Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Видео:Микролекция: Гармонический осцилляторСкачать

Микролекция: Гармонический осциллятор

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.1)

где Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора– оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

в которой Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторазаменены операторами импульса Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораx, Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораy, Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораz и координаты Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

х → Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора= х, y → Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора= y, z → Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора= z,

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора– гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора,t) = ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора)θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторане зависит от времени, тогда уравнение Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораψ = iћψ принимает вид θРешение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораψ = iћψθ или

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

θ(t) = exp(−iEt/ћ), Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) = Eψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) и Ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора,t) = ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора)exp(−iEt/ћ).

Уравнение Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) = Eψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораили Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора):

−(ћ 2 /2m)Δψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) + U(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора)ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) = Eψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора) = Eψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора).(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора,t) = ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора)exp(−iEt/ћ)(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.5)

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,(4.7)

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Аsin kL = 0.(4.8)

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораn = 1, 2, 3, …(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораn = 1, 2, …
Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Одномерный гармонический осциллятор:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораEn = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ),(4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)(4.16)
Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораYlm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)
Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора
(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ 2 /mee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

Решения уравнения

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и Lz являются решением уравнений

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 Ylm(θ,φ) = L 2 Ylm(θ,φ) и Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораzYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0s-состояние
l = 1p-состояние
l = 2d-состояние
l = 3f-состояние
l = 4g-состояние
l = 5h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторапри квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторапо отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи орбитальным квантовым числом l:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 = ћ 2 s(s + 1)(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторана любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

szћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число sz − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина sz совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения sz = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораявляется векторной суммой орбитального Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи спинового Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторамоментов количества движения.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора= Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора+ Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора.

Квадрат полного момента имеет значение:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осцилляторана выделенную ось Jz также принимает дискретные значения:

Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораи Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораопределены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz = lz + sz.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

nРадиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, jПолный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора2 = ћ 2 j(j + 1).
L, lОрбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
mМагнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, sСпиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
szКвантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или πПространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора→ — Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
IИзоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

  • Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
  • Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
  • Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
  • Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

  • Кулоновский потенциал U = Q/r,
  • Прямоугольная потенциальная яма Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора
  • Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
  • Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где U0, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, jz, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора→ —Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d5/2?

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>n = |1, 1 /2: 3 /2>, |l,s:j>p = |1, 1 /2: 3 /2>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>1 = |1, 1 /2: 3 /2> и |l,s:j>2 = |1, 1 /2: 3 /2>?

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; jz = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; jz = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию Jz. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораэлектронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /2L, x = 2 /3L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /3L, 2 /3L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?
Ответ: Lz = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?

Видео:Классические уравнения | квантовый гармонический осциллятор | 1Скачать

Классические уравнения | квантовый гармонический осциллятор | 1

Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора

Запишем уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора. (6.2)

Здесь о» — частота колебаний классического осциллятора. С точки

зрения квантовой физики это некоторый параметр.

Начнем решение с замены переменных, что позволит упростить форму исходного уравнения (6.2). Введем безразмерную координату z:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора(6.3)

После подстановки получаем уравнение

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, (6.4)

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

При |z| >> l постоянную λ в уравнении (6.4) можно опустить. Тогда

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора, то

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Отсюда видно, что экспонента

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

описывает асимптотическое решение уравнения (6.4) при z-> ±оо. Поэтому будем искать функцию состояния осциллятора в виде

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора. (6.6)

Функция f (z) удовлетворяет уравнению

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

которое получается из уравнения (6.4) после подстановки функции (6.6).

Далее, используя метод степенных рядов, полагаем

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Подстановкой ряда (6.8) в уравнение (6.7) приходим к тождеству

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора. (6.9)

Его можно записать в виде одной суммы:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора. (6.10)

Для выполнения последнего равенства при любых z необходимо, чтобы были равны нулю коэффициенты при всех z m . Составим выражение для коэффициента bm. Для этого из первой суммы в равенстве (6.9) выпишем член с k= m + 2, а из второй и третьей — с

Приравнивая выражение (6.11) нулю, находим формулу, которой должны удовлетворять коэффициенты ряда (6.8):

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Формула (6.12) относится к рекуррентным соотношениям; она позволяет повторным применением выразить все коэффициенты аm через первые два, которые остаются неопределенными. Величины а0 и a1 представляют собой две произвольные постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Исследование ряда (6.8) показывает, что в общем случае он расходится при z -> ±oо, причем настолько быстро, что волновая функция (6.6) обращается в бесконечность. Нам же нужны всюду ограниченные решения. Они могут быть получены, если ряд (6.8)

оборвать на некотором слагаемом и превратить в полином конечной степени z. Тогда экспоненциальный сомножитель обеспечит затухание функции состояния (6.6) на бесконечности. Такие полиномы также будут решениями уравнения (6.7).

Итак, обрываем ряд на члене с индексом n: аn /= 0; все старшие коэффициенты, начиная с аn+2, равны нулю; с помощью формулы (6.12) имеем

Рекуррентная формула принимает вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Полиномы с коэффициентами (6.14) обозначаются символом Нn(z). В них мы можем еще распорядиться по своему усмотрению коэффициентом при низшей степени z. Это будет а0 или а1 (если n четно, то в полиноме содержатся только члены с четными степенями z, если n нечетно — с нечетными). Обычно постоянные выбирают так, чтобы коэффициент при высшей степени z был равен 2 n .

Тогда полиномы совпадают с хорошо изученными в математике полиномами Чебышева — Эрмита. Их можно получить с помощью полиномообразующей формулы

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Функции состояния для квантового осциллятора находим:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

yn = Nne 2Hn(z), z = x-Ja&. (6.16)

Нормировочный множитель Л/„ находится из условия

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Далее с помощью формул (6.15) и (6.17) мы вычислим несколько ψn.

Видео:Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.Скачать

Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.

Квантовый гармонический осциллятор

Конспект лекции (с демонстрациями)

Аннотация: изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. (Традиционное изложение темы, дополненное демонстрациями на компьютерных моделях.)

Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора — системе, способной совершать гармонические колебания. Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораИстория квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. n раз умножены (где n = 0,1, 2,3. ) на нечто, названное им квантом энергии hυ.

Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятораРешение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

  • Колебания маятника с малой амплитудой.
  • Другой пример – вертикальные колебания грузика, подвешенного на пружине.

В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.

Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Точки a0 и -a0, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы «зависает», и там вероятность обнаружения максимальна.

Оценка минимальной энергии осциллятора

Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной xmin, соответствующее минимуму, равно:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

а соответствующее значение энергии E имеет порядок

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.

Решения уравнения Шредингера

Нахождение точного решения требует решения уравнения Шредингера с потенциальной энергией (1), которое имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Трудности решения связаны со слагаемым, содержащим x 2 . Приведем здесь только результаты вычислений. Анализ показывает, что, как и в случае с прямоугольной потенциальной ямой, волновые функции, являющиеся решением этого уравнения, будут непрерывными и конечными не при всех значениях энергии E, а лишь при дискретном наборе значений:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где n принимает значения 0, 1, 2, . . Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора в отличие от случая прямоугольной потенциальной ямы расположены на одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга ΔE = hυ.

Важной особенностью решения является наличие так называемых нулевых колебаний — колебаний с энергией, соответствующих значению квантового числа n = 0. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей (см. оценку выше). В реальных квантовых системах, например, кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Опыты по рассеянию света кристаллами при низких температурах это подтверждают. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы сил молекулярных взаимодействий (пример ниже) и других молекулярных явлений.

Первые три волновых функции гармонического осциллятора выглядят так:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Здесь введено обозначение x0 2 = h/(4π 2 mυ).

Графики этих волновых функций представлены на рисунке ниже.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Пунктиром показаны границы, между которыми совершала бы колебания классическая частица. Значения a0 отличаются для разных n, так как от n зависит энергия Е (

E 1/2 ). Очевидно, что при малых значениях квантового числа n плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ψ0(x) 2 , кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора: в основном состоянии максимальное значение вероятности приходится на центр, модуль волновой функции для всех квантовых чисел n имеет наибольшие значения между классическими точками поворота и экспоненциально убывающие «хвосты» вне этих точек.

Определим для основного состояния, как велика вероятность P обнаружения частицы вне пределов классической области, т.е. вне области -a0 Компьютерная модель

Компьютерная модель поможет Вам в исследовании квантового осциллятора. Ее возможности: после того, как Вы зададите порядковый номер атомов Z, из которых состоит молекула (по умолчанию Z=8), компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии, соответствующие им волновые функции и распределения плотности вероятности нахождения частицы по координате. Двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.

  • как плотность уровней зависит от массы атомов;
  • как энергия частицы зависит от квантового числа n;
  • как вероятность обнаружить частицу зависит от x; убедитесь в том, что амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии;
  • как вероятность обнаружения частицы вне классической области зависит от квантового числа n. Для этого на нижнем графике установите крестик в начало области интегрирования, нажмите клавишу «Enter» и передвиньте крестик в конечную точку. Компьютер рассчитает площадь под кривой, равную вероятности обнаружить частицу в выбранном Вами диапазоне координат;

Смешение состояний (принцип суперпозиции)

Реальные объекты (атомы в молекуле, кристалле. ) редко находятся в основном состоянии. За счет, например, теплового возбуждения реальны состояния с квантовым числом n > 0. Одно из важнейших положений квантовой механики — принцип суперпозиции. Он гласит: если квантовая частица может находиться в состояниях, описываемых функциями Ψ1, Ψ2, . Ψn, то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций Ψi

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где сi — произвольные постоянные, также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний частицы. Коэффициенты сi изменяются во времени. Принцип неопределенности ΔtΔE>h/2π не позволяет определить зависимость от времени этих коэффициентов для конкретного осциллятора (можно, однако, получить средние значения для большого количества осцилляторов).

Для гармонического осциллятора интересен набор состояний, который минимизирует соотношение неопределенности «координата — импульс», т.е. произведение ΔpΔx=h/2π. Впервые он был построен Шредингером в 1926 г. Волновая функция Ψ(x,t) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Коэффициенты этого разложения

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Вероятность осциллятору находиться в состоянии с квантовым числом n равна

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

т.е. дается распределением Пуассона. Волновая функция Ψ(x,t) представляет нерасплывающийся волновой пакет. Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени.

Эти состояния называют когерентными, так как они используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (R. Glauber, Нобелевская премия 2005 года; текст нобелевской лекции, 269 кб). Можно показать, что свободное электромагнитное поле эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.

Со свойствами когерентных состояния гармонического осциллятора можно познакомиться поближе с помощью компьютерной модели (автор L. Kocbach).

Вычисление средних значений

С помощью волновых функций можно найти среднее значение любой величины (если ее можно в принципе измерить экспериментально). Величина |ψ(x)| 2 dx — вероятность нахождения частицы в интервале dx. В случае многократных наблюдений за частицей |ψ(x)| 2 dx — доля частиц, которые находились в этом интервале, т.е. |ψ(x)| 2 является функцией распределения по координате. С ее помощью найдем, что среднее значение координаты

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Аналогичным образом находится среднее значение любой функции координаты, например, для потенциальной энергии имеем

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

В этих формулах, чтобы вычислить среднее значение, мы умножаем значение функции в точке x на вероятность нахождения частицы около x и суммируем по всем возможным значениям x. В качестве примера найдем эти величины для основного состояния гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

т.к. под интегралом нечетная функция, и

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Среднее значение потенциальной энергии равно половине полной энергии этого состояния.

Правило для вычисления средней кинетической энергии отличается от приведенного, т.к. кинетическая энергия является функцией импульса p, а не координаты x:

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Для основного состояния гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

т.е. мы показали, что для основного состояния гармонического осциллятора средние значения потенциальной энергии и кинетической энергии равны между собой и составляют половину полной энергии осциллятора. Можно показать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Среднее значение потенциальной энергии увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция ψ(x) заметно отлична от нуля в тех областях оси х, где потенциал U(x) увеличивается. Обратите на это внимание при экспериментах с компьютерной моделью .

Энергия излучения при переходе из одного состояния в другое равна

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Набор равноотстоящих энергетических уровней гармонического осциллятора (3) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой, кратной υ, т.е. kυ , где k — разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако, на самом деле это не так. Точный анализ показывает, что если

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где n и m квантовые числа начального и конечного состояний, среднее значение координаты не меняется во времени, и такие переходы запрещены.

Проверим выполнение этого условия для гармонического осциллятора. Пусть n=1, а m=0. Опуская постоянные, для интеграла получим выражение

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

т.к. под интегралом четная функция. Если положить n=2, m=1,

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

по той же причине. Переходы между соседними уровнями 0↔1 и 1↔2 являются разрешенными. Рассмотрим теперь переход между состояниями n=0 и m=2. Соответствующий интеграл имеет вид

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

поскольку функция под интегралом нечетная, а пределы симметричны относительно x=0. Следовательно, переходы 0↔2 запрещены. Особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями Δn = ± 1. Это правило отбора для гармонического осциллятора.

Трехмерный гармонический осциллятор

В общем случае потенциальная энергия выражается суммой

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Если решение искать в виде ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z), получается три дифференциальных уравнения, совпадающих по виду с одномерным. Для изотропного случая (kx =ky =kz = k) значения энергии таковы

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

где квантовые числа n1, n2 и n3 пробегают значения от 0 до бесконечности. Как и в одномерной задаче, налицо дискретность значений энергии, не равная нулю нулевая энергия. Но в трехмерном случае решение определяется тремя квантовыми числами. И особенность: одно и то же значение энергии могут иметь различные состояния, для которых выполнено условие n1+n2+n3 = const. Такие состояния называют вырожденными.

Взаимодействие двух осцилляторов

Существование нулевой энергии (формула (3) при n = 0) сыграло важную роль для объяснения такого загадочного явления, как межатомное взаимодействие у благородных газов. Так как это взаимодействие проявляется в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса для реальных газов

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

оно названо ван-дер-ваальсовским. Если молекулы (атомы) обладают дипольным моментом, то их притяжение обусловлено взаимодействием диполей (качественно и количественно исследованный факт). Но нейтральные молекулы с симметричным в состоянии покоя распределением заряда могут взаимодействовать только при смещении зарядов, вызывающем появление дипольного момента. Такое смещение возникает при не исчезающих ни при каких условиях нулевых колебаний с энергией hυ/2. Появление дипольного момента у одной молекулы индуцирует дипольный момент в другой. Взаимодействие этих быстро меняющихся моментов и обуславливает притяжение.

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

В качестве простой модели рассмотрим два линейных осциллятора, расположенных на расстоянии R друг от друга и колеблющихся вдоль соединяющей их прямой. Положительные заряды будем считать неподвижными, x1 и x2 — смещение отрицательных частиц (электронов) от положения равновесия.

В отсутствии второго (или при очень большом R) потенциальная энергия каждого осциллятора может быть рассчитана по формуле (1), а частоту колебаний обозначим через υ0

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Энергия взаимодействия двух диполей по закону Кулона равна

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Первые два слагаемых описывают отталкивание одноименных зарядов разных диполей, а вторые два — притяжение. Всегда R >> x1 и R >> x2. Поэтому разложим дроби в ряды и, удерживая по три члена разложения, получим

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Полная энергия двух взаимодействующих осцилляторов равна (здесь p — импульс электрона)

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

выражение для полной энергии приводится к виду

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

представляющему сумму энергий двух независимых осцилляторов с несколько отличающимися частотами

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Как мы видели, энергия этих осцилляторов имеет квантованные значения (см. (3) выше) и, следовательно, полная энергия нашей системы будет

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

а для основного состояния (n1 = 0 и n2 = 0)

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Теперь надо учесть, что вторые слагаемые под корнями много меньше первых (связь электрона со своим ядром гораздо сильнее связи осцилляторов). Корни квадратные разложим в степенные ряды и ограничимся тремя членами в разложении. Это даст

Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Последнее выражение равно удвоенной энергии изолированного осциллятора минус небольшая энергия. Поскольку добавка отрицательна, полная энергия взаимодействующих осцилляторов меньше энергии изолированных, для разрыва связи нужно энергию затратить! И, заметим, энергия связи очень быстро убывает с расстоянием

Не было бы нулевых колебаний (чисто квантового эффекта), не существовало бы и связи молекул в основном состоянии.

Ангармонический осциллятор Решение уравнения шредингера для линейного гармонического осциллятора

Гармонический осциллятор — идеализация. Реальные зависимости U(x) выглядят как на рисунке справа. Парабола (штриховая кривая) является хорошим приближением только для малых колебаний вблизи положения равновесия. Для колебаний большой амплитуды формула (3) непригодна, интервалы между верхними уровнями энергии и нижними не одинаковы. Для верхних уровней энергии En потенциальная яма шире параболы, и поэтому интервалы между этими уровнями меньше интервалов между нижними уровнями.

Подведем итоги:

  • энергия основного состояния частицы не равна нулю;
  • энергия частицы квантована, и значение ее растет линейно с n;
  • вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
  • в трехмерном случае различным состояниям может соответствовать одно и то же значение энергии (вырождение);
  • нулевые колебания объясняют происхождение сил притяжения между атомами инертных газов;
  • для ангармонического осциллятора уровни не эквидистантны и правило отбора Δn = ± 1 нарушается;
  • если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

🎬 Видео

Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 455. Уравнение Шрёдингера

Авакянц Л. П. - Введение в квантовую физику. Гармонический осциллятор (Лекция 8)Скачать

Авакянц Л. П. - Введение в квантовую физику.  Гармонический осциллятор  (Лекция 8)

Гармонический осциллятор. Груз на пружине. 3 метода решения.Скачать

Гармонический осциллятор. Груз на пружине. 3 метода решения.

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Квантовая механика 48 - Динамика гармонического осциллятораСкачать

Квантовая механика 48 - Динамика гармонического осциллятора

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.Скачать

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.

Уровни энергии квантового осциллятораСкачать

Уровни энергии квантового осциллятора

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший выводСкачать

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший вывод

Сущёв И. - Квантовая теория. Ч.2 - 1. Численные методы решения уравнения ШрёдингераСкачать

Сущёв И. -  Квантовая теория. Ч.2 - 1. Численные методы решения уравнения Шрёдингера

Классические уравнения | квантовый гармонический осциллятор | 2Скачать

Классические уравнения | квантовый гармонический осциллятор | 2

Пример. Численное решение радиального уравнения Шредингера (одноточечная разностная схема)Скачать

Пример. Численное решение радиального уравнения Шредингера (одноточечная разностная схема)

18_03_01b Ур-е Шредингера: осцилляторСкачать

18_03_01b Ур-е Шредингера:  осциллятор

Волновая функция квантового осциллятораСкачать

Волновая функция квантового осциллятора

Урок 32. Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 32. Уравнение Шрёдингера

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"Скачать

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"
Поделиться или сохранить к себе: