Содержание

Теоретическая механика: Решебник Яблонского: Кинематика точки (К1)
Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Решение задач по кинематике
Координатный способ задания движения точки
Введение
Определение кинематических величин
Пример решения задачи
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Решение
Определение вида траектории
Определение скорости точки
Определение ускорения точки
Определение остальных величин
📸 Видео

Теоретическая механика: Решебник Яблонского:
Кинематика точки (К1)

Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач по теме кинематика точки.

Видео:кинематика точкиСкачать

Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁ (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 20.

Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 20) добавляется третье уравнение (табл. 22).

Видео:Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Решение задач по кинематике

Решение задач по кинематике равнопеременного движения традиционно вызывает у учащихся затруднения, что связано в основном с тем, что здесь впервые встает проблема формализации физической задачи, т.е. перевода ее с языка “текстовой задачи” по физике на язык математики. До этого учащимся приходилось в основном решать задачи, если можно так выразиться, “по формулам”, а теперь необходимо осмыслить задачу не только с точки зрения физики, но и суметь записать ее в терминах уравнений кинематики и затем из этих уравнений, опираясь на условие задачи, получить нужные “формулы”. В настоящей работе представлен ход обзорного урока по этой теме.

Чтобы научиться решать задачи по кинематике нужно прежде всего уметь правильно выбрать систему отсчета (СО), которая включает в себя:

Точку отсчета (выбираем произвольно из соображений удобства)
Систему координат, связанную с точкой отсчета
Начало отсчета времени (счетчик времени, выбираем из соображений удобства).

Вообще важно, чтобы учащиеся отдавали себе отчет, что для решения задач по кинематике необходимо:

Выбрать СО подходящим образом, чтобы в этой СО уравнения кинематики принимали наиболее простой вид. Обязательно обратить внимание на выбор начала отсчета времени.

Сделать чертеж, иллюстрирующий описанное в условии задачи явление: начертить систему координат, траекторию движения, вектора скоростей и ускорений.

Записать основные уравнения кинематики равнопеременного движения в выбранной СО для произвольного момента времени:

где x_0,y₀ – начальное положение тела, v_0x, v_0y – проекции начальной скорости тела, a_x, a_y – проекции ускорений.

4. Записать уравнения (1)-(4) для характерных моментов времени, из которых находить требуемые в условии задачи величины, т.е. получить рабочие формулы.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что можно получить решение любой задачи кинематики равнопеременного движения, если записаны основные уравнения (1)-(4). Важно также, чтобы они осознавали, что вид этих уравнений меняется в зависимости от выбора СО. В связи с этим, решим несколько задач, иллюстрирующих сказанное.

Задача 1. Теннисист при подаче запускает мяч с высоты h над землей. На каком расстоянии от подающего мяч ударится о землю, если начальная скорость равна v₀ и направлена вверх под углом к горизонту?

Решение: а). Точку отсчета (начало координат) поместим в точку на поверхности земли, где стоял теннисист в момент удара. Время начнем отсчитывать от момента удара по мячу. На рис.1 изображена система координат XOY, траектория движения мяча, вектора скорости и ускорения.

В выбранной СО начальные условия имеют вид: x₀ = 0, y₀ = h, a_x = 0, a_x = — g,

и кинематические уравнения (1)-(4) запишутся в виде:

Требуемое в условии задачи расстояние D (дальность полета) найдем из условия: D = x(t_n), где время полета t_n определяется из соотношения y(t_n) = 0, т.е.можем записать уравнение:

При решении этого квадратного уравнения удобнее записывать его в приведенном виде x 2 + 2qx + + q = 0 и находить корни по формуле

Опыт показывает, что учащиеся зачастую не знают этого и находят корни такого уравнения по общей формуле, что осложняет выкладки. Перепишем уравнение в виде

тогда его решение

Т.к. t >= 0, то физический смысл имеет корень

Теперь из условия D =x(t_n) получим рабочую формулу

б). Решим эту задачу, выбрав за точку отсчета (начало координат) точку, где находился мяч в момент удара. Время по-прежнему отсчитываем от момента удара по мячу. На рис.2 изображена система координат XOY, траектория движения мяча, вектора скорости и ускорения.

В выбранной СО начальные условия имеют вид: x₀ = 0, y₀ = 0, a_x = 0, a_x = — g,

Кинематические уравнения (1)-(4) теперь запишутся так

и время полета t_n мяча до земли найдется из условия: y(t_n) = — h. Дальше решение задачи повторяет способ а).

В рассмотренной задаче было безразлично, где поместить начало координат, однако в задачах, где высота, на которой происходит событие, не задана, начало координат лучше всего помещать именно в эту точку на неизвестной высоте. Направление осей выбирается из соображений удобства.

Задача 2. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, последние h м пути прошло за время с. Какое время и с какой высоты падало тело?

Решение: Начало координат поместим в точку на неизвестной высоте H, ось Y направим вертикально вниз. Время начнем отсчитывать с момента начала падения тела. На рис.3 изображена система координат и ускорение свободного падения тела.

В выбранной СО v_0y = 0, y₀ = 0, a_y = g и уравнения кинематики (1)-(4) сведутся к двум

Т.к. в условии задачи речь идет о свободном падении тела, то в любой момент времени его координата будет равна пройденному пути. Выразим из уравнения для координаты отрезки пути H и h. Из рис.3 очевидно, что

где t_n – время падения тела на землю. Получили два уравнения с двумя неизвестными H и t_n. Уравнение (6) после преобразований принимает вид

Подставляя найденное t_n в (5), получим искомое выражение для высоты

Таким образом, требуемые в задаче величины определены.

Следует отметить, что если на размещение начала отсчета и направление осей системы координат учащиеся еще обращают внимание, то выбор начала отсчета времени обычно ускользает из их поля зрения. Это особенно заметно при решении задач, где в движении участвует несколько тел.

Если тела начинают свое движение одновременно, то отсчет времени начинается с момента начала движения тел, а кинематические уравнения пишутся для каждого из тел.

Задача 3. Два тела, расстояние между которыми l, начинают одновременно двигаться навстречу друг другу: первое — равномерно со скоростью v, а второе – из состояния покоя равноускоренно с ускорением a. Через какое время тела встретятся?

Решение: Поместим начало координат в точку, где находилось первое тело в начальный момент, ось OX направим по движению первого тела. Отсчет времени начнем с момента начала движения тел. На рис.4 изображена ось ОХ, вектора скоростей и ускорений обоих тел.

В этой СО x₁₀ = 0, x₂₀ = l. Уравнение движения для первого тела

Уравнение движения для второго тела

В момент встречи x₁(t) = x₂(t), t – время в пути до встречи, т.е.

Задача 4. Лифт поднимается с ускорением a. В тот момент, когда его скорость стала равна v, с потолка кабины лифта начал падать болт. Высота кабины лифта h. Вычислить время падения болта.

Решение: Свяжем начало неподвижной системы координат с точкой, в которой находится пол лифта в момент, когда болт начинает падать. Время начнем отсчитывать от момента начала падения болта. На рис.5 изображена система координат (ось ОY), вектора скоростей и ускорений.

Пусть y_k v_k — координата и проекция скорости кабины лифта, y_б v_б — координата и проекция скорости болта. Для кабины лифта основные уравнения (1) — (4) запишутся в виде

а для болта примут вид

Когда болт упадет на пол, будет выполняться: y_k (t) = y_б (t), где t – время падения болта:

Наибольшие затруднения вызывает у учащихся выбор начала отсчета времени, и особенно запись уравнений кинематики в случае, когда тела, участвующие в движении, начинают двигаться неодновременно.

Задача 5. Тело с начальной скоростью v₀ и ускорением a₁ начинает двигаться из некоторой точки по прямолинейной траектории. Через время из той же точки вслед за первым телом начинает двигаться другое тело без начальной скорости с ускорением a₂. Через какое время после выхода первого тела второе тело его догонит?

Решение: Начало координат свяжем с точкой, из которой начинают двигаться тела. Ось ОХ направим по движению тел. Время начнем отсчитывать от начала движения первого тела. На рис.6 изображена система координат, вектора скоростей и ускорение.

В этой СО уравнения кинематики для первого тела имеют вид

а для второго тела, с учетом того, что оно начало свое движение на секунд позже первого, запишутся в виде

На запись этих уравнений нужно особенно обратить внимание учащихся. В момент, когда второе тело догонит первое, будет выполняться x₁(t) = x₂(t), т.е.

Получаем квадратное уравнение для определения времени t

С учетом того, что t >= 0 находим

Задача 6. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности Земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени , с одинаковыми начальными скоростями v₀. Определить, через какое время тела встретятся.

Решение: Начало отсчета поместим в точку бросания. Ось OY направим вертикально вверх. Отсчет времени начнем с момента бросания первого тела. На рис.7 изображена ось OY и вектора начальной скорости и ускорения свободного падения.

В выбранной СО y₁₀ = y₂₀ = 0, v_01y = v_02y = v₀, a_1y = a_2y = -g. Уравнения кинематики для первого тела имеют вид

Основные уравнения кинематики для второго тела с учетом того, что оно начала свое движение на секунд позже первого, запишутся в виде

Тела “встретятся”, когда y₁ (t) = y₂ (t), т.е. получаем уравнение для нахождения искомого времени “встречи”

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Координатный способ задания движения точки

Видео:Урок 312. Задачи по кинематике-1Скачать

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Видео:Задача 1.1. КИНЕМАТИКА | Учимся решать задачи по физике с нуляСкачать

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Видео:Теоретическая механика 2020 - Практика 1. Кинематика точки.Скачать

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0	6
&pm; 3	5,625
&pm; 6	4,5
&pm; 9	2,625
&pm; 12	0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020