Решение уравнения с помощью группировки

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №1

Цель работы: Решить уравнения методами:

б) замены переменной.

Теоретическая часть работы

Способ группировки разложение на множители

Для того, чтобы разложить многочлен на множители:

1 – Объединим слагаемые попарно в группы (говорят «сгруппируем слагаемые»): два в одну группу, и два — в другую .

2 – В каждой паре вынесем за скобки общий множитель.

3 – Заметим, что оба полученных слагаемых также имеют общий множитель, который можно вынести за скобки .

Не любая группировка приводит к разложению на множители. В случае неудачи попробуйте сгруппировать по-другому, или вообще попытайтесь применить другой метод.

Рассмотрим решение уравнения способом разложения на множители на конкретном примере:

Применив способ группировки, получим:

Помня, что произведение равно 0 в случае, если один из множителей равен 0, получим корни уравнения:

Метод введения новой переменной

Пример.

.

Введем новую переменную , учитывая, что , получаем квадратное уравнение у 2 +у – 42=0 , корни которого -7 и 6. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнения и , последнее не имеет корней, т.к. арифметический квадратный корень – неотрицательное число, а первое уравнение можно решить, используя определение арифметического квадратного корня 6 2 = х 2 +11 , решение которого х=5 и х=-5.

Если уравнение можно свести к уравнению, содержащему два или несколько одинаковых выражений, то это уравнение можно решить методом замены переменной. Для этого заменяют такое выражение другой переменной, получают новое уравнение относительно новой переменной, решают его, затем осуществляют обратную замену, возвращаясь к прежней переменной.

Структурная схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Блок-схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Структурная схема программы: б) замены переменной

Блок-схема программы: б) замены переменной

Видео:7 класс, 29 урок, Способ группировкиСкачать

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Видео:Алгебра 9 класс. 12 сентября. решение уравнения методом группировки по парамСкачать

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Видео:Решение квадратных уравнений методом группировкиСкачать

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Разложение многочленов на множители с примерами решения

Содержание:

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:

• вынесении общего множителя за скобки;
• способе группировки;
• формулах сокращённого умножения;
• применении разных способов разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,

На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен

Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.

Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя:

Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.

Иногда приходится раскладывать на множители и выражения, имеющие общий многочленный множитель. Например, в выражении общий множитель b — с. Его также можно выносить за скобки:

Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,

Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.

Пусть, например, надо найти значение выражения при условии, когда

Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:

Здесь вынесено за скобки не , а тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

или

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 20.

Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

поэтому данное уравнение равносильно уравнению Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.

Значит, отсюда х = 0, или 5х — 1 = 0, отсюда х = 0,2.

Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.

Способ группировки

Разложим на множители многочлен Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение

Указанные преобразования можно записать цепочкой:

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.

Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:

Получили такой же результат.

Разложим на множители многочлен

Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.

Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен • запишем одночлен

Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Ответ.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как

Квадрат двучлена

Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.

Умножим двучлен

Следовательно,

Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.

Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:

Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:

По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе

Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:

Формулу часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, — квадрата разности двух выражений.

Для положительных чисел а и b формулу

можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов а также прямоугольников ab и ab.

Существуют и другие формулы сокращённого умножения:

Пример:

Возведите в квадрат двучлен

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Пример:

Представьте в виде многочлена выражение:

Решение:

Пример:

Представьте выражение в виде степени двучлена:

Решение:

Разность квадратов

Умножим сумму переменных а и b на их разность.

Значит,

Это равенство — тождество. Словами его читают так:

Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.

Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:

Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Пример:

Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.

Для положительных чисел а и b формулу можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.

Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.

Пример:

Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений

Решение:

— разность квадратов; — квадрат разности данных выражений.

Пример:

Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:

Решение:

Пример:

Представьте в виде двучлена выражение:

Решение:

.

Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.

Использование формул сокращённого умножения

С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:

Примеры:

Трёхчлены раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:

Примеры:

Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так:

Многочлен можно разложить на множители по формуле куба двучлена:

Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.

Например, — не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Значит, данное уравнение равносильно такому:

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда это число равно 0. А х — 2 = 0, когда х = 2.

Пример:

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Разность и сумма кубов

Выполним умножение многочленов

Следовательно, при любых значениях а и b

Трёхчлен называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:

разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Выполним умножение многочленов

Трёхчлен называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.

Примеры:

Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.

Если умножить на а — b выражения то получим формулы:

Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:

Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.

Пример:

Разложите на множители двучлен:

Решение:

Пример:

Найдите произведение многочленов: •

Решение:

Первый способ. По формуле суммы кубов:

Второй способ. По правилу умножения многочленов:

Применение разных способов разложения многочленов на множители

Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.

Пример:

Разложите на множители многочлен

Решение:

Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.

Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.

В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:

1. Вынести общий множитель (если он есть) за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение в скобках разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если это трёхчлен, то проверить, не является ли он квадратом двучлена.
4. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать группировать их и к каждой группе применить п. 1—3.

Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.

Пример:

Разложите на множители двучлен

Решение:

Прибавим к данному двучлену выражение

Пример:

Разложите на множители выражение

Решение:

Пример:

Представьте многочлен в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

Пример:

Докажите, что число делится на 31.

Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.

Исторические сведения:

Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение Ф. Виет записывал так:

Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать . Записи предложил Р. Декарт.

Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b. Итак, Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.

В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.

Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:

Напомню:

Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.

Простейшие способы разложения многочленов на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• способ группировки;
• использование формул сокращённого умножения.

Примеры:

Формулы сокращённого умножения

Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.

• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Рациональные выражения
• Квадратные корни
• Квадратные уравнения
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены
• Формулы сокращенного умножения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Произведение многочленов. Разложение многочлена на множители способом группировки. 7 класс.Скачать

Разложение многочлена на множители способом группировки. Алгебра, 7 классСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Метод группировкиСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ГРУППИРОВКИСкачать

21 задание ОГЭ Решение уравнения методом группировкиСкачать

Схема Горнера. 10 класс.Скачать

Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Разложение на множители. 7 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать