Решение в радикалах уравнений третьей степени сципион дель ферро никколо тарталья кардано

Видео:Решение уравнений третьей степени (формула Кардано)Скачать

Об алгебраическом уравнении 3-й степени и формулах его корней

С егодня редко можно встретить хорошего репетитора по математике, который бы знал еще и историю математики. Процентов 80 всех репетиторов, знакомя учеников с дискриминантами, векторами, производными, синусами, косинусами, графиками функции понятия не имеют о том, как, когда, кем и при каких обстоятельствах они впервые были введены и изучены. Исторические сведения о тех или иных математических открытиях и фактах помогут репетитору по математике лучше понимать свой предмет и придадут занятиям большую глубину, полноту и разнообразие.

О возникновении формул Кардано для решения кубического уравнения.

В Европе в XVI в. Было положено начало оригинального развития математики и перехода от старого к новому этапу ее жизни. Важнейшими математическими достижениями XVI в. были алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-ой степени и создание алгебраической символики. Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале XVI в. профессор математики Болонского университета Сципион дель-Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида ,где p и q положительные числа.

Это решение профессор держал в строгом секрете, о нем узнали только два ученика ученого, в том числе некий Фиоре. Утаивание научных открытий в то время имело особое значение для жизни и карьеры их авторов. В Италии широко практиковались тогда математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях оба противника предлагали один другому задании для решения их на месте или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал большое количество задач. Победитель награждался при этом не только славой и назначенным денежным призом, но и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность. А человек, потерпевший на диспуте поражении , часто терял занимаемое им место.

В математических диспутах XVI в. Первое место занимала алгебра, названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую называли «малым искусством». Диспуты проходили в городе Болонья, который славился своим университетом. В этом высшем учебном заведении работали многие ученые с мировым именем, в том числе Лука Пачоли, Николай Коперник, а позже Галилео Галилей и др.

Для участников алгебраических диспутов было исключительно важно обладать неизвестной еще для других формулой решения того или иного типа уравнений, алгоритмом. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, решил воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Николо Тарталья (ок. 1499—1557).

Настоящая фамилия ученого была не Тарталья, а Фонтана. В 1512году его родной город Брешия был оккупирован французскими войсками. В то время озверевшие солдаты беспощадно грабили и даже убивали мирных жителей. Маленький Николо тоже был тяжело ранен: у него был рассечен язык. Матери удалось спасти жизнь сына, но говорить свободно Николо уже никогда не мог, речь его была крайне невнятной. Он получил прозвище Тартатья (заика). Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Нередко, когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях.

Ко времени вызова на поединок со стороны Фиоре (1535) Тарталья уже занимал кафедру математики в Вероне и славился как первоклассный ученый. Одной из самых актуальных и жгучих проблем того времени было алгебраическое решение «решение в радикалах» кубических уравнений, т.е. нахождение общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени в зависимости от коэффициентов при помощи конечного числа алгебраических операций — сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечении корней. Такая формула была давно известна для уравнения второй степени, а поэтому было естественно ее искать и для третьей, тем более, что ученые мира до этого времени такой формулы найти не могли.

Получив вызов на диспут, Тарталья понял, что Фиоре обладает формулой для решения кубического уравнения и при подготовке к диспуту все свои внимание сосредоточил на на поисках своей формулы. Он работал днем и ночью над этой проблемой и его труды не пропали даром. Вот как позже он писал об этом: «Я приложил все свое рвение, усердие и математическое умение, чтобы найти этот алгоритм., и , благодаря благосклонной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач (почти в 2 раза больше задач, чем на ЕГЭ по математике, и 2 раза быстрее), предложенных ему противникам. Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных ему задач, выбранных Тартальей из различных областей математики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, однако он продолжал держать в секрете найденную им формулу, та как намеревался опубликовать ее в своем труде по алгебре.

Другой видный итальянский ученый, Джероламо Кардано (1501—1576), который долго искал, но никак не мог найти алгоритма решения кубического уравнения, обратился в 1539г. К Тарталье с просьбой сообщить ему соответствующую формулу. После того, как Кардано дал «священную клятву» в том, что он никому не раскроет тайну, Таталья согласился открыть ему секрет. Однако в своем общении в стихах Тарталья сделал это лишь частично и сознательно замаскировал полное решение кубического уравнения.

Между тем, в 1542 году Кардано познакомился в Болонье с рукописями покойного профессора дель-Ферро и получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал свой знаменитый труд «О великом искусстве, ил об алгебраических вещах в одной книге» В нем он впервые опубликовал само решение уравнения и показал формулы корней. В современной записи они выглядят так:

В книге Кардано содержится также алгебраическое решение уравнений четвертой степени — важнейшее открытие, сделанное одним из его учеников — Луиджи Феррари (1522—1565).

После выхода в свет книги Кардано последний был обвинен Тартальей в нарушении данного им обещания и клятвы. «У меня, — писал Тарталья, — вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре» Последовала и острая продолжительная полемика между обоими математиками и их сторонниками.
Таковы обстоятельства, при которых были открыты общие формулы для решения уравнений 3-й степени. Формулы поныне называются «формулами Кардано», несмотря на то, что следовало бы их называть, по крайней мере, так: «Формулы Ферро-Тарталья —Кардано».

Комментарий репетитора по математике: Формулы решения кубического уравнения позволяют найти его корни на множестве действительных чисел при условии, что . Однако при отрицательном подкоренном выражении корни могут тоже существовать (например, при p= −2 и q=1 корень, очевидно, x=1), поэтому условие не является, как в случае с дискриминантом, критерием существование решений. Формулы приобретают безусловный и общий смысл только на множестве комплексных чисел. Некоторые математики и репетиторы по высшей математике, работающие с сильными учениками, считают формулы Кардано неким недоразумением или красивым обманом, однако сам факт их получения заслуживает как минимум внимания и восхищения.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва

Большое Вам спасибо, очень познавательный материал. А можно как-то подписаться на Ваши материалы по математике? Заранее спасибо!

Думаю создать к лету на сайте специальный раздел с рассылками публикуемых статей (по методике и математике). Скорее всего это будут подборки интересных задач с моими комментариями по их решению или использованию. В том числе будут справочные страницы. Начинающий репетитор по математике получит возможность использовать готовые методидические материалы, проверенные на учениках разного уровня и сортированные по темам. Если хотите – можете уже сейчас дать добро на занесение вашего e-mail адреса в этот список.

Видео:Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.Скачать

Формула Кардано: история и применение

Изучая математику на профильном и углубленном уровне, выполняя олимпиадные задания, мы часто встречаем уравнения третьей и более высоких степеней. Кроме этого, многие практические задачи сводятся к решению различных видов уравнений.

Для решения некоторых видов уравнений имеются определенные способы, алгоритмы, например, линейных уравнений первой степени, квадратных и биквадратных уравнений. Правила решений алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения частных видов.

В школьном курсе математики, для решений целых уравнений третьей и более высоких степеней рассмотрены некоторые способы: разложение на множители с помощью теоремы Безу, выполнение алгебраических преобразований. И меня заинтересовало: существует ли формула для решения уравнений высоких степеней, как формула для решения квадратных уравнений. Пытались ли математики отыскать общую формулу для решения кубических уравнений, составить своего рода алгоритм порядка алгебраических действий с коэффициентами, чтобы получить корни? Получено ли выражение корней через коэффициенты уравнения?

Цель настоящей работы — изучить способы решения кубических уравнений, установить факт существования формулы для нахождения корней уравнения третьей степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.

Видео:Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0Скачать

Скачать:

Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

Предварительный просмотр:

Министерство образования республики Саха (Якутия)

МБУ «Усть-Янское районное управление образования»

МБОУ «Депутатская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов»

Формула Кардано: история и применение

Выполнил: Ефременко Назар,

ученик 9 а класса

Руководитель: Биканова Ирина Васильевна

учитель высшей категории

п. Депутатский, 2015г

Изучая математику на профильном и углубленном уровне, выполняя олимпиадные задания, мы часто встречаем уравнения третьей и более высоких степеней. Кроме этого, многие практические задачи сводятся к решению различных видов уравнений.

Для решения некоторых видов уравнений имеются определенные способы, алгоритмы, например, линейных уравнений первой степени, квадратных и биквадратных уравнений. Правила решений алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения частных видов.

В школьном курсе математики, для решений целых уравнений третьей и более высоких степеней рассмотрены некоторые способы: разложение на множители с помощью теоремы Безу, выполнение алгебраических преобразований. И меня заинтересовало: существует ли формула для решения уравнений высоких степеней, как формула для решения квадратных уравнений. П ытались ли математики отыскать общую формулу для решения кубических уравнений, составить своего рода алгоритм порядка алгебраических действий с коэффициентами, чтобы получить корни? Получено ли выражение корней через коэффициенты уравнения?

Цель настоящей работы — изучить способы решения кубических уравнений, установить факт существования формулы для нахождения корней уравнения третьей степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.

Для достижения цели я поставил следующие задачи:

1. изучить историю науки решения кубических уравнений, труды ее создателей;
2. провести хронологию исторических событий, связанных с открытием формулы Кардано;
3. доказать практическим путем актуальность применения формулы решения уравнений третьей степени.

Моя работа состоит из IV частей: первая – введение – рассказывает о целях и задачах работы; во второй части рассматриваются теоретические и практические вопросы применения формулы Кардано; в третьей части я подвожу итоги своей работы.

2. История открытия формулы Кардано

Людские заблуждения. Полна

История гигантских лжеоткрытий.

Какая паутина соткана

Из представлений, этих тонких нитей.

О, сколько тут прогнозов и афер!

О, сколько тут напущено тумана!

Тут Саваоф и страшный Люцифер,

Златой Ваал и злой чубук шамана.

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество овец в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества.

Анализ исторических документов подтверждает тот факт, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Но ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Только «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) содержит собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми, получивший широкую известность, стал первым руководством по решению задач.

В поисках формулы решения кубических уравнений я познакомился с уникальными научными материалами, заставляющими посмотреть на историю науки и её создателей другими глазами, задуматься над нравственными аспектами их творчества. Жизнь некоторых знаменитых учёных прошлого иногда представляется как занимательный детектив. Таков рассказ о том, как два великих итальянских математика стали смертельными врагами.

12 февраля 1535 г. жители итальянского города Болоньи стали свидетелями необычайного зрелища. К зданию Болонского университета стекались многочисленные людские процессии. Профессора и студенты, скромные ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять лучшие места в аудитории — в университете должен был состояться математический турнир! В Италии того времени широко практиковались математические поединки, в ходе которых ученые состязались между собой в том, кто больше решит задач, предложенных соперником. Победитель получал не только заслуженную славу и денежный приз, но зачастую и возможность занять хорошо оплачиваемую должность. А человек, потерпевший поражение, нередко терял научную репутацию и занимаемое им место. В математических диспутах первой половины XVI века основное место занимала алгебра, недаром названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую считали «малым искусством». Для участников поединков было исключительно важно обладать какой-либо неизвестной для других формулой или новым алгоритмом. Одной из самых актуальных и жгучих проблем того времени было нахождение общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени. Такая формула была давно известна для уравнений второй степени, а поэтому было вполне естественно попытаться найти ее и для третьей. Жители Болоньи надеялись увидеть очередную победу своего земляка — Антонио Марио Фиоре. Сам Фиоре, правда, не слишком славился своими математическими открытиями. Но он был одним из любимых учеников известного алгебраиста Сципиона дель Ферро (1465 — 1526), который перед смертью открыл Фиоре великую тайну — правило решения кубического уравнения.

Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения . Рассуждал он так: корень квадратного уравнения: — ± можно представить в виде х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких-то чисел, причем, среди них должны быть и корни третьей степени. Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности — Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать

Подставив вместо х разность — , а вместо р произведение получили: ( — ) 3 +3 ( — )=q.

t — 3 +3 — u+3 — 3 =q.

После приведения подобных слагаемых получили t-u=q.

Получили систему уравнений:

tu=( ) 3 t-u=q. Решим ее. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4, сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu+u 2 =q 2 +4( ) 3 ; (t+u) 2 =4( )+( ) 3 t+u=2

Из новой системы

t+u=2 ; t-u=q получаем t= + ; u= — . Подставив вместо х выражение — получили следующее равенство:

С тех пор Фиоре побеждал в диспутах очень легко — он давал противникам задачи, решение которых сводилось к кубическим уравнениям. Соперником Фиоре должен был стать Никколо Тарталья — главный консультант по математическим расчетам венецианского арсенала, занимавший кафедру математики в Вероне. Тарталья хорошо понимал, какой удар по его репутации нанесет поражение в турнире. Оставался единственный выход из этого отчаянного положения — самому найти формулу для решения кубического уравнения. После длительных размышлений, мучительных неудачных попыток и бессонных ночей он получил желанную формулу для решения кубических уравнений вида x 3 +ax=b, где a и b — положительные числа. «Я применил все свое рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и это удалось, благодаря счастливой судьбе», — вспоминал позже Тарталья. Поэтому 12 февраля стало черным днем болонской математики — Тарталья одержал безоговорочную победу. Он решил все задачи, предложенные ему соперником, а Фиоре не сумел справиться ни с одной из придуманных Тартальей задач.

Точная дата рождения Никколо Тартальи неизвестна, впрочем, как и его настоящая фамилия. Считается, что он родился около 1500 года в семье бедного конного почтальона Микелетто Фонтана. После смерти отца семья Никколо впала в полную нищету. В школе мальчик проучился всего-то две недели, поскольку на дальнейшее образование не было денег. «С тех пор я учился сам, и у меня не было другого наставника, кроме спутника бедности — предприимчивости», — писал позднее Тарталья в одной из своих книг. Никколо жил во времена, так называемых, Итальянских войн, которые вели между собой Франция и Испания за право владеть Италией. Когда мальчику было около двенадцати лет, Брешия, родной город Николо, был захвачен французскими войсками. Население укрылось в церкви, но стены храма не спасли жителей от бесчинств иностранных солдат. Пострадал и Никколо, получивший удар по голове, в результате чего у мальчика был рассечен язык. Это увечье сделало его речь крайне невнятной. Отсюда и пошло прозвище Тарталья, означающее по-итальянски «заика», ставшее впоследствии фамилией.

Обладая большой настойчивостью и терпением, Никколо научился читать сам. Пристрастившись к математике, он достиг того, что успешно сдал экзамены на звание «магистра абака» (что-то вроде учителя арифметики) и начал работать в частном коммерческом лицее. Затем Тарталья преподавал математику и механику в университетах Брешии, Вероны и Венеции. В своих сочинениях Тарталья рассматривал не только проблемы арифметики, алгебры и геометрии, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики, фортификации и геодезии. В частности, он впервые исследовал вопрос о траектории выпущенного снаряда и показал, что наибольшая дальность полета соответствует углу в 45°. Это открытие могло иметь практическое применение при ожидавшемся нападении турецкого флота на Венецию.

После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, однако продолжал держать в секрете найденную им формулу, так как намеревался опубликовать ее в своем труде по алгебре. Тарталья, по его словам, самостоятельно открыл правило дель Ферро для уравнения x 3 +ax=b, а через несколько дней после турнира нашел способ решения и уравнения вида x 3 =ax+b. (В то время признавались только положительные числа, и поэтому эти два вида уравнений рассматривались как разные). Но в некоторых случаях даже Тарталья оказывался бессилен: он знал значения всех трех корней кубического уравнения, но ни одного из них не мог вычислить по своей формуле! Тарталья долго пытался разобраться в возникших трудностях и отложил из-за этого издание книги о своих открытиях. Такую книгу в 1545 году издал другой итальянский ученый — Джироламо Кардано, а знаменитая формула вошла в историю не как формула дель Ферро или Тартальи, а как формула Кардано.

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) — итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии, учился в университетах Павии и Падуи, в молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры» (1545г.).

В предисловии к книге Кардано пишет: «. в наше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее мне…». И хотя Кардано честно написал о том, от кого он узнал секрет решения уравнений третьей степени, Тарталья обиделся, посчитал себя обкраденным и написал своему «другу» гневное письмо. «У меня вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре», — писал Тарталья.

С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами.

В книге Кардано систематически изложены современные ему методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины.

Кардано не ответил на письмо Тартальи. За честь учителя вступился Л. Феррари и в свою очередь написал Никколо резкое письмо. В заключение он вызвал Тарталью на публичный диспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплинам, таким как астрология, музыка, космография, перспектива, архитектура и др.». Поединок состоялся 10 августа 1548 года в Милане. Косноязычному Тарталье было трудно противостоять молодому блестящему Феррари, и он потерпел поражение. Бесславное для Тартальи завершение диспута уронило его научный авторитет и сильно повредило дальнейшей карьере. Никколо стали меньше приглашать для чтения лекций, и он занимал себя тем, что переводил на итальянский язык труды Архимеда и Евклида. Умер Тарталья в 1557 году. А Джероламо Кардано покончил жизнь самоубийством в 1576 году. В конце жизненного пути он написал автобиографическую книгу «О моей жизни», в которой есть такие строчки: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но на самом деле лишь ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». Возможно, его все-таки мучила совесть…

Так кто же все-таки первым открыл формулу? Большинство ученых сходятся на том, что первым решение кубического уравнения нашел все-таки дель Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу дель Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени.

Так С.Г. Бернатосян в аналитической книге «Воровство и обман в науке» так характеризует математика Кардано: «… “великий” изобретатель, итальянец Джероламо Кардано, который, будучи не меньшим аферистом по духу, чем Клавдий Птолемей, только и делал, что пользовался жатвой с чужого поля. Причём в отличие от Птолемея не брезговал обкрадывать не только мёртвых, но и живых. Страсть этого человека к увековечиванию своего имени была ещё более болезненной, и, доведись ему оказаться на месте Герострата, он так же бы легко пошёл на поджог редчайшего по красоте храма . Но если Герострата цивилизованный мир по сию пору поминает с неприязнью, то к Кардано он относится с глубоким уважением и даже подобострастием. Мало того, что его многочисленные достижения заполонили практически все справочники и энциклопедии, так его имя ещё и не сходит с уст автолюбителей, озабоченных состоянием своих карданных шарниров и валов, медиков, использующих “карданный метод” лечения астмы, учащихся колледжей, вызубривающих на уроках формулу Кардано, и даже астрономов, поскольку один из кратеров на видимой стороне Луны тоже назван в его честь».

Считается, что своё время Кардано нашел способы избавлять людей от слепоты, глухоты, немоты, эпилепсии, выработал общий подход к лечению разных типов лихорадок, болезней суставов, камней в почках. Он первым распознал заболевание тифом, создал учение о локализации функций в мозгу, указал на благотворное влияние переливания крови при истощениях и первым обнаружил зависимость между целебными свойствами лекарств и их дозировкой, разработав метод «превращения дурных лекарств в полезные и внушающих отвращение в легко воспринимаемые».

Автор книги считает, что Кардано, «досконально проштудировав все медицинское наследие прошлого, сочинил рассчитанную на средневекового обывателя книгу, где собрал “в кучу” все самые полезные советы и рецепты, позабыв указать их истинных авторов. А безответственные историки, не разобравшись в существе вопроса, с лёгкостью включили в перечень заслуг Кардано достижения этих медиков, тем самым неоправданно выпятив его одиозную фигуру среди блестящих врачевателей Средневековья».

Всеобщее восхищение вызвала «повозка императора» (прообраз современного автомобиля) — одно из самых оригинальных изобретений века, получившая подробное описание в трактате «О тонких материях»: при передвижении по самым тяжёлым дорогам с очень крутыми подъёмами и ухабами, она сохраняла устойчивость и вполне годилась для прогулок самых важных и неприкосновенных особ. Её удобный и простой по конструкции механизм получил широкое распространение в современном машиностроении под общим названием «кардан» (карданный вал с карданным шарнирным сочленением).

Двойственную характеристику Кардано дал немецкий историк математики Мориц Б. Кантор: «Гений, но не характер». Французский философ Шарль Луи Монтескьё, напротив, не признавал в нем гения и брался «найти у Кардано мысли каких угодно авторов». Английский физик и врач Уильям Гильберт придерживался точки зрения, что тот «в своих столь объёмистых томах не передал потомству. ничего такого, что было бы достойно философа, а лишь некоторые сведения, взятые или описанные у других авторов, или неудачно придуманные». Гильберт вообще начисто отвергал любые заслуги Кардано перед наукой.

Чем же порождалась разноголосица мнений? Наверное, противоречивой и следовательно трудно доступной пониманию натурой этого человека, в котором сочетались самые разные наклонности, а цепкий ум уживался с редкой безнравственностью. Верхом такой безнравственности было, например, жестокое противостояние Кардано Николаю Копернику, который осмелился опровергнуть учение почитаемого итальянцем Птолемея, взаимоотношения Кардано с Николло Тартальей и другими математиками, чьи достижения он хитростью присвоил себе и опубликовал под своим именем.

Кардано во многом шёл по стопам своего кумира Птолемея, тут и там доказывая, что гений и злодейство всё-таки совместимы. Эти учёные, принадлежащие к далеко отстоящим друг от друга пластам истории, продемонстрировали миру поразительную общность не только в мировоззрении, но и в деяниях. Будучи людьми широчайшей энциклопедической осведомлённости, они сумели извлечь из наработанного другими ценнейший научный материал. Тщательно переработанный, проанализированный и отшлифованный, он лёг в основу множества дошедших до нас трудов и трактатов. Нельзя не быть благодарными за эти знания, но нельзя и не понимать, что «украсть у кого-то мысли бывает часто преступнее, чем украсть у кого-то деньги».

Проанализировав исторический материал, я пришел к мнению, что все-таки первым решение кубического уравнения нашел дель Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу дель Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени. Но в тоже самое время можно признать, что точка в данном споре пока еще не поставлена. Возможно, исторические архивы таят в себе еще много неожиданного.

Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико. Однако открытие нового теоретического метода, неизвестного ни грекам, ни арабам, воодушевило математиков средневековой Европы. Это открытие стало основой для введения одного из важнейших математических объектов — комплексных чисел. В настоящее время математики разработали приближенные методы для вычисления корней уравнений произвольной степени с любой точностью. Кубические же уравнения сегодня чаще всего решают по формулам Виета-Кардано, которые подходят для любых уравнений такого типа. Многие современные математики считают формулы Кардано неким недоразумением или красивым обманом, однако сам факт их получения заслуживает, как минимум, внимания и восхищения.

Видео:Как мнимые числа спасли математику [Veritasium]Скачать

Скандал давно минувших дней

Ни одно научное открытие не носит имени своего истинного автора.

Принцип Арнольда (открыт С. Стиглером)

Джероламо Кардано (1501–1576)

Как-то в редакции одного математического журнала за чашкой чая зашёл разговор о справедливости в науке. Вспомнили, что «кольца Ньютона» открыл Гук, «преобразования Лоренца» первым выполнил Фитцджеральд, в Америке за 500 лет до Колумба побывал Эйрик Рыжий, а ещё за 100 лет до него — Гунбьёрн. В математике Гаусс разработал «неевклидову геометрию» до Лобачевского, Бойяи и Римана, «формулами Виета» пользовались ещё до его рождения.

– И «формулу Кардано» для решения кубического уравнения сам Кардано попросту украл у Тартальи, — припомнил кто-то.

«Великое искусство»

В 1545 году из-под пера Джероламо Кардано вышла книга «Великое искусство» (Ars magna), собравшая все новейшие достижения в математике к середине XVI века. И сразу разразился скандал.

Но сначала немного истории.

Мрачное средневековье погрузило европейскую науку, в том числе и математику, в спячку на тысячу лет. Труды греческих учёных оказались никому не нужными, и про них попросту забыли. Конечно, купцы привозили отрывочные сведения о достижениях арабских математиков, но это купцы, их интересовала арифметика. Однако жизнь продолжалась, экономика развивалась, и ей потребовались научные и технические достижения.

Математика сдвинулась с «мёртвой точки». Даже стали проводиться математические состязания, некое подобие дуэлей. Два математика посылали друг другу определённое число задач, кто больше решит, тот и победитель. И этот победитель не только получал звание великого математика, но и вполне мог занять весьма привлекательное в материальном отношении место математика при дворе герцога, короля, а то и самого Папы Римского. Так что сражаться было за что.

Загубить науку можно быстро, буквально в течение жизни одного поколения. А для восстановления науки требуются столетия. И в XVI веке европейские математики только осваивали наследие древних греков, индусов и арабов. Рецепты решения квадратных уравнений определённого вида встречались ещё в древнем Вавилоне. Евклид в некоторых задачах на построение фактически решал квадратные уравнения. Умели их решать и арабские математики. Правда, решали они их при помощи геометрических построений, но зато получали правильные ответы. Кубические уравнения решать никто не умел.

И вот в книге Кардано появились общие формулы корней кубического уравнения! Сенсация! Греки остались позади! Но откуда взялся скандал?

Дель Ферро, Фиоре и Тарталья

Первым справился с решением кубического уравнения вида x 3 + ax = b профессор математики из Болонского университета Сципион дель Ферро. Перед смертью в 1526 году он поделился своей находкой с учениками. Один из них, некий Антонио Фиоре, попытался при помощи этого подарка стать непобедимым в поединках математиков. И в конце 1534 года он послал Никколо Тарталье вызов на состязание по решению задач.

Никколо Фонтана Тарталья (1499/1500–1557), итальянский математик. Перевёл на итальянский «Начала» Евклида и сделал комментарий к ним. Изучал баллистику

Никколо родился около 1500 года. Ещё в детстве он получил ранение горла, говорил с трудом, за что и получил прозвище Тарталья, что значит «заика». Бедная семья не могла оплатить учёбу сына в школе, но мальчик упорно постигал сам все науки, в том числе и математику. К моменту описываемых событий он уже получил известность и за пределами родной Брешии.

Поединок

Фиоре предложил Тарталье тридцать задач, и каждая была связана с необходимостью решения уравнения третьей степени. В то время такие задачи считались неразрешимыми в общем случае. Поэтому почти до конца срока Тарталья даже не пытался их решать: он собирался обличить противника в том, что тот дал ему задачи, с которыми сам не может справиться. Но тут до Тартальи дошли слухи, что у Фиоре есть способ решать такие уравнения. Приложив огромные усилия, Тарталья и сам нашёл такой способ, быстро расправился со всеми тридцатью задачами и отправил свои записи нотариусу, исполнявшему роль судьи.

Что же касается Фиоре, то он не смог решить ни одной задачи, предложенной ему Тартальей. Более того, он не смог решить и ни одной своей задачи, хотя владел методом дель Ферро. И это ещё раз доказывает необходимость регулярных занятий и тренировок. Любой человек знает, что забить гвоздь можно, если приставить его острым концом к доске и ударить молотком. Знать-то он знает, но научится грамотно забивать только после того, как погнёт тысячу гвоздей и сотню раз попадёт по пальцам — естественно, по своим.

К математике подобное утверждение относится в гораздо большей степени. Фиоре, получив от дель Ферро готовый рецепт нахождения корней кубического уравнения, не сомневался, что теперь-то он справится с любой задачей, и поэтому не утруждал себя подготовкой к состязанию. А вот Тарталья сам решил кубическое уравнение в общем виде, получил прекрасную практику обращения с такими уравнениями, поэтому и одолел все задачи за несколько дней.

И вот ирония судьбы. Формула корня кубического уравнения, открытая дель Ферро и независимо от него Тартальей, носит имя Кардано. Так в чём же дело?

В то время уравнения записывали не так, как мы привыкли. Например, уравнение x 3 + 5x = 12 Кардано записал бы так:

I. cubus p. 5. positionibus aequаntur I2

Здесь «I» — единица, «cubus» — куб неизвестной, «p.» — знак «+», «positionibus» — неизвестная, «aequаntur» — равно. Скобки и знак равенства ещё не использовались, знак корня записывался как . Например, формула (2 + √3)(2 – √3) = 1 записывалась так:

Кардано

Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени.

Вращающееся тело, закреплённое на кардановом подвесе. Даже если внешнее кольцо меняет своё положение в пространстве, ось вращения не меняется. Это наблюдение используется в гироскопах

Джероламо Кардано родился в 1501 году. Получив прекрасное образование, он проявил себя во многих областях деятельности. Знаменитый врач, успешно лечивший важных особ. Талантливый инженер, предложивший для кареты испанского короля Карла V подвеску, чтобы карета Его Величества не наклонялась на неровных дорогах, оставаясь горизонтальной (сегодня мы такой подвес называем кардановым). Физик, экспериментально измеривший отношение плотности воздуха к плотности воды. Правда, немного ошибся, но кто и сейчас сможет померить точнее теми же приборами? Азартный игрок, заложивший основы теории вероятностей.

Карданный вал позволяет передать вращение между непараллельными осями. Он используется в большинстве автомобилей

А ещё Кардано занимался математикой. Он долго уговаривал Тарталью открыть ему секрет решения кубических уравнений, чтобы украсить им книгу «Великое искусство». Своё желание он аргументировал так: никто больше не станет состязаться с Тартальей в решении задач, потому что он умеет решать кубические уравнения, а другие не умеют. Под влиянием ли этого, вполне убедительного, аргумента или по какой-то другой причине, но Тарталья в конце концов уступил. Только поставил при этом условие, что Кардано не будет публиковать его открытие без разрешения самого Тартальи.

Кардано согласился. Но когда один из учеников дель Ферро поделился с ним рецептом своего учителя, Кардано счёл себя свободным от обязательств, выданных им Тарталье, и опубликовал способ решения кубического уравнения. Так появилась «формула Кардано», хотя сам Кардано не скрывал приоритета дель Ферро и Тартальи.

И сейчас, пять веков спустя, вряд ли кто-нибудь сможет до конца разобраться в этой воистину детективной истории.

Это формула Кардано для одного из решений уравнения x 3 + ax = b, где a, b > 0. В случае

уравнение имеет три решения, но формулу просто применить нельзя: нужно извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Позже с помощью комплексных чисел удалось придать смысл квадратному корню из отрицательного числа, и применение формулы стало возможным даже в этом случае. При этом решения, вычисленные по формуле, получаются действительными.

Четвёртая степень

Без упоминания Феррари, Абеля и Галуа рассказ об истории решения кубических уравнений был бы неполным.

Полторы тысячи лет математики не могли подступиться к кубическому уравнению, но стоило его решить, как буквально тут же было решено в общем виде и уравнение четвёртой степени. Сделал это ученик Кардано Луиджи Феррари. Любопытно, что для решения этого уравнения требуется «по пути» решить вспомогательное уравнение третьей степени.

Все попытки решить в общем виде уравнение пятой степени в следующие три века успехом не увенчались. И вот в 1826 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что общей формулы для решения уравнений пятой степени не существует, и для уравнений более высоких степеней — тоже. Своё открытие Абель сделал в 24 года, но прожил огорчительно мало, всего 27 лет.

Ещё меньше, неполный 21 год, прожил гениальный французский математик Эварист Галуа. Он продолжил исследования Абеля, определив, как по виду алгебраического уравнения узнать, решается ли оно. Метод, предложенный Галуа, положил начало фундаментальному разделу математики — теории групп. Название «группа» предложил сам Галуа. Погиб он на дуэли. В ночь перед дуэлью Галуа изложил на бумаге свои мысли о математике. Разобраться в этих записках и понять идеи Галуа математики смогли только через много десятилетий.

И ещё важная деталь. Решение уравнения третьей степени привело математиков к необходимости заняться комплексными числами. Функции комплексного переменного играют немалую роль в современной теоретической физике и электротехнике, не говоря уже о самой математике.

Опять голословные наезды на средневековье. К которому, между прочим, Тартьлья и относится.

В Средневековье — примерно на границе Раннего и Высокого — европейцы изобрели перо и получили от азиатов бумагу, что позволило им гораздо проще и больше писать. Просто грамотные средневековые европейцы, в отличие от грамотных жителей античности, жили не в городах, а на дачах, и писать на камнях не привыкли, так что текстов тех времён до нас дошло мало. А писали они много что: рассчитывали пасхалии (например, Беда — в VIII веке), создавали финансовую систему, намного превосходящую бытовые представления о финансах у наших современников (понятно, что современная финансовая система ещё сложнее, но обычный, скажем, физик или математик всё равно не разбирается в ней даже в том объёме, в котором банкиры работали в XIV веке). Придумали многопольную систему и мельницы. И школы для простых детей в VIII веке.

Да и вообще, Европа вошла в Средневековье равной среди первых (Китай, как минимум, а то и Индия с Персией), а вышла — не имея больше конкурентов ни в экономике, ни в технике, ни в уровне жизни, ни в науке, ни в медицине, ни в философии, ни в литературе.

>Да и вообще, Европа вошла в Средневековье равной среди первых (Китай, как минимум, а то и Индия с Персией), а вышла — не имея больше конкурентов ни в экономике, ни в технике, ни в уровне жизни, ни в науке, ни в медицине, ни в философии, ни в литературе.

Я, конечно, дилетант, но, чем больше пытаюсь разбраться именно в вопросе «как Европа из, хм, задницы мира в короткий срок превратилась в безусловного лидера на века», тем больше убеждаюсь, что ответ довольно короток: порох.
Это увязывает воедино и общественное устройство, и способы производства и способы ведения войны. Да и в приведённых Вами областях, в которых Европа «вдруг» оказалась впереди, развитие очень сильно кореллирует с развитием производства и применения пороха. Причём с отставанием, что и позволяет выяснить главный двигатель прогресса.

Ещё раз — дело далеко не просто в том, что, имея порох, можно было побеждать. Особенности производства и применения пороха увязали воедино и материальную основу и общественный строй — и дали им толчок.

А так-то да, Европа в средневековье действительно отставала от цивилизованного мира, и, можно сказать, на века отставала. Почитайте историю с подарками Васка да Гама султану, к примеру. Мозамбикского (!) султана они оскорбили своей нищетой. А ведь это уже конец 15 века.
Зато он мог бы уничтожить враз весь тамошний флот.

Кстати, даже сама эпоха великих географических открытий, сиречь океанских путешествий стала возможно именно и только благодаря пороху.

Насчёт пороха я с вами согласен, но это само по себе интересный момент: хотя порох придумали не в Европе, но именно в Европе производство пороха превратилось в разветвлённую сложную индустрию, можно даже сказать, в ВПК, когда учёные люди экспериментировали с химией, мельницы строили с расчётом на то, чтобы быстро переделывать их из зерновых или соляных в пороховые и назад, в Англию ввозили золу на поташ аж из самой России. Это ж потрясающе, если заранее не знать: не то что во Франции или Англии, а даже в России в XVI веке уже существовала профессия химинженера. И это только аспект непосредственно пороха, не считая баллистики, с которой экспериментировал и которую рассчитывал тот самый Тарталья, металлургии и проч.

> Почитайте историю с подарками Васка да Гама султану, к примеру. Мозамбикского (!) султана они оскорбили своей нищетой

Это само по себе ни о чём не говорит. Русские бояре жили богаче германских императоров, но вряд ли Германия была менее развита. Не говоря уже об индийских князьях, утопавших в роскоши, когда в нескольких шагах от их дворцов люди и в XXI веке утопают в фекалиях. Вообще привычка хамить купцам-первопроходцам из-за недостаточно щедрого подарка — очень глупый и недальновидный подход, который стоил власти, а то и жизни, не одному азиатскому/африканскому/индейскому вождю. Если б мозамбикский султан поменьше думал о бакшише и побольше о деле, глядишь, португальцы через сто лет его страну колонизировать бы не начали, и сейчас люди бы читали не историю да Гамы, а историю того безымянного султана. И ещё: тот султан, как и любой другой, был арабом. То бишь цивилизованным членом образованной, военизированной и на тот момент почти современной культуры, а богатства он получал грабежом местного чёрного населения. Причём наверняка основной статьей дохода была не какая-нибудь слоновая кость, а само население (работорговля). По крайней мере, в XVII веке именно так и было, насчёт времён да Гамы не уверен.

>производство пороха превратилось в разветвлённую сложную индустрию
Дело в том, что производство пороха при отсутствии месторождений селитры иным быть и не может. И тут совпал момент нужд пороховой индустрии и общественного устройства, которое могло это обеспечить.
Но — нужна была ещё и феодальная раздробленность. Относительно цельному государству вроде Китая порох объективно был не очень-то нужен.
А для европейских королей это была манна небесная. С одной стороны, им можно всех непослушных вассалов поубивать, с другой стороны — вассалы не могут ни производить порох (масштаба не хватает), ни хранить его (изначально порох хранился очень плохо, в том числе потому что селитра была не калиевая, а по большей части натриевая).
Заметьте — о внешних войнах ещё и речь не идёт. Порох сыграл ключевую роль в формировании европейских государств изнутри.
До того король и столицы-то толком не имел, не жил в ней, точнее. Он вынужден был непрерывно объезжать владения (с войском, ессно) и ставить на место зарвавшихся вассалов. Не зря в сказках король частенько показан в пути (след этого — и в «Обыкновенном чуде» даже).

Многие, кто не признаёт ключевую роль пороха — просто меряют современными мерками и войнами между государствами. А роль пороха во внутригосударственном «наведении порядка» была куда значительнее.

«Внешнее» применение пороха было уже следствием того, что государства окрепли и начали прибирать к рукам внешние ресурсы.

>Это ж потрясающе, если заранее не знать: не то что во Франции или Англии, а даже в России в XVI веке уже существовала профессия химинженера.
Ещё поразительнее, что всего за сотню лет пройден путь от первого знакомства с порохом (от мавров в Испании) до его вполне серьёзного применения русскими. Уж очень кстати пришёлся всем.

>Русские бояре жили богаче германских императоров, но вряд ли Германия была менее развита.
Да нет, именно так. Вся Европа была менее развита, чем Азия и даже не совсем азиатская Россия.

>Если б мозамбикский султан поменьше думал о бакшише
Если бы он знал о пороховой мощи этих корабликов и их способности к морскому плаванию — был бы и вежливее. В том-то и дело, что порох изменил и корабли. Они стали мореходными именно потому, что на них пушки поставили. Огромные, да и обычные, китайские джонки просто не выдержали бы импульса от пушечной стрельбы.
Потому с установкой пушек европейские корабли пришлось делать много прочнее. А уже потом выяснилось, что в результате даже пузатая мелочь-каравеллы способны пересечь океан.

>То бишь цивилизованным членом образованной, военизированной и на тот момент почти современной культуры, а богатства он получал грабежом местного чёрного населения. Причём наверняка основной статьей дохода была не какая-нибудь слоновая кость, а само население (работорговля). По крайней мере, в XVII веке именно так и было, насчёт времён да Гамы не уверен.

Конечно, так. Но так жили тогда все. А чего ждать можно — тяжёлой промышленности?

🎦 Видео

3 Формула Кардано и изобретение комплексных чиселСкачать

Решение кубического уравнения общего вида, используя комплексные числа, по формуле Кардано!Скачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

Решение кубического уравнения преобразованием Чирнгауза! (Tscirnhaus transformation, solve cubic)Скачать

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать

Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

Решение целых рациональных уравненийСкачать

Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

Математика| СтепениСкачать

Алгебраические уравнения, разрешимые в радикалах. Публичная лекция Аделя АбызоваСкачать

Многочлены 5Скачать

Математический анализ. Сеченовский университет. Лекция 2. Числа: от действительных к комплексным.Скачать

Лекция 1. Множества и отображения. Комплексные числа. Часть 1Скачать

Линейные диофантовы уравненияСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать