Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2.
Глава 27. Простейшие дифференциальные уравнения математической физики

В этой главе рассматриваются некоторые уравнения математической физики, т.е. уравнения с частными производными второго порядка, к которым приводят следующие задачи: задача о колебаниях струны, задача о распространении тепла и др.

27.1. Вывод уравнения колебаний струны

Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах. Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней), струна начнет колебаться.

Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой, перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время находится в одной и той же плоскости.

Выберем в этой плоскости декартову прямоугольную систему координат Охu. В качестве оси Ох возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия, за ось Оu примем прямую, проходящую через левый конец струны и перпендикулярно к оси Ох (рис. 27.1).

Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u; очевидно, u зависит от абсциссы х точки струны и времени t, т.е. u = u(х, t).

При фиксированном t графиком функции u = u(х, t) в плоскости Охu является форма струны в данный момент времени t. Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х равен частной производной по х от функции u(х, t) т.е.

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где α = α (x, t) – угол наклона касательной.

Видео:2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.

Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо начертить ряд графиков функции u = u(х, t) при различных значениях t.

При фиксированном значении х функция u = u(х, t) определяет закон движения точки с абсциссой х. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Оu. Скорость и ускорение указанного движения выражаются соответственно формулами

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Будем изучать малые колебания струны, т.е. такие, при которых угол α = α (x, t) (угол наклона касательной к графику функции u = u(х, t) при каждом фиксированном значении t) настолько мал, что его квадратом можно пренебречь, т.е. приближенно считать

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

то отсюда следует, что

sin α = α, cos α = 1.

tg α – sin α = tg α(1 – cos α) = tg α · 0 = 0 ,

Принимая во внимание (27.3) – (27.5), заключаем, что

tg² α = 0 , или Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками M1(x1, u1), M2(x2, u2) выразится формулой

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Соотношение (27.7) означает, что длина любого участка струны остается постоянной.

Будем предполагать струну абсолютно гибкой, что означает следующее: если удалить участки ОМ1, M2L (см. рис. 27.1), то их действия на участок М1М2 заменяются соответственно действием сил натяжения T1 и Т2, направленных по касательным к графику функции u = u(х, t) в точках М1 и М2 (рис. 27.2). Поскольку по предположению точки струны движутся по прямым, параллельным оси Оu, то сумма проекций сил T1, Т2 на ось Ох равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ох, получаем T2сos α2T1cos α1 = 0, где T1, Т2 – величины сил T1, Т2.

Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

Уравнение колебания струны. Решение методом Даламбера

На основании второго из равенств (27.4) заключаем, что T1 = T2 т.е. величина силы натяжения остается постоянной. Обозначая ее через T, получаем

Проектируя силы T1, Т2 на ось Оu, находим

С учетом равенства (27.1) получаем

где х – абсцисса точки М1; х + Δх – абсцисса точки М2.

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, находим, что

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

поэтому проекция сил натяжения T1 и Т2 на ось Ох выразится формулой

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Предположим, что на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Оu, плотность распределения* которых равна g(x, t), тогда величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку М1М2, приближенно равна g(x, t)Δx. Силами сопротивления внешней среды пренебрегаем.

* Под плотностью понимают предел средней плотности распределения сил на данном отрезке, когда длина отрезка стремится к нулю; средняя плотность – отношение величины равнодействующей сил к длине отрезка, на котором они приложены.

Будем считать струну однородной, обозначим через ρ ее линейную плотность, тогда масса участка М1М2 выразится так: ρ М1М2 = ρ Δх, m = ρ Δх

В соответствии со вторым законом Ньютона mw = F (произведение массы на ускорение равно действующей силе) получаем

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Видео:3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямой

Уравнение (27.10) называется уравнением колебаний струны, или одномерным волновым уравнением.

Если g(x, t) = 0 (внешние силы отсутствуют), то уравнение (27.10) принимает вид

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Уравнение (27.12) называется уравнением свободных колебаний, уравнение (27.10) — уравнением вынужденных колебаний струны.

27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Так, в случае уравнения (27.10) или (27.12) нужно указать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t0 (будем полагать t0 = 0), т.е.

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где f(x), F(x) – заданные функции, а также зафиксировать отклонения концов струны. Поскольку концы закреплены, то

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где l – длина струны.

Условия (27.13) называются начальными условиями, а условия (27.14) – краевыми (или граничными) условиями.

Итак, задача о свободных колебаниях струны ставится следующим образом. Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям u(х, 0) = f(x), u'(х,0) = F(x) и краевым условиям u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Функции f(х) и F(x) определены на отрезке [0, l], из краевых условий следует, что f(0) = 0, f(l) = 0. Можно доказать, что при некоторых предположениях относительно функций f(x) и F(x) поставленная задача имеет единственное решение.

Видео:Задача Коши для волнового уравнения (Часть 2)Скачать

Задача Коши для волнового уравнения (Часть 2)

В случае, когда предполагается, что струна является неограниченной, граничные условия не налагаются.

Задача о свободных колебаниях неограниченной струны ставится так. Найти решение u = u(х, t) уравнения с частными производными второго порядка Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера, удовлетворяющее начальным условиям

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где f(x) и F(x) – заданные функции, определенные на всей действительной оси. Эта задача называется задачей Коши.

27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны. Метод Д’Аламбера

Как уже отмечалось, задача о свободных колебаниях бесконечной струны, или задача Коши, состоит в следующем.

Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

удовлетворяющее начальным условиям

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где f(х), F(x) – заданные функции, определенные в бесконечном промежутке (-∞, +∞).

Уравнение (27.15) перепишем так: Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера и (положив t = у) сравним его с уравнением (26.9). Поскольку В² — АС = а² > 0, то уравнение является уравнением гиперболического типа.

Уравнение характеристик Ady² — 2Bdxdy + Cdx² = 0 принимает вид a²dt² — dx² = 0 или dx² — a²dta² = 0. Оно распадается на два уравнения dx – adt = 0, dx + adt = 0, откуда получаем х – at = С1, х + at – С1.

Введя новые переменные ξ и η по формулам

преобразуем уравнение (27.15) к каноническому виду.

Выражаем частные производные по переменным х, t через частные производные по ξ, η :

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Подставляя в уравнение (27.15) выражения для частных производных второго порядка, получаем Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Проинтегрируем последнее уравнение. Положим Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера тогда Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Следовательно, Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера, или u = φ(ξ) + ψ(η) , где φ(ξ), ψ(η) – произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов. Принимая во внимание (27.17), последнюю формулу можно записать так:

Видео:Задача Коши для волнового уравнения (Часть 1)Скачать

Задача Коши для волнового уравнения (Часть 1)

Формула (27.18) определяет общее решение уравнения (27.15).

Среди всех этих решений найдем то, которое удовлетворяет условиям (27.16), Для функции (27.18) и ее частной производной по t

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

условия (27.16) принимают вид

Второе равенство проинтегрируем по отрезку [0, х]. Обозначив переменную интегрирования через z получим

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

где С = φ (0) + ψ (0)

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Это уравнение и первое из уравнений (27.19) позволяют определить функции φ (x) и ψ (x):

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Подставляя в эти формулы вместо х соответственно х – at и х + at, получаем

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

В соответствии сформулой (27.18) находим

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Решение задачи коши для уравнения колебаний струны методом характеристик формула даламбера

Формула (27.20) представляет решение Д’Аламбера рассматриваемой задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Читателю предлагается непосредственной проверкой убедиться в том, что функция (27.20) удовлетворяет уравнению (27.15) и условиям (27.16).

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2. Стр. 247-253.


источники:

🔍 Видео

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Неоднородное уравнение колебания струны

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод Фурье

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Уравнение струныСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Уравнение струны

4.1 Колебания полуограниченной струны с закрепленным и свободным концомСкачать

4.1 Колебания полуограниченной струны с закрепленным и свободным концом

Формула Даламбера. ПримерыСкачать

Формула Даламбера. Примеры

4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

4.3  Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямой

ММФ. Фролова Е.В. Лекция 10. §16 Колебания мембранны. §17 Формула Даламбера. Задача Коши.Скачать

ММФ. Фролова Е.В. Лекция 10. §16 Колебания мембранны. §17 Формула Даламбера. Задача Коши.

Формула ДаламбераСкачать

Формула Даламбера

4.1 Задача Коши для волнового уравнения IСкачать

4.1 Задача Коши для волнового уравнения I

решение задачи колебание струны конечной длиныСкачать

решение задачи колебание струны конечной длины

3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать

3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристик

Неоднородное уравнение колебаний струныСкачать

Неоднородное уравнение колебаний струны

Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 5Скачать

Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 5

Уравнения математической физики. Решение Даламбера одномерного волнового уравненияСкачать

Уравнения математической физики. Решение Даламбера одномерного волнового уравнения
Поделиться или сохранить к себе: