Про уравнения - легко » Статьи

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Обновлено
Решение задач с помощью уравнений на производительность

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за x часов, а второй за y часов. За один час первый оператор выполняет Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть всей работы, а второй Решение задач с помощью уравнений на производительность. Составим систему уравнений:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Предположим, что ученик делает x деталей в час, Решение задач с помощью уравнений на производительность. Тогда мастер делает Решение задач с помощью уравнений на производительностьдетали в час.

Составим таблицу по данным задачи:

Производительность
(дет/ч)		Время (ч)Объём работ (дет)
УченикxРешение задач с помощью уравнений на производительность231
МастерРешение задач с помощью уравнений на производительностьРешение задач с помощью уравнений на производительность462

Так как ученик потратил на работу на 11 часов больше, можно составить уравнение:

Решение задач с помощью уравнений на производительность.

Решим уравнение, предварительно разделив обе части на 11:

Решение задач с помощью уравнений на производительность.

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.

Содержание
  1. Производительность
  2. Что такое сила?
  3. Что такое работа?
  4. Производительность
  5. Задачи на совместную работу
  6. Задачи для самостоятельного решения
  7. 16 thoughts on “Производительность”
  8. Задачи на работу в ЕГЭ 2019. Примеры с решением
  9. Формула, которую обязан знать каждый
  10. Как решать задачи на работу: основные правила
  11. Решение задачи на работу: 3 простых шага
  12. Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
  13. Задача 1
  14. Задача 2
  15. Задача 3
  16. Примеры решения задачи на совместную работу
  17. Задача 4
  18. 📹 Видео

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Алгебра, 7 классСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра, 7 класс

Производительность

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел , вызывать их движение , менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

  • ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;
  • на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;
  • далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 класс

Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской буквой A.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Решение задач с помощью уравнений.

Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.

Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из общего количества страниц ( 100 ) количество прочитанных страниц ( 48 )

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность».

Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.

Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.

Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.

Задача 6. Принтер работает с производительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал Решение задач с помощью уравнений на производительность. То есть работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

Либо с помощью формулы нахождения времени:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.

Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Дробь Решение задач с помощью уравнений на производительностьвыражает часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Выражать выполненную работу через единицу часто приходится при решении задач на совместную работу.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть сложим их производительности:

32 дет./час + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Производительность первого мастера будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность. То есть за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

А производительность второго мастера будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность. То есть за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительностьэто дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть за одну минуту мастера вместе покрасят Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.

Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

Тогда первый рабочий за один час может выполнить Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы, а второй рабочий часть работы. А вместе за один час они могут выполнить Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Остальную часть работы, а именно Решение задач с помощью уравнений на производительностьработы заканчивал один второй рабочий:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Второй рабочий за один час мог выполнить часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна Решение задач с помощью уравнений на производительность, переменная v —

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.

Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

Тогда первая труба за один час выполнит часть работы, а вторая труба — Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы. Работая вместе за один час они выполнят Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.

Видео:Математика | ЗАДАЧА 22 из ОГЭ. Задачи на работуСкачать

Математика | ЗАДАЧА 22 из ОГЭ. Задачи на работу

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Обозначим работу через единицу:

Тогда первая бригада за один час выполнит Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы, а вторая за один час Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть работы. Их общая производительность равна сумме дробей Решение задач с помощью уравнений на производительностьи Решение задач с помощью уравнений на производительность:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

Тогда производительность лошади будет выражáться единицей, производительность коровы — дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность, производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасти сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

Решение задач с помощью уравнений на производительность

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь Решение задач с помощью уравнений на производительностьбольше, чем Решение задач с помощью уравнений на производительность.

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасти вычтем ту часть, которая вытекает:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Каждую минуту сосуд будет наполняться на Решение задач с помощью уравнений на производительность.

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность, через вторую трубу — дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность. Совместная производительность будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь Решение задач с помощью уравнений на производительностьявляется ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение Решение задач с помощью уравнений на производительность, а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ответ: за один час заполнится Решение задач с помощью уравнений на производительностьчасть бассейна.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

Производительность первого крана будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность, производительность второго крана — дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность. Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей Решение задач с помощью уравнений на производительностьи Решение задач с помощью уравнений на производительность

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражáться дробью Решение задач с помощью уравнений на производительность.

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Ванна наполнится за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

Ответ: ванна заполнится за 5 мин.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 классСкачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 класс

16 thoughts on “Производительность”

Спасибо за прекрасные уроки. Жду с нетерпением уроки на уравнениe. Знаю,знаю у вас пока времени нет =)

Одно замечание- некоторые действительно сложные примеры Вы недостаточно разъясняете…простое разжёвываете слишком, а сложное недостаточно…
А в целом большое спасибо.

Спасибо за урок!
Производительность и задачи на движение очень схожи между собой.

я, в общем-то, всё! остался урок по элементам статистики и перехожу на алгебру =) жаль здесь её нет(

Согласен. В будущем хотелось бы увидеть разделы по алгебре и геометрии

здраствуйте ! спасибо вам ! продолжение будет

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Задачи на работу в ЕГЭ 2019. Примеры с решением

Решение задач с помощью уравнений на производительность

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа и следовать трем простым шагам.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 классСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 класс

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Решение задач с помощью уравнений на производительностьРабота – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:Решение задач с помощью уравнений на производительность

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

  1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
  2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
  3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Видео:Решение задач с помощью уравненийСкачать

Решение задач с помощью уравнений

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

  1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
  2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
  3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | Видеоурок

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.Решение задач с помощью уравнений на производительность2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство:Решение задач с помощью уравнений на производительностьРешаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х 2 – 6х – 120х =0

2х 2 – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х 2 – 3х – 180 = 0

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

Задача 2

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

Решение задач с помощью уравнений на производительность2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Решение задач с помощью уравнений на производительностьТеперь решаем два уравнения:Решение задач с помощью уравнений на производительностьРешаем первое уравнение:

180х – 120х = 180

Решаем второе уравнение:

180х – 120х = -180

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

Решение задач с помощью уравнений на производительность2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:Решение задач с помощью уравнений на производительностьРешаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х 2 + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х 2 + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х 2 — 5х — 500 = 0

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х1: 25 – 5 = 20

Подставляем х2: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

Решение задач с помощью уравнений на производительность2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:Решение задач с помощью уравнений на производительностьРешаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х1, а производительность второго рабочего – за х2. Следовательно, их общая производительность равна х1 + х2. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х1 + х2) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х1), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х2). Таким образом:

4х1 = 5х2Решение задач с помощью уравнений на производительность

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:Решение задач с помощью уравнений на производительностьИз второго уравнения выразим х1 = 5х2 / 4 и подставим в первое уравнение:

Умножаем обе части уравнения на 4:

Решение задач с помощью уравнений на производительность3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х1. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х1. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Решение задач с помощью уравнений на производительностьОтвет: 27 часов.

Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь.

📹 Видео

Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСС

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Задачи на движение из второй части. Задание 21 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Задачи на движение из второй части. Задание 21 | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Алгебра 7 класс (Урок№44 - Решение задач с помощью линейных уравнений.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№44 - Решение задач с помощью линейных уравнений.)

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: