Решение задач при помощью систем уравнений первой и второй степени

Конспект урока

Решение задач при помощи систем уравнений первой степени

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение системы уравнений.

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Решить систему – это значит найти все её решения.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения или системы уравнений и последующего решения уравнения или системы.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу. Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Мы не знаем, сколько овец у Ивана, и сколько у Петра.

Обозначим за х число овец у Ивана, а за у – число овец у Петра.

Мысленно разделим условие задачи на две независимые части:

1. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!»

2. А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Для каждой из частей составим уравнение с двумя неизвестными.

Начнем с первой части.

Если бы Пётр отдал Ивану одну овцу, то у Петра осталось бы (у – 1) овец.

А у Ивана стало бы (х + 1) овец.

Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра.

Можем составить уравнение x + 1 = 2(y – 1).

Составим уравнение с двумя неизвестными для второй части. Если бы Иван отдал Петру 1 овцу, то у Ивана осталось бы (x – 1) овец. А у Петра стало бы (y + 1) овец, и тогда они имели бы овец поровну. Можем составить уравнение: x – 1 = y + 1

Мы составили два уравнения.

И в первом и во втором уравнении х обозначает число овец у Ивана, а у – число овец у Петра. Другими словами, каждое неизвестное число обозначает одно и то же в обоих уравнениях. Значит, эти уравнения можно рассматривать совместно, то есть объединить их в систему уравнений:

Решим эту систему способом подстановки.

Раскроем скобки в правой части первого уравнения.

Выразим х через у.

Подставим (2у – 3) вместо х во второе уравнение системы. Получим уравнение с одним неизвестным у.

Решим его. Упростим левую часть уравнения.

Перенесем неизвестные в левую часть. уравнения, а числа – в правую.

Подставим у = 5 в первое уравнение.

Система имеет единственное решение: х = 7, у = 5.

Вернемся к исходным обозначениям.

Получаем, что у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.

Таким образом, мы решили задачу при помощи системы уравнений первой степени.

Задачи с помощью системы уравнений можно решать по следующей схеме.

Сначала вводим обозначения неизвестных.

Мысленно разделив условие задачи на две части, составляем 2 уравнения и объединяем их в систему.

Решаем полученную систему уравнений.

Возвращаемся к условию задачи и использованным обозначениям.

Отбираем решения и записываем ответ.

Разбор заданий из тренировочного модуля.

1. Решим задачу алгебраическим способом.

Даны 3 числа, сумма которых равна 23. Если к удвоенному первому числу прибавить второе число и вычесть третье, то получится 32. А если из первого числа вычесть удвоенное второе и прибавить третье, то получится 8.

В задаче 3 неизвестные, поэтому введем следующие обозначения:

Пусть х – первое число, у – второе число, z – третье число.

Мысленно разделим условие задачи на 3 части, по каждой из которых составим уравнение с тремя неизвестными:

Вернёмся к условию задачи: первое число 15, второе число 5, третье число 3.

Составим систему уравнений по условию задачи.

В трех сосудах 54л воды. Если из первого перелить во второй сосуд 4л, то в обоих сосудах будет воды поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 17л, то во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Сколько воды в каждом сосуде?

Пусть x л воды было в первом сосуде, y л воды – во втором, z воды – в третьем. Значит, всего в трёх сосудах было x + y + z л воды, что равно 54 л. Составим уравнение: x + y + z = 54.

Когда из первого сосуда перелили 4 л воды во второй сосуд, то во втором сосуде стало y + 4 л воды, а в первом сосуде x – 4 л воды. По условию задачи воды стало в сосудах поровну. Составляем уравнение:

Если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то в третьем останется z – 17 л, а во втором станет y + 17 л. По условию задачи во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Можем составить уравнение: y + 17 = 4(z – 17).

Записываем систему уравнений:

2. Система уравнений по условию задачи.

Составим систему уравнений по условию задачи: 5% одного числа и 4% другого вместе составляют 46, а 4% первого числа и 5% второго вместе составляют 44. Найдите эти числа.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Презентация:»Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степени.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степени.

Умение находить решения системы уравнений дает нам в руки мощный инструмент для решения конкретных задач. Таким образом, решение задачи сводится к составлению системы уравнения.

Задача 1
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение
Пусть x см – длина, y см – ширина прямоугольника.
Ответ: 5 см; 12 см.

Задача 2
Периметр прямоугольника равен 80 см. Если основание прямоугольника увеличить на 8 см, а высоту — на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза. Каковы стороны прямоугольника?
Пусть: х см — основание прямоугольника,
у см — высота. Имеем 2х+2у=80.
Площадь прямоугольника ху . После увеличения сторон прямоугольника площадь будет равна (х+8)(у+2) .
По условию задачи площадь прямоугольника увеличится в полтора раза, т. е. (х+8)(у+2)=1,5xy.

Итак, имеем систему уравнений
Задача имеет два решения.
Стороны прямоугольника равны 28 см и 12 см или
они равны 24 см и 16 см.

Ответ:28см и 12см или 24см и 16см.

Самостоятельно:
Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Решит самостоятельно:
1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
2. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
4. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2 , а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

5. Произведение двух чисел на 29 больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 19. Найдите эти числа.
6. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его гипотенуза равна 20 см. Найдите катеты этого треугольника.
7. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равным 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?
8. Периметр прямоугольника равен 20 см, а сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, равна 104 см2. Найдите стороны прямоугольника.

Видео:Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

💡 Видео

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени | Алгебра 9 класс #20 | ИнфоурокСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Алгебра 9 класс (Урок№26 - Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.)Скачать

Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Алгебра 7 класс (Урок№49 - Решение задач при помощи систем уравнений первой степени.)Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Урок 17. Алгебра 9 классСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений второй степениСкачать

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№25 - Решение систем уравнений второй степени.)Скачать

Решение задач при помощи систем уравнений первой степениСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

П.20 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - Алгебра 9 класс МакарычевСкачать