Решение задач на составление квадратных уравнений 8 класс

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

• Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
• Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
• Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

• Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
• Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
• Актуализация изученного материала:
  • Вопросы:
  • • Какое уравнение называется квадратным?
    • Что показывает дискриминант?
    • Формулы корней квадратного уравнения?
  • Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
  • • Решить уравнения;
    • Найти натуральный корень уравнения.
• Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)

• Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
• Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х₁ = 12,
х₂ = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х₁ = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.

P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b₁ = 9
b₂ = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Задачи на составление квадратных уравнений 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Задачи на составление квадратных уравнений (8 класс)

Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200м ² . ( Отв.140 м)

Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная, что площадь прямоугольника равна 48м ² . ( Отв.28 м)

От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной в 3 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равна 10 см ² . Определить первоначальные размеры листа жести. ( Отв. 5 см × 5 см)

Колхоз должен был засеять 200 га к определенному сроку, но он засевал ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончил сев на 2 дня раньше срока. Во сколько дней был закончен сев? ( Отв. 8 дней)

В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба? ( Отв.21 ряд )

Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км. ( Отв.80 км/ч и 70 км/ч )

С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найти скорость каждого самолета. ( Отв.400 км/ч и 320 км/ч )

Пароход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и затратил на весь путь 5 ч. Определить скорость парохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км/ч. ( Отв.20 км/ч )

Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Пароход проходит этот путь туда и обратно за 8 ч 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки 4 км/ч. ( Отв.20 км/ч )

Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20 мин. Вслед за плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

Расстояние по реке от одной пристани до другой, равное 30 км, моторная лодка проходит туда и обратно за 6 ч, затрачивая из этого времени 40 мин. на остановки в пути. Найти собственную скорость моторной лодки ( то есть скорость ее в стоячей воде), если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Две молотилки обмолачивают собранную пшеницу за 4 дня. Если бы одна из них обмолотила половину всей пшеницы, а затем вторая остальную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней каждая молотилка в отдельности могла бы обмолотить всю пшеницу? ( Отв.12 дней и 6 дней)

Двое рабочих, выполняя определенное задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание? ( Отв.30 дней и 20 дней)

С аэродрома одновременно вылетают два самолета: один по направлению на юг со скоростью 192 км/, а другой по направлению на восток со скоростью 256 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут находиться самолеты через 3 ч? ( Отв.960 км)

Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определить скорость каждого поезда , если первый вышел на 1 ч позднее второго и со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда. ( Отв.50 км/ч и 45 км/ч)

Два автомобиля вышли одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Через час автомобили встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той же скоростью. Первый прибыл в город В на 27 мин. позже, чем второй прибыл в город А. Определить скорость каждого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 90 км. ( Отв.40 км/ч и 50 км/ч)

Два поезда выходят из двух городов, расстояние между которыми равно 360 км, и идут навстречу друг другу. Они могут встретиться на середине пути, если второй поезд выйдет со станции на 1,5 ч раньше первого. Если же они выйдут со станции одновременно, то через 5 ч расстояние между ними будет равно 90 км. Найти скорость каждого поезда. Отв.30 км/ч и 24 км/ч)

Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый пребывает в пункт В на 35 мин. скорее, чем второй в пункт А. Определить скорость каждого велосипедиста. ( Отв.16 км/ч и 12 км/ч)

Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 24 км, отправлены в одно и то же время два автомобиля навстречу друг другу. После и встречи автомобиль , вышедший из А, приходит в В через 16 мин., а другой автомобиль приходит в А через 4 мин. определить скорость каждого автомобиля. ( Отв.60 км/ч и 120 км/ч)

Поезд был задержан в пути на 6 мин., и ликвидировал опоздание на перегоне в 20 км, пройдя его со скоростью, на 10 км/ч больше той, которая полагалась по расписанию. Определить скорость поезда на этом перегоне по расписанию. ( Отв.40 км/ч)

На середине пути между станциями А и В поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прийти в В по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 60 км. ( Отв.30 км/ч )

Поезд должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 30 мин., и поэтому, чтобы прибыть вовремя, он должен был увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд затратил на весь путь? ( Отв.21 ч )

По плану тракторист должен в течение двух дней вспахать прямоугольный участок земли, длина которого 400м, а ширина 300м. Тракторист начал пахоту с краев участка, постепенно приближаясь к середине. На каком расстоянии от края участка должен остановиться тракторист, вспахав половину участка? ( Отв.50 м)

Клумба, имеющая форму прямоугольника со сторонами 2 м и 4 м, окружена дорожкой, имеющей везде одинаковую ширину. Определить ширину этой дорожки, если ее площадь в 9 раз больше площади клумбы. ( Отв.3 м)

От нити, равной периметру некоторого квадрата, отрезано с одного конца 36 см. Укороченная таким образом нить представляет периметр другого квадрата, площадь которого в 2,25 раза меньше площади первого. Определить первоначальную длину нити. ( Отв.108 см)

📺 Видео

Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Видеоурок 20. Алгебра 8 классСкачать

Алгебра. 8 класс. Решение текстовых задач /13.01.2021/Скачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

8 класс, 28 урок, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуацийСкачать

Решаем ЕГЭ 2024, Вариант №10 с Учеником, для ЧайниковСкачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 8 классСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№32 - Решение задач с помощью рациональных уравнений.)Скачать

Решение квадратных уравнения и задач на составление квадратных уравнений. Видеоурок #5Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений 8 кл в 2.Скачать

П. 23 Решение задач с помощью квадратных уравнений - Алгебра 8 МакарычевСкачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

8 класс. Решение задач с помощью квадратных уравненийСкачать