Решение задач и уравнений с множествами

Теория множеств: примеры решений задач

На этой странице вы найдете готовые примеры по базовому разделу дискретной математики: элементам теории множеств. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы (множества) : задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.

Видео:Множества и операции над нимиСкачать

Множества и операции над ними

Задачи с решениями о множествах онлайн

Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества Решение задач и уравнений с множествамиРешение задач и уравнений с множествами, где Решение задач и уравнений с множествами— вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества Решение задач и уравнений с множествами?

Задача 2. Докажите тождество Решение задач и уравнений с множествами

Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.

Задача 4. М — подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.

Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти . если
$A$ — множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ — множество делителей числа 28,
$C$ — множество нечетных чисел $X$, таких что $0 le X le 7$.

Задача 7. Задано универсальное множество $U=$ и множества $X=$, $Y=$, $Z=$. Записать булеан множества $X$, любое разбиение множества $Y$, покрытие множества $Z$. Выполнить действия $(X setminus Y)cap bar Z$.

Задача 8. Решить задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна.
Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?

Задача 9. Пусть $Р(А)$ – множество всех подмножеств множества $А$. В каждом из следующих упорядоченных множеств укажите все минимальные и все максимальные элементы; найдите наибольший и наименьший элементы, если они есть, или докажите их отсутствие:

Задача 10. В химическом продукте могут оказаться примеси четырёх видов – $a,b,c,d$. Приняв в качестве исходного множества $М = $, образуйте множество всех его подмножеств $В(М)$. Дайте содержательную интерпретацию этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Решение задач о множествах на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Видео:Круги Эйлера. Логическая задача на множества. Иностранные языкиСкачать

Круги Эйлера. Логическая задача на множества. Иностранные языки

Решение некоторых задач по теории множеств

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

Решение задач и уравнений с множествами, где

Решение задач и уравнений с множествами” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Решение задач и уравнений с множествами

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами, где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Решение задач и уравнений с множествами

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Решение задач и уравнений с множествами

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где Решение задач и уравнений с множествами

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Решение задач и уравнений с множествами

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где Решение задач и уравнений с множествами

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Решение задач и уравнений с множествами

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где Решение задач и уравнений с множествамиA С Е (“Решение задач и уравнений с множествами”- любо число), т.е. А Решение задач и уравнений с множествамиЕ = Е; АРешение задач и уравнений с множествамиЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Решение задач и уравнений с множествамиЕ

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Решение задач и уравнений с множествамиĀ=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АРешение задач и уравнений с множествамиВ = А∩В

АРешение задач и уравнений с множествамиВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AРешение задач и уравнений с множествамиB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АРешение задач и уравнений с множествамиВ)

m (AРешение задач и уравнений с множествамиBРешение задач и уравнений с множествамиC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

  1. Сколько учащихся решили все задачи?
  2. Сколько учащихся решили только две задачи?
  3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

  • m (Е) = 40
  • m (А) = 20
  • m (В) = 18
  • m (С) = 18
  • m (А∩В) = 7
  • m (А∩С) = 8
  • m (В∩С) = 9

m (АРешение задач и уравнений с множествамиВРешение задач и уравнений с множествамиС) = 3 => m (АРешение задач и уравнений с множествамиВРешение задач и уравнений с множествамиС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

Решение задач и уравнений с множествами

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

  • m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АРешение задач и уравнений с множествамиВРешение задач и уравнений с множествамиС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
  • m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
  • m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
  • m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
  • m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
  • m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
  • m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
  • m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

  • m (АРешение задач и уравнений с множествамиВ) = 33
  • m (АРешение задач и уравнений с множествамиС) = 31
  • m (ВРешение задач и уравнений с множествамиС) = 32
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

  • m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
  • m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
  • m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
  • m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
  • m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
  • 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
  • 2m (К 1 ) + 12 = 24
  • Решение задач и уравнений с множествами
  • m (К 3 )= 13-6=7
  • m (К 7 )=12-7=5
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

  • m (Е) = 35
  • m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
  • m (А∩В)= 15
  • m (А∩С)= 13
  • m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

  • m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
  • m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
  • m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Видео:Множества. Операции над множествами. 10 класс алгебраСкачать

Множества. Операции над множествами. 10 класс алгебра

Задания 1. Теория множеств.

Вот мы все и добрались до первого листка с настоящими заданиями. Как их выполнять, что делать? В первой части вы найдёте список задач, которые предлагается выполнить. Очень рекомендуем хотя бы попытаться решить их самостоятельно, попробовать разные подходы, обсудить с друзьями или взять тетрадку с собой во время прогулки в парк. Самые нетерпеливые (а также те, кто достиг успехов в решении), могут прокрутить страницу ниже, где обнаружат максимально подробное решение каждой из задач. Надеемся, они вам помогут. Если что не ясно — спрашивайте в комментариях. Удачи!

Задача 1

Записать элементы множества Решение задач и уравнений с множествами, если Решение задач и уравнений с множествами, и Решение задач и уравнений с множествами.

Задача 2

Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) Решение задач и уравнений с множествами; 2) Решение задач и уравнений с множествами; 3) Решение задач и уравнений с множествами.

Задача 3

В гимназии учатся Решение задач и уравнений с множествамиучеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что Решение задач и уравнений с множествамииз них знают греческий язык (множество Решение задач и уравнений с множествами) и Решение задач и уравнений с множествамизнают латынь (множество Решение задач и уравнений с множествами). Какая часть учащихся знает оба языка?

Задача 4

Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества. А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства Решение задач и уравнений с множествами.

Задача 5

Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

Задача 6

Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

Решение задач и уравнений с множествами

Задача 7

Пусть от нас требуется показать истинность утверждения Решение задач и уравнений с множествами, давайте сделаем это!

Задача 8

Если Решение задач и уравнений с множествами, то докажем, что Решение задач и уравнений с множествами.

SPOILER ALERT! ДАЛЬШЕ ИДУТ РЕШЕНИЯ, НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЕМ СНАЧАЛА ПОПРОБОВАТЬ!

Задача 1

Записать элементы множества Решение задач и уравнений с множествами, если Решение задач и уравнений с множествами, и Решение задач и уравнений с множествами.

Рассмотрим первый случай — мы имеем дело с объединением множеств, и в объединении, например, множеств Решение задач и уравнений с множествами, как мы помним из лекции, собираются вместе все элементы из множеств Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами. Заметим, что множества имеют общие элементы — а именно, Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами. Поэтому мы не должны случайно упомянуть их повторно, пока собираем «в кучу» оба наших множества.

Решение задач и уравнений с множествами

В итоге получим Решение задач и уравнений с множествами

По второму пункту мы, фактически, ответ уже нашли —ведь в пересечение множеств входят общие элементы этих множеств, а мы их уже установили — это Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами. Поэтому Решение задач и уравнений с множествами

В третьем случае от нас требуется узнать разность множеств: Решение задач и уравнений с множествами. Из лекции мы помним, что в множество Решение задач и уравнений с множествамидолжны войти все элементы, которые входят в Решение задач и уравнений с множествамии только в Решение задач и уравнений с множествами. Все элементы, которые входят в Решение задач и уравнений с множествами, мы должны отбросить. Значит, мы должны отбросить Решение задач и уравнений с множествами, которые присутствуют в Решение задач и уравнений с множествамии не присутствуют в Решение задач и уравнений с множествами, а также отбросить Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами, которые располагаются одновременно в двух этих множествах.

В итоге получаем, что Решение задач и уравнений с множествами.

А что же от нас требуют в последнем случае? Решение задач и уравнений с множествами— таким образом обозначается разность универсального множества Решение задач и уравнений с множествамис множеством, расположенным под чертой (дополнение множества Решение задач и уравнений с множествамив Решение задач и уравнений с множествами).

Введём понятие универсального множества Решение задач и уравнений с множествами— это совокупность всех элементов, которые фигурируют в нашем задаче/рассмотрении в целом. Все элементы, которые «есть» в этом конкретном контексте. Допустим, если мы анализируем холодильники разных марок и сортируем их по признакам (а значит и распределяем по разным множествам), то логично брать в данном случае в качестве универсального множества всю совокупность существующих и когда-либо существовавших холодильников. Как легко видеть, мы сами вольны устанавливать границы универсального множества Решение задач и уравнений с множествами. Однако оно всегда должно быть таким, чтобы в рамках нашей задачи нам не попалось ни одного элемента, который мог бы оказаться вне Решение задач и уравнений с множествами! В этом и состоит смысл и удобство универсального множества.

Мы предположим, что универсальное множество в данном случае состоит из всех элементов, которые указаны в условии задачи — нетрудно видеть, что в таком случае универсальное множество Решение задач и уравнений с множествамибудет тождественно Решение задач и уравнений с множествами.

Значит, осталось лишь найти разность Решение задач и уравнений с множествами. Это будут все элементы универсального множества за вычетом тех, которые входят в Решение задач и уравнений с множествами. Из предыдущего случая мы знаем, что Решение задач и уравнений с множествами.

Значит, Решение задач и уравнений с множествами

Задача 2

Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) Решение задач и уравнений с множествами; 2) Решение задач и уравнений с множествами; 3) Решение задач и уравнений с множествами.

Случай первый. Опираясь на выводы предыдущей задачи, мы понимаем, что Решение задач и уравнений с множествамиуказывает на разность универсального множества с множеством, расположенным под чертой (в данном случае некое Решение задач и уравнений с множествами).

На картинке прямоугольник представляет собой универсальное множество Решение задач и уравнений с множествами, а круг — множество Решение задач и уравнений с множествами. Разность Решение задач и уравнений с множествами— это пространство между квадратом и кругом. Запомним, что светло-розовым цветом у нас отмечается «исходное» множество, относительно которого берётся дополнение, а серым — само дополнение к этому «исходному» множеству.

Решение задач и уравнений с множествами

Теперь разность между прямоугольником и кругом должна стать «исходным» множеством. Где же будет его дополнение? Правильно, в круге!

Решение задач и уравнений с множествами

Более формально это можно установить следующим образом. По определению, если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами. Иными словами, все элементы, которые входят в Решение задач и уравнений с множествами, не входят в дополнение к Решение задач и уравнений с множествамипо определению (поскольку имеет место разность множеств, а разность «выкидывает» из рассмотрения все элементы «вычитаемого» множества).

Но в таком случае что мешает нам распространить ту же логику на дополнение дополнения? Если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами. И наоборот: если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами.

Совмещаем оба полученных результата: с одной стороны, если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами. Но для всех Решение задач и уравнений с множествамивыполняется, что Решение задач и уравнений с множествами. Что и требовалось доказать.

Случай второй. По определению универсального множества, абсолютно все элементы в нашем рассмотрении принадлежат множеству Решение задач и уравнений с множествами. А значит, элементов, которые бы не входили в множество Решение задач и уравнений с множествами, в рамках нашей задачи просто не существует. Иными словами, дополнение к универсальному множеству — пустое множество.

Случай третий. По аналогии: если к множеству не относится ни один из элементов, рассматриваемых нами, то это пустое множество. Но это значит, что абсолютно все элементы, о которых мы можем помыслить в рамках нашей задачи, относятся к дополнению этого множества (дополнению пустого множества). Значит, дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством.

Задача 3

В гимназии учатся Решение задач и уравнений с множествамиучеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что Решение задач и уравнений с множествамииз них знают греческий язык (множество Решение задач и уравнений с множествами) и Решение задач и уравнений с множествамизнают латынь (множество Решение задач и уравнений с множествами). Какая часть учащихся знает оба языка?

Число всех учеников в данном случае можно представить как универсальное множество Решение задач и уравнений с множествами. Изобразим его в качестве прямоугольника. В условии сказано, что знатоки греческого и/или латыни исчерпывают всю совокупность учащихся без остатка, а потому данные подмножества вместе должны образовать исходный прямоугольник как на картинке. В данном случае мы частично «наложили» друг на друга два подмножества, чтобы у них образовалось пересечение.

Решение задач и уравнений с множествами

Итак, нам известно, что все из 200 учеников знают по крайней мере либо греческий язык, либо латынь. Однако если мы предположим, что эти множества не пересекаются, и сложим число знатоков греческого с числом знатоков латыни, мы получим Решение задач и уравнений с множествамичеловек. Это значение превышает численность учеников гимназии. Значит, некоторые люди действительно знают оба языка.

Как же выяснить, сколько людей входят в это пересечение двух множеств? Мы знаешь лишь один критерий, по которому можно это установить — пойти от обратного, для начала выявив число знатоков только одного языка. Ведь те, кто знают только один язык, в пересечение точно не войдут!

Кто же не знает греческий? Решение задач и уравнений с множествами. Пусть это множество Решение задач и уравнений с множествами. А латынь не знают Решение задач и уравнений с множествамичеловек. Пусть это будет множество Решение задач и уравнений с множествами. Теперь нам осталось заметить, что людей, которые бы знали только один язык, вне объединения этих двух множеств не существует! Действительно, если бы такой человек, знающий только один язык, существовал, не попадая в множество Решение задач и уравнений с множествами, то получалось бы, что мы не досчитались либо не знающего греческий, либо не знающего латынь в множествах Решение задач и уравнений с множествамиили Решение задач и уравнений с множествамисоответственно. А это не так — мы посчитали абсолютно всех.

Выходит, что Решение задач и уравнений с множествами(здесь мы обращаемся к понятию мощности множества, которое было определено в лекции) составляет число тех, кто знает только один язык. Отсюда, наконец, следует, что Решение задач и уравнений с множествамичеловек говорят на обоих языках.

Задача 4

Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества! А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства

Решение задач и уравнений с множествами.

Ух, сложно! Но давайте начнём разбираться последовательно. Эта формула имеет вид для трёх произвольных множеств. Но вовсе не обязательно сразу рваться в бой — можно приступить к задаче с рассмотрения самого простого случая, а затем «насытить» наш анализ дополнительными моментами. Случай с одним множеством, правда, рассматривать бессмысленно — уж слишком он тривиален. Поэтому предлагаем подумать, как посчитать число элементов множеств, если их всего два.

Допустим, что эти множества не пересекаются. Тогда сумма числа их элементов находится легко — просто складываем в одну кучу все подряд элементы из обеих множеств.

Решение задач и уравнений с множествами

Но что будет, если пересечение всё-таки имеет место быть? Из первой задачи мы видели, что в таком случае, если просто сложить все элементы из первого и второго множества, неизбежна ситуация повторного счёта. Для того, чтобы этого избежать, в задаче 1 нам пришлось обратить внимание на объединение множеств и сойтись на том, что элементы этого подмножества должны считаться лишь единожды, а не дважды.

В общем случае действует та же самая логика. Какие-то элементы у нас неизбежно засчитаются дважды — это будут те из них, которые содержатся одновременно и в Решение задач и уравнений с множествами, и в Решение задач и уравнений с множествами. И чтобы удалить лишнюю «накрутку» достаточно просто вычесть число элементов, составляющих пересечение Решение задач и уравнений с множествами(таким образом от двойного счёта мы вернёмся вновь к одинарному). Итак, сначала, «в тупую» складывая все элементы обоих множеств, мы лишний раз какие-то из них прибавляем (, конечно, не «какие-то», а входящие в пересечение Решение задач и уравнений с множествами), а затем вновь их вычитаем. Один раз.

Решение задач и уравнений с множествами

Обобщим данное правило вычисления в формуле Решение задач и уравнений с множествами. Обратите внимание, что этому правилу подчиняется и первый из наших случаев (где не было пересечения) — просто в этом варианте последнее слагаемое формулы будет равно нулю.

Ну а теперь можно перейти к трём множествам. Как вы, наверное, уже догадались, в этом случае можно предположить гораздо более разнообразные случаи пересечения множеств Решение задач и уравнений с множествами, Решение задач и уравнений с множествами, и Решение задач и уравнений с множествами.

В частности, возможны сочетания Решение задач и уравнений с множествами, Решение задач и уравнений с множествами, Решение задач и уравнений с множествами— всего три штуки. Кроме того, добавляется ещё случай Решение задач и уравнений с множествами.

Какие именно из этих пересечений пустые, а какие нет, мы знать заведомо не можем. Однако если какие-то из них не пустые, то мы должны их грамотно вычитать (или прибавлять), чтобы по-прежнему избегать возможности повторного (а то и тройного) счёта.

Как и в предыдущем случае, мы должны вычитать пересечения двух множеств — даже если этого пересечения нет, от вычитания нуля нам хуже не станет. По умолчанию будем исходить из того, что в результате сложения Решение задач и уравнений с множествамиу нас неизбежно возникают повторяющиеся элементы. Предположим, что повторения встречаются только в пересечениях не более двух множеств (например, Решение задач и уравнений с множествами). Тогда, в соответствии с прошлым примером, мы должны просто вычесть число элементов в этих пересечениях: Решение задач и уравнений с множествами.

Изобразим этот случай — когда есть попарные пересечения, но нет пересечения тройного:

Решение задач и уравнений с множествами

Однако у нас есть ещё один вариант пересечения — сразу всех трёх множеств вместе! В случае наличия трёх множеств Решение задач и уравнений с множествамитакой вариант единственный. Это Решение задач и уравнений с множествами. И если вы в этом не уверены, то задумайтесь — какие ещё варианты мы можем помыслить? Разве что Решение задач и уравнений с множествамиили Решение задач и уравнений с множествами… Но это будут повторения одного и того же множества! Так что в этом случае тройное пересечение только одно — как и в случае двух множеств единственным было пересечение двух множеств.

Хорошо, скажете вы, но что же делать с этим пересечением этих трёх множеств? Прибавлять число элементов, входящих в это множество, или отнимать?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо хорошенько подумать, сколько раз у нас «считались» и вычитались элементы, входящие в это самое Решение задач и уравнений с множествами. Сначала они засчитались при подсчёте элементов Решение задач и уравнений с множествами, затем Решение задач и уравнений с множествами, затем Решение задач и уравнений с множествами— троекратно! Ведь элемент, входящий в пересечение сразу трёх множеств, входит в каждое из этих трёх множеств по определению… А потом эти же элементы были удалены также три раза — из-за вычитания элементов трёх множеств Решение задач и уравнений с множествами. Значит, в итоге осталось ноль элементов! Поэтому получается, что число элементов этого пересечения нужно прибавить и итоговая формула примет вид Решение задач и уравнений с множествами.

Решение задач и уравнений с множествами

Обратите внимание, что количество слагаемых точно соответствует числу пересечений и разностей множеств на изображении выше.

PS. Этот случай можно распространить и на большее число множеств, но тогда нам нужно будет пересчитывать все комбинации из двух, трёх… и Решение задач и уравнений с множествамимножеств. Как именно можно «обобщить» такое перечисление, нас пока не интересует — это слишком далеко выходит за нашу тему. Однажды мы к этому вопросу вернёмся. Но внимательный читатель может обратить внимание, что каждый раз по мере увеличения числа множеств, «участвующих» в пересечении, знак будет меняться с минуса на плюс и с плюса на минус.

Подумайте: если у нас было бы не три, а четыре множества, то получилось бы, что при учёте четырёхкратного пересечения Решение задач и уравнений с множествамиу нас будет вновь повторный счёт из-за того, что элементы множеств Решение задач и уравнений с множествамибудут засчитаны с положительным знаком. Значит, Решение задач и уравнений с множествамибудет вычитаться из общей суммы элементов.

Отсюда общая формула:

Решение задач и уравнений с множествами

Задача 5

Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

Один из часто используемых методов в математических доказательствах — движение от обратного. Мы его уже однажды применили. Попробуем применить его и здесь. Допустим для начала, что площадь покрывается коврами вполне возможна без перекрытия вообще (без пересечения).

Мы знаем, что площадь каждого из трёх ковров составляет Решение задач и уравнений с множествамиквадратных метра. Мы имеем полное право представить наши ковры в качестве множеств. Если они лежат без перекрытия, то их общая площадь является просто суммой их отдельных площадей: Решение задач и уравнений с множествами, что больше площади комнаты в Решение задач и уравнений с множествамиквадратных метров. Мы пришли к противоречию, предположив обратное. Значит, ковры должны перекрываться.

Тогда давайте предположим, что площадь каждого из попарных перекрытий ковров (первый с третьим, второй с третьим, второй с первым) может составлять меньше одного квадратного метра. И снова мы вводим предположение, обратное тому, которое мы хотим доказать.

Действительно, обратите внимание: чтобы опровергнуть тезис «какие-то два из этих ковров обязательно перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра», нам нужно продемонстрировать, что абсолютно все перекрытия неизбежно имеют площадь, меньшую чем один квадратный метр. Обзовём последнее нашим условием-гипотезой.

Допустим, что какие-то два ковра перекрываются таким образом, чтобы удовлетворять данному условию. Есть ковёр Решение задач и уравнений с множествамии ковёр Решение задач и уравнений с множествами, и их площадь перекрытия Решение задач и уравнений с множествамикв. м.

В таком случае их общая площадь обязательно должна превышать 5 кв. м, но не быть более 6 кв. м (потому что оба ковра не крупнее трёх квадратных метров каждый). Таким образом, их общая площадь равна Решение задач и уравнений с множествамиS (A cup B) = 3+3-S (A cap B) > 5″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»295″ style=»vertical-align: -4px;»/> кв. м.

Теперь перейдём к третьему ковру. Опять же по нашему предположению от обратного, он должен иметь общую площадь с первым ковром меньшую, чем квадратный метр (обозначим её как Решение задач и уравнений с множествами), и со вторым ковром (Решение задач и уравнений с множествами) — также меньшую, чем квадратный метр. Рассмотрим максимальный случай — Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествамизаймут максимальную площадь вместе в том случае, если они друг с другом не пересекаются. Тогда общая площадь объединения Решение задач и уравнений с множествамибудет «почти» достигать Решение задач и уравнений с множествамиквадратных метра. Следовательно, оставшаяся часть третьего ковра (назовём её Решение задач и уравнений с множествами) должна покрывать площадь большую, чем Решение задач и уравнений с множествамиквадратный метр, поскольку из площади третьего ковра в 3 кв. м. вычитается площадь «общего» покрытия, составляющую менее двух метров: например, Решение задач и уравнений с множествами.

Однако площадь, покрытая первыми двумя коврами, составляет Решение задач и уравнений с множествами3+3-S (A cap B) > 5″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»198″ style=»vertical-align: -4px;»/> кв. м. Третий же ковёр добавляет площадь, большую, чем квадратный метр. А значит Решение задач и уравнений с множествами6″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»202″ style=»vertical-align: -4px;»/>, то есть все три ковра занимают площадь большую, чем площадь квартиры, при выполнении нашего условия-гипотезы. Мы пришли к противоречию.

Задача 6

Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

Решение задач и уравнений с множествами

Опять же можно пойти уже исследованным нам ходом рассуждения — движением от противного. Если в каждом круге действительно по пять сосен, то, если собрать вместе все маленькие круги, таких деревьев должно быть как минимум 15. Однако большие круги свидетельствуют о не более чем 10 соснах, что входит в противоречие с предыдущим утверждением.

Решение задач и уравнений с множествами

Альтернативно можно обнаружить противоречие, наблюдая за расположением деревьев в пересечениях множеств. Малые левый и правый круги располагаются таким образом, что других сосен в больших кругах быть не должно. Но если это так, то на центральный малый круг не хватит вообще ни одной сосны, что опять же противоречит условию. Это хорошо видно на рисунке выше.

Задача 7

Пусть от нас требуется показать истинность утверждения:

Решение задач и уравнений с множествами

Внимательно рассмотрим, для каких элементов у нас будет выполняться выражение в левой части тождества. Опять же, первым делом нам необходимо вспомнить определения. Решение задач и уравнений с множествамивмещает в себя все элементы Решение задач и уравнений с множествамитакие, что для них выполняется Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествамиодновременно. Таким образом, в эту разность входят те элементы Решение задач и уравнений с множествами, которые не содержатся в Решение задач и уравнений с множествами. Таким образом отсюда исключаются как элементы, не содержащиеся в Решение задач и уравнений с множествамивообще, так и содержащиеся в Решение задач и уравнений с множествами, но одновременно и входящие в Решение задач и уравнений с множествами— то есть располагающиеся в пересечении Решение задач и уравнений с множествами.

В данном случае розовым цветом обозначено множество, «остающееся» после разности.

Решение задач и уравнений с множествами

Аналогично рассуждение для Решение задач и уравнений с множествами. В этом множестве теперь будут находиться все элементы, которые входят в Решение задач и уравнений с множествами, не находясь в то же время в Решение задач и уравнений с множествами.

Решение задач и уравнений с множествами

Выходит, из обеих вышеуказанных множеств исключается одно и то же пересечение Решение задач и уравнений с множествами.

Однако третья скобка в исходном выражении как раз и возвращает нам утерянное: Решение задач и уравнений с множествами. Тем самым, в итоге в состав нашего множества входят все элементы, входящие только в Решение задач и уравнений с множествами, только в Решение задач и уравнений с множествами, а также одновременно в Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами. Что это за множество у нас тогда получилось? Верно, Решение задач и уравнений с множествами!

Решение задач и уравнений с множествами

Задача 8

Если Решение задач и уравнений с множествами, то Решение задач и уравнений с множествами.

Ранее мы видели, что в сложных утверждениях на языке теории множеств одновременно может предполагаться огромное количество различных ситуаций: какие-то множества пересекаются друг с другом, какие-то лежат внутри друг друга или, наоборот, располагаются порознь. Каждая из таких ситуаций образует частный случай записанного утверждения, и порой перебрать все из них тяжело. Как же доказывать такие утверждения, не тратя слишком много времени и сил? Рассуждая по существу с помощью формальной записи всех условий. Мы это проделывали уже раньше, но теперь сделаем это в более явном виде.

В данном случае нам нужно фактически показать, что при предпосылке Решение задач и уравнений с множествамивсякий Решение задач и уравнений с множествамитакже принадлежит и Решение задач и уравнений с множествами.

Расшифруем первое выражение Решение задач и уравнений с множествами. Оно означает выполнение одновременно двух условий: Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами.

Теперь обратим внимание на то, выполняется ли при этой предпосылке Решение задач и уравнений с множествамидля нашего Решение задач и уравнений с множествами. Вспомним опять про нашего предположение из условия задачи, что Решение задач и уравнений с множествами. В таком случае, по определению подмножества, следует, что если Решение задач и уравнений с множествами, автоматически выполняется и Решение задач и уравнений с множествами. С другой стороны, если Решение задач и уравнений с множествами, то и Решение задач и уравнений с множествами— в противном случае элемент Решение задач и уравнений с множествамисодержался бы в Решение задач и уравнений с множествами, но не содержался бы в Решение задач и уравнений с множествамии мы пришли бы к противоречию.

Соответственно, с учётом условия Решение задач и уравнений с множествамиприходим к тому, что выполнение Решение задач и уравнений с множествамивместе с Решение задач и уравнений с множествамиприводит к выполнению Решение задач и уравнений с множествамии Решение задач и уравнений с множествами, что и требовалось показать.

Задача 9

Доказать справедливость выражения Решение задач и уравнений с множествами

Для начала вспомним, что означает разность множеств. В данном это значит, что некий элемент Решение задач и уравнений с множествамидолжен одновременно удовлетворять двум условиям: принадлежать Решение задач и уравнений с множествамии при этом не принадлежать Решение задач и уравнений с множествами.

Теперь давайте хорошенько осознаем, что именно за выражение сформулировано в нашем задании. Нам необходимо установить, что в случае, если элемент входит в множество Решение задач и уравнений с множествами, то он входит и в множество, представленное в виде Решение задач и уравнений с множествами. Это обстоятельство и отражается тем фактом, что второе множество представлено подмножеством первого. Иными словами, если элемент входит во второе множество, то автоматически входит и в первое — аналогичный случай мы рассматривали и в предыдущей задаче 7.

В этом заключается смысл выражения, истинность которого нам необходимо установить.

Итак, мы исходим из того, что какой-то элемент Решение задач и уравнений с множествамивходит в множество Решение задач и уравнений с множествами.

В нашей задаче фигурирует также множество Решение задач и уравнений с множествами. В отношении этого множества наш элемент Решение задач и уравнений с множествамиможет находиться в двух состояниях: либо он входит в состав Решение задач и уравнений с множествами, либо нет. Рассмотрим для начала второй вариант.

Если Решение задач и уравнений с множествами, но в то же время верно, что Решение задач и уравнений с множествами(не забываем, что последнее мы принимаем в качестве предпосылки в наших рассуждениях!), то выполнится и условие Решение задач и уравнений с множествами, а вместе с ним и Решение задач и уравнений с множествами.

Теперь рассмотрим другой случай: пусть Решение задач и уравнений с множествами.

Опять обратимся к нашей предпосылке, которая гласит, что Решение задач и уравнений с множествами. Это означает, что элемент Решение задач и уравнений с множествамив данном случае входит в состав Решение задач и уравнений с множествами, но не входит в состав Решение задач и уравнений с множествами(согласно предпосылке). Соединяя эти две идеи в одну мы можем сказать, что элемент Решение задач и уравнений с множествами. Таким образом, в этом выполняется выражение Решение задач и уравнений с множествами.

Таким образом, мы исчерпали все возможные состояния, которые может принимать Решение задач и уравнений с множествамии пришли к выводу, что всегда будет выполняться одно из двух условий: либо Решение задач и уравнений с множествами, либо Решение задач и уравнений с множествами.

А почему из выполнения хотя бы одного из двух этих условий следует и выполнение Решение задач и уравнений с множествами?

Потому что мы в данном случае имеем объединение — а оно у нас «имеет силу» тогда, когда выполняется хотя бы что-то одно: либо истинно выражение слева от нашей подковы (в данном случае Решение задач и уравнений с множествами), либо справа (в данном случае Решение задач и уравнений с множествами), либо оба.

Опять же, в нашем случае невозможно, чтобы оба условия не выполнялись одновременно, ибо каждому из них соответствует один из двух случаев: либо Решение задач и уравнений с множествами, либо Решение задач и уравнений с множествами, что исчерпывает все возможные варианты в принципе. Значит, при предпосылке Решение задач и уравнений с множествамиобъединение Решение задач и уравнений с множествамивсегда будет гарантированно выполняться.

🎬 Видео

Задачи на множества. Мощность множеств. Математика 6 класс. Теория множествСкачать

Задачи на множества. Мощность множеств. Математика 6 класс. Теория множеств

9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

9 класс, 2 урок, Множества и операции над ними

Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебраСкачать

Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебра

Простейшие операции над множествамиСкачать

Простейшие операции над множествами

4. Множества. Операции над множествами. Дискретная математикаСкачать

4. Множества. Операции над множествами. Дискретная математика

Пересечение множеств. Объединение множеств. 5 класс.Скачать

Пересечение множеств. Объединение множеств. 5 класс.

Пересечение и объединение множеств.Решение примеровСкачать

Пересечение и объединение множеств.Решение примеров

3.10 Пример - доказательство равенства двух множествСкачать

3.10 Пример - доказательство равенства двух множеств

Операции над множествамиСкачать

Операции над множествами

Доказать равенства при помощи диаграмм Эйлера-Венна. Действия над множествами.Скачать

Доказать равенства при помощи диаграмм Эйлера-Венна. Действия над множествами.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Отношения множеств. Прямое произведение множествСкачать

Отношения множеств. Прямое произведение множеств

Множества и операции над множествамиСкачать

Множества и операции над множествами

Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6Скачать

Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6
Поделиться или сохранить к себе: