Про уравнения - легко » Статьи

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Обновлено
Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Рассмотрим матрицу системы Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называюти матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называютили короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют. Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

    Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Найдем матрицу обратную матрице A.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Найдем матрицу А -1 .

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решите матричное уравнение AX+B=C, где Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Из уравнения получаем Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Следовательно,Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Сложим эти уравнения:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Аналогично можно показать, что и Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Наконец несложно заметить, что Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Таким образом, получаем равенство: Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Следовательно, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Аналогично выводятся равенства Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называюти Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

    Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют. Поэтому Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

  1. При Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют
  2. При p = 30 получаем систему уравнений Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называюткоторая не имеет решений.
  3. При p = –30 система принимает вид Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называюти, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, умножим на Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называюти сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

    Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вернемся к системе уравнений. Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Содержание
  1. Тест по дисциплине «Линейная алгебра» для ДПО ОСЭК
  2. Вопрос 1
  3. Линейную систему, у которой среди свободных членов имеются отличные от нуля, называют:
  4. Вопрос 2
  5. Вопрос 3
  6. Вопрос 4
  7. Вопрос 5
  8. Вопрос 6
  9. Вопрос 7
  10. Вопрос 8
  11. Вопрос 9
  12. Вопрос 10
  13. Вопрос 11
  14. Вопрос 12
  15. Вопрос 13
  16. Вопрос 14
  17. Вопрос 15
  18. Вопрос 18
  19. Вопрос 19
  20. Вопрос 20
  21. Вопрос 21
  22. Вопрос 22
  23. Вопрос 23
  24. Вопрос 24
  25. Вопрос 25
  26. Вопрос 26
  27. Вопрос 27
  28. Вопрос 28
  29. Вопрос 29
  30. Вопрос 30
  31. Оставить комментарий
  32. Линейные уравнения. Система линейных уравнений.
  33. Методы решения систем линейных уравнений.
  34. Решение задач по математике онлайн
  35. Калькулятор онлайн. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
  36. Немного теории.
  37. Системы линейных алгебраических уравнений
  38. Основные определения
  39. Формы записи СЛАУ
  40. Критерий совместности СЛАУ
  41. Формулы Крамера
  42. Однородные системы
  43. Неоднородные системы
  44. 📺 Видео

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Тест по дисциплине «Линейная алгебра» для ДПО ОСЭК

Вопрос 1

Линейную систему, у которой среди свободных членов имеются отличные от нуля, называют:

Вопрос 2

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 3

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 4

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 5

Выберите правильную формулировку теоремы Кронекера-Капелли:

Вопрос 6

Если ранг основной системы матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то

Вопрос 7

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 8

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 9

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 10

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 11

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 12

Линейную систему, у которой все свободные члены равны нулю, называют:

Вопрос 13

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 14

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 15

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 18

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 19

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 20

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 21

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 22

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 23

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 24

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вопрос 25

Если любое решение одной системы является также решением другой системы и обратно, то такие две системы называют:

Вопрос 26

Если система имеет единственное решение, то ее называют:

Вопрос 27

Если система имеет хотя бы одно решение, то ее называют:

Вопрос 28

Если система не имеет ни одного решения, то ее называют:

Вопрос 29

Прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на любое число, называют:

Вопрос 30

Какое из ниже перечисленных преобразований не является элементарным?

Оставить комментарий

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Inna Petrova 18 минут назад

Нужно пройти преддипломную практику у нескольких предметов написать введение и отчет по практике так де сдать 4 экзамена после практики

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 25 минут назад

Inna Petrova, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Коля 2 часа назад

Здравствуйте, сколько будет стоить данная работа и как заказать?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 2 часа назад

Николай, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Инкогнито 5 часов назад

Сделать презентацию и защитную речь к дипломной работе по теме: Источники права социального обеспечения. Сам диплом готов, пришлю его Вам по запросу!

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 6 часов назад

Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Василий 12 часов назад

Здравствуйте. ищу экзаменационные билеты с ответами для прохождения вступительного теста по теме Общая социальная психология на магистратуру в Московский институт психоанализа.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 12 часов назад

Василий, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Анна Михайловна 1 день назад

Нужно закрыть предмет «Микроэкономика» за сколько времени и за какую цену сделаете?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 1 день назад

Анна Михайловна, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Сергей 1 день назад

Здравствуйте. Нужен отчёт о прохождении практики, специальность Государственное и муниципальное управление. Планирую пройти практику в школе там, где работаю.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 1 день назад

Сергей, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Инна 1 день назад

Добрый день! Учусь на 2 курсе по специальности земельно-имущественные отношения. Нужен отчет по учебной практике. Подскажите, пожалуйста, стоимость и сроки выполнения?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 1 день назад

Инна, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Студент 2 дня назад

Здравствуйте, у меня сегодня начинается сессия, нужно будет ответить на вопросы по русскому и математике за определенное время онлайн. Сможете помочь? И сколько это будет стоить? Колледж КЭСИ, первый курс.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 2 дня назад

Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Ольга 2 дня назад

Требуется сделать практические задания по математике 40.02.01 Право и организация социального обеспечения семестр 2

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 2 дня назад

Ольга, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вика 3 дня назад

сдача сессии по следующим предметам: Этика деловых отношений — Калашников В.Г. Управление соц. развитием организации- Пересада А. В. Документационное обеспечение управления — Рафикова В.М. Управление производительностью труда- Фаизова Э. Ф. Кадровый аудит- Рафикова В. М. Персональный брендинг — Фаизова Э. Ф. Эргономика труда- Калашников В. Г.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 3 дня назад

Вика, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Игорь Валерьевич 3 дня назад

здравствуйте. помогите пройти итоговый тест по теме Обновление содержания образования: изменения организации и осуществления образовательной деятельности в соответствии с ФГОС НОО

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 3 дня назад

Игорь Валерьевич, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Вадим 4 дня назад

Пройти 7 тестов в личном кабинете. Сооружения и эксплуатация газонефтипровод и хранилищ

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 4 дня назад

Вадим, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Кирилл 4 дня назад

Здравствуйте! Нашел у вас на сайте задачу, какая мне необходима, можно узнать стоимость?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 4 дня назад

Кирилл, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Oleg 4 дня назад

Требуется пройти задания первый семестр Специальность: 10.02.01 Организация и технология защиты информации. Химия сдана, история тоже. Сколько это будет стоить в комплексе и попредметно и сколько на это понадобится времени?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 4 дня назад

Oleg, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Валерия 5 дней назад

ЗДРАВСТВУЙТЕ. СКАЖИТЕ МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ПОМОЧЬ С ВЫПОЛНЕНИЕМ практики и ВКР по банку ВТБ. ответьте пожалуйста если можно побыстрее , а то просто уже вся на нервяке из-за этой учебы. и сколько это будет стоить?

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 5 дней назад

Валерия, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Инкогнито 5 дней назад

Здравствуйте. Нужны ответы на вопросы для экзамена. Направление — Пожарная безопасность.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением 5 дней назад

Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван неделю назад

Защита дипломной дистанционно, «Синергия», Направленность (профиль) Информационные системы и технологии, Бакалавр, тема: «Автоматизация приема и анализа заявок технической поддержки

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Иван, помощь с обучением неделю назад

Иван, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Дарья неделю назад

Необходимо написать дипломную работу на тему: «Разработка проекта внедрения CRM-системы. + презентацию (слайды) для предзащиты ВКР. Презентация должна быть в формате PDF или формате файлов PowerPoint! Институт ТГУ Росдистант. Предыдущий исполнитель написал ВКР, но работа не прошла по антиплагиату. Предыдущий исполнитель пропал и не отвечает. Есть его работа, которую нужно исправить, либо переписать с нуля.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Линейные уравнения. Система линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными это система вида:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные числа. В обозначении коэффициентов aij индекс i определяет номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент.

Однородная система — когда все свободные члены системы равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), обратная ситуация — неоднородная система.

Квадратная система — когда число m уравнений равняется числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких, что подстановка всех ci вместо xi в систему превращает все её уравнения в тождества.

Совместная система – когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система, когда у системы нет решений.

У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений.

Решения c1 (1) , c2 (1) , …, cn (1) и c1 (2) , c2 (2) , …, cn (2) совместной системы типа (1) будут различными, когда не выполняется даже 1-но из равенств:

Совместная система типа (1) будет определённой, когда у нее есть только одно решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой. Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой.

Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица:

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют

Она называется матрицей системы.

Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b1,…,bm являются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта:

1. У системы есть только одно решение.

2. У системы есть нескончаемое число решений. Например, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют. Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком.

3. У системы нет решений. Например, Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными x1 x2 называют, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы в одно время 0 и 1.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Методы решения систем линейных уравнений.

Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным.

Итерационные методы основываются на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Базисные решения систем линейных уравнений (01)

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -234 )

Ввод: -1,15
Результат: ( -115 )

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Немного теории.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left< begin a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_1 \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin a_ & a_ & cdots & a_ \ a_ & a_ & cdots & a_ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin a_ & a_ & cdots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac ;,quad i=overline tag $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы ( X^, X^, ldots , X^ ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^, ldots , X^ ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^, ldots , X^ ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ + ldots + c_kX^ $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^, ldots , X^ ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ + c_2 X^ + ldots + c_k X^ $$
где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Лекция 12. Системы линейных уравненийСкачать

Лекция 12. Системы линейных уравнений

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: