением касательной= 45°.

9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.

10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: Решения заданий с уравнением касательной1 = arctg 6, Решения заданий с уравнением касательной2 = arctg (– 6).

11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).

12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.

13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Решения заданий с уравнением касательной
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

Решения заданий с уравнением касательнойПусть (f(x)=x^2+3).
Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

Решения заданий с уравнением касательнойПусть (f(x)=sqrt[5]+1).
Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Решения заданий с уравнением касательнойНаходим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Решения заданий с уравнением касательнойОбщее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4)
По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1)
Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

Решения заданий с уравнением касательнойНайдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2).
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

Решения заданий с уравнением касательнойУ горизонтальной прямой (k=0).
Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end Решения заданий с уравнением касательной
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ Решения заданий с уравнением касательной
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

Решения заданий с уравнением касательнойИщем расстояние между двумя параллельными прямыми:
(y=2x) и (y=2x-1).
Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Решения заданий с уравнением касательной

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

  • x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
  • f(x) — исходная функция;
  • f'(x) — производная от функции;
  • k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Решения заданий с уравнением касательной

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

  1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
  2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
  3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
  4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Решения заданий с уравнением касательной

Видео:Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать

Геометрический смысл производной | Касательная

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

  • Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
  • Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
  • Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
  • Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
  • Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

  • Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
  • Запишем производную: g'(x) = 6x².
  • Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
  • Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
  • Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
  • В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Как написать уравнения касательной и нормали | Математика

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

🎥 Видео

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Алгебра 10 класс: Решение примеров на уравнение касательнойСкачать

Алгебра 10 класс: Решение примеров на уравнение касательной

Уравнение касательнойСкачать

Уравнение касательной

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к графику функции в №7 из ЕГЭ по математикеСкачать

Касательная к графику функции в №7 из ЕГЭ по математике

Уравнение касательнойСкачать

Уравнение касательной

ЕГЭ Задание 7 Уравнение касательнойСкачать

ЕГЭ Задание 7 Уравнение касательной

Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать

Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Уравнение касательной. Решение задач 1Скачать

Уравнение касательной. Решение задач 1

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример Решения

Урок 13. Уравнение касательной, проходящей параллельно прямой. Производные. Алгебра 10, 11 класс.Скачать

Урок 13. Уравнение касательной, проходящей параллельно прямой. Производные. Алгебра 10, 11 класс.

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: