Решение задачи дирихле для уравнения лапласа в прямоугольнике методом фурье

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Задача ставится так: найти функцию tx(r,у?), удовлетворяющую внутри ируга Kr0 радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа непрерывную в замжутой области KtQ и принимающую задан ные значения награнице круга, Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье где f(tp) — достаточно гладкая функция, периодическая с периодом 2т.

В силу однозначности искомого решения оно должно быть периодическим по с периодом Из непрерывности решения в Кго следует его ограниченность в КГо. Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид (3) Будем искать частные решения уравнения (3) в виде . Подставляя «(г, (р) в форме (4) в уравнение (3),умноженное на г2, получим откуда Из условия получаем находим , так что В частности, = Ао = const. Полагая в уравнении (6) (уравнении Эйлера) Л(г) = г*, при А = п2 получаем Отсюда) и, следовательно.

При п = 0 из (6) находам Так как ооприг 0+0,тодля решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда (5) (6) где коэффициенты Ап, Вп определяются из граничного условия (2) При т — tq имеем Запишем разложение /(у) в ряд Фурье где Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье Сравнивая ряды (8) и (9), получаем (9) * г0 г0.

Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга предста-вимо в виде ряда оо где коэффициенты определяются по формулам (10).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Видео:OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать

При г го ряд (11) можно дифференцировать по г и любое число раз, и, значит, функция u(r, у) из (11) удовлетворяет уравнению Если предположить, что функция непрерывна и дифференцируема, то ряд (11) при г ^ г0 сходится равномерно, и, следовательно, функция и(г, непрерывна на границе круга и удовлетворяет всем условиям поставл енной задачи.

искать в виде ряда где коэффициенты Ап, В„ определяются из граничного условия Для кольцевой области образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 0 радиусов Г] и г2 (рис.8), решение задачи ищется в виде ряда коэффициенты которого Л0, определяются из граничных условий Пример.

Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса го с центром в начале координат и такую. что Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье -4 Задача сводится к решению внутренней задачи Дирихле для уравнения при граничном условии Будем искать решение задачи в вида ряда ПО Из граничного условия (15) имеем Отсюда в силу ортогональности системы функций Искомое решение

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Задача Дирихле в прямоугольнике

Видео:Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

В качестве третьего примера рассмотрим задачу Дирихле в прямоугольнике Qg_m <0 = 9Л (*?)»

Пусть для простоты в вершинах прямоугольника Q^_m функция и(х,у) обращается в нуль. Этого всегда можно добиться, вычитая из и(х,у) гармоническую функцию ш(х,у) = А + Вх + + Су + Dxy, где коэффициенты А, В, С, D подбираются так, чтобы значения ш(х,у) и и(х, у) в угловых точках совпадали.

Будем искать решение в виде суммы двух гармонических функций: и = 7/1 + U2, где

• (5.3)
• 7/2|.г=0 = Т/Ц(7/),
• 7/2 |у=О =

Для отыскания щ(х, т/) применим метод Фурье. Пусть и(х, у) = Х(х) -Y(y). Подставляя щ(х, у) в (5.13), получим или

(5.4) (5.5) В п. 1° §4 для задачи (5.5) была построена ортогональная на [0,7] система собственных функций Х_к = sin-^-o?, отвечающих А: 2 7г 2

Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

х» + XX = О, Х(О) = Х(?) = О.

собственным значениям Х_к = к Е N. Соответствующие этим собственным значениям решения уравнения (5.4) будут иметь вид _ _

Используя гиперболические функции, получим kix ктт

где а_к и Ь_к — произвольные постоянные. Решение (5.1)-(5.3) будем искать в виде

Подставляя в (5.7) у = 0, а затем у = т, из условий (5.3) получим

см. (3.2), с начальным условием вида (3.4), т. е.

Видео:Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать

и краевыми условиями

Физически эти краевые условия соответствуют диффузии в тонкой трубке, если стенка х = 0 непроницаема для вещества, а на стенке х = ? поддерживается концентрация, равная нулю.

Разделяя переменные в (6.1), приходим к уравнениям (3.7). Как и в §3 п. 2° для определения функции Х <х)получим уравнение (3.9). Его общее решение дается формулами (3.13)—(3.15), но краевые условия, как следует из (6.3), будут иные, а именно:

Как и ранее, нетривиальные решения, удовлетворяющие нужным краевым условиям, возможны лишь при Л > 0. Это — решения вида (3.15). Выпишем эти решения и их производные:

X(х) = ci cos /А х + со sin /А х, , /- г- (6 — 5)

X (ж) = —С] v A sin v А х + С2 V A cos v А х.

Видео:Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать

Подставляя в выражение для Х'(х) значение х = 0, из (6.5) и первого условия (6.4) получим С2 = 0, из второго — с cos /А? = = 0, т.е. а/А? = |-(2А: + 1), А: = 0,1. Таким образом, собственными функциями задачи (3.9), (6.4) являются функции Х_к(х) = cos ^^2^» х ‘ интервале (0, ?) эта система ортогональна:

Из формулы (3.7) следует, что T_k(t) = a_ke

Xkart . Решение задачи (6.1)—(6.3) будем искать в виде ряда

+°° +°° a 2 7T 2 (2fc+l) 2 7г(2А’ + 1)

u <t,ж) = х ^ т к = 22 аке cos —от—» х — 6 — 6 )

Для определения а_к положим t = 0 и воспользуемся начальным условием (6.2):

Видео:Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

А тг(2/г 4-1) Ф) = ак cos —2?— Х ’

Из последнего равенства, являющегося рядом Фурье функции по ортогональной системе Х_к, следует, что

Как и в §3, п.3° заметим, что при достаточно гладкой функции формально построенный ряд (6.6) с коэффициентами (6.7) является искомым решением.

🔍 Видео

OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕСкачать

УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать

Радкевич Е.В. - Уравнения математической физики - 6.Задача Неймана для уравнения ЛапласаСкачать

Задача Дирихле для шараСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

Методы математической физики. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. 19.05.21 Фролова Е.В.Скачать

6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

9. Уравнение ПуассонаСкачать

Радкевич Е.В. - Уравнения математической физики - 7. Примеры метода ФурьеСкачать

6.1 Смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типов. Метод Фурье.Скачать

Задача Дирихле и НейманаСкачать

Решение уравнения Лапласа в шареСкачать