Решение задач при помощи уравнений сводящимся к квадратным

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Конспект урока по теме «Уравнения, сводящиеся к квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Свободненская средняя общеобразовательная школа»

« Уравнения, сводящиеся к квадратным »

(Алгебра 8 класс)

Алеевская Татьяна Петровна

Тема урока: « Уравнения, сводящиеся к квадратным »

Класс: 8 класс, учебник «Алгебра – 8» Ш.А. Алимов и др. Форма проведения: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Систематизация знаний, учащихся по теме «Квадратные уравнения» и «Уравнения, сводящиеся к квадратным». Изучение алгоритма решения уравнений, сводящимся к квадратным методом замены переменных, решение уравнений из второй части ОГЭ.

Воспитание дисциплинированности, самостоятельности, упорства в достижении поставленной цели, формирование интеллектуальные умений.

Развитие навыков памяти, самоконтроля, наблюдательности, умения правильно обобщать и делать вывод. культуру устной и письменной речи.

Тип урока : урок изучения новой темы.

Место проведения : учебный кабинет

Оборудование : Учебник: Алгебра, 8 класс. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин, Издательство «Просвещение», 2019 г. Карточки, школьная доска-компьютер, доска для маркера.

Формирование навыков решения уравнений, сводящихся к квадратным, навыков исследовательской работы, работы в парах и индивидуально, привитие интереса к предмету, навыков самооценки.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний и умений.

1. Первичное усвоения новых знаний.
2. Работа в парах, направленная на первичное закрепление новых знаний.
3. Физкультминутка.
4. Решение более сложных заданий.
5. Задание на дом.
6. Итог урока. Выставление оценок учащимся.

1. Организационный момент:

Организация начала занятия, приветствие, проверка готовности класса к уроку.

2. Проверка домашнего задания

3 ученика вызываются к доске с заданиями: разложить квадратный трёхчлен на множители. Задания аналогичные домашней работе. Один ученик находит корни квадратного трёхчлена по приведенному уравнению, другой – по полному, третий решает, как удобнее.

Разложите на множители:

Разложите на множители:

Разложите на множители:1) x 2 -8 x — 9

3. Актуализация знаний и умений .

Работа по закреплению знаний, полученных на прошлом уроке.

Фронтальная работа с классом . Повторение теоретического материала по изученной теме «Квадратные уравнения».

Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?

Какие уравнения мы называем линейными? Какие уравнения мы называем квадратными? Приведите примеры.

Сколько корней может иметь линейное уравнение (квадратное) уравнение?

Какие виды неполных квадратных уравнений вам известны? Приведите примеры.

Какой общий вид имеет полное квадратное уравнение? Приведите пример.

Какие квадратные уравнения мы умеем решать? Приведите примеры.

Назовите корни следующих квадратных уравнений. Как называется этот вид уравнений?

Почему последнее уравнение не имеет корней?

1. Первичное усвоения новых знаний

Мы научились решать квадратные уравнения по формулам. Как полного квадратного уравнения, так и приведенного. Мы умеем решать такие уравнения и по теореме, обратной теореме Виета.

Ученик у доски. Решает квадратное уравнение:

1) x 2 -10x + 9 = 0

x ₁ x ₂ = 9

Теперь подумаем, как решить вот такое уравнение:

2) x 4 -10 x 2 + 9 = 0,

Какая степень уравнения? Как можно понизить степень данного уравнения? Вводим замену переменной: x 2 = t . Получим уравнение: t 2 -10 t + 9 = 0. Чем оно отличается от первого уравнения? Мы уже вычислили корни данного уравнения. Теперь вернёмся к нашей замене переменной и решим получившиеся неполные квадратные уравнения:

Сколько корней получили в ответе?

3) Решим следующее уравнение. Второй ученик у доски.

x 4 -3 x 2 — 4 = 0. Введите замену переменной x 2 = t .

t₁ t₂ = -4

Вернёмся к замене переменной.

Имеет ли корни уравнение x 2 = -1? Сколько действительных корней будет иметь данное уравнение?

Класс решает уравнения по учебнику № 468(2), №469(2) . Одновременно два ученика на доске решают следующие уравнения.

Уравнения учеников: x 4 -6 x 2 — 5 = 0; x 4 — 2 x 2 — 3 = 0.

Затем проверяются уравнения, решенные учениками на доске, и идет переход на другую страницу доски-компьютера, на которой решение уже написано.

1) Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-5. Повторить 4-5 раз.

2) Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-5. Повторить 4-5 раз.

3) Нарисовать глазами восьмёрку.

4) Потереть руками пальцы, похлопать в ладоши. (Устают не только глаза, но и пальцы, держащие ручку).

7. Решение более сложных заданий.

(Задания №19 второй части ОГЭ)

Продолжаем освоение нового метода решения уравнений. Предлагаю решить следующие уравнения:

Как можно освободиться от дроби? Какая замена переменной нас устроит?

t₁ t₂ = -4 ,

Вернёмся к замене переменной.

Каждое из получившихся приведённых уравнений имеет корни? Почему первое уравнение не имеет решения?

Ответ: — .

= -1,

=4

x 2 =

Найдем корни следующего уравнения:

перепишем уравнение в удобной для нас форме.

Замена: = t

=-1 = 4

1= — x +3 4( x — 3) = 1

x = 2 x -3 =

x = 3 Ответ: 2; 3 .

Ребята, вы поняли метод решения данного типа уравнений? Уравнения для закрепления темы решаем в парах с последующей проверкой на доске.

1) ( x — 3) 4 – 5( x — 3) 2 – 14 = 0

Одновременно два ученика решают у доски похожие уравнения:

№1. ( x + 2) 4 – 3( x + 2) 2 – 18 = 0

№2.

8. Домашнее задание: № 468(3), №469(3) , 472.

9. Итог урока. Выставление оценок учащимся.

Какой тип уравнений мы научились решать? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Сколько корней может иметь уравнение четвертой степени? От чего это зависит? С какой целью мы вводили замену переменных? (В первом случае понизили степень уравнения, во втором случае не стали приводить к общему знаменателю алгебраические дроби, чем и упростили решениеуравнений).

На уроке я разобрался в теме и успел сделать…

В результате научился…

Я не понял, у меня не получилось…

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у крого остались вопросы и не все получалось поднимите руки.

Краткое описание документа:

Сначала решается приведенное квадратное уравнение. Затем предлагается решить уравнение четвертой степени, причем, после замены переменной мы приходим к предыдущему уравнению, еще и еще раз предлагается решить более сложные уравнения. В результате приходим к предыдущему уравнению. После этого обсуждаем принцип решения подобных уранений и закрепляем полученные знания самостоятельной работой. Такой подход экономит время на уроке и позволяет больше решить приведенных уравнений.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 694 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 867 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 52 человека из 24 регионов

«Профессиональный имидж педагога: стереотипы и методы их преодоления»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 840 019 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А. и др.

§ 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 10.02.2022
• 297
• 21

• 10.02.2022
• 92
• 1

• 10.02.2022
• 62
• 0

• 10.02.2022
• 65
• 0

• 10.02.2022
• 40
• 0

• 10.02.2022
• 76
• 3

• 10.02.2022
• 37
• 1

• 10.02.2022
• 99
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.02.2022 502
• DOCX 107 кбайт
• 15 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Алеевская Татьяна Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 22965
• Всего материалов: 32

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения проведет Всероссийский конкурс для органов опеки и попечительства

Время чтения: 1 минута

Опубликовано расписание ОГЭ 2022

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Госдума рассматривает проект о регулировании «продленок» в школах

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№32 - Решение задач с помощью рациональных уравнений.)Скачать

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Общая теория решения задач при помощи уравнений

Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:

• Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
• Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
• Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
• Получаем окончательный ответ.

Далее будем рассматривать конкретные задачи, уравнения для которых получаются квадратными.

Видео:Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

Пример задачи в алгебре

Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.

Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.

Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.

Готовые работы на аналогичную тему

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Пример задачи в физике

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.

Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.

Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.

Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь

Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:

Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.

Будем решать его с помощью дискриминанта:

Уравнение имеет два корня:

Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Пример задачи в геометрии

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.

Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:

(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)

Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь

$S=fraccdot 20cdot 15=150$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24.06.2021

🔍 Видео

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

П. 23 Решение задач с помощью квадратных уравнений - Алгебра 8 МакарычевСкачать

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратное уравнениеСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра, 7 классСкачать

Решение уравнений, сводящихся к квадратным. §23 алгебра 8 классСкачать

Уравнения, сводящиеся к квадратным | Квадратный трёхчлен #4 | Ботай со мной #023 | Борис ТрушинСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Алгебра 8. Решение уравнений, сводящихся к квадратнымСкачать

Урок 99 Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (8 урок)Скачать