Решение уравнения пифагора в целых числах

В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.

В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а 2 + в 2 =с 2 . В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:

У меня сразу появилось желание вывести эти формулы, совершить «личное открытие», углублять знания, полученные мною самостоятельно в таких разделах математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексные числа.

В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.

Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.

Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.

Теория чисел , или высшая арифметика , — раздел математики , первоначально изучавший свойства целых чисел . В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные , а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)

Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, — это делимость . Первый круг задач теории чисел — разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа , т. е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным способом.

Алгебраическая геометрия — раздел математики , который объединяет алгебру и геометрию . Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений . Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Пифагорова тройка — это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 .

При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.

Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a 2 + b 2 = c 2 (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).

Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.

x 2 + y 2 = 1 — окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) — рис.1

Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.

Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.

y = kx + m — уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).

Теперь для нахождения Q -точек окружности:

Важно отметить, что если k – рациональное, то y , x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.

Решая систему методом подстановки, выражаем x через k .

Так как y , x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m / n , где m и n целые числа. Подставляем значения k , получаем:

x = 2 mn /( n 2 + m 2 ),

y = ( m 2 — n 2 )/( m 2 + n 2 ),

На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием.

Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a 2 + b 2 = c 2 в целых числах.

Гауссовы целые числа ( гауссовы числа , целые комплексные числа ) — это комплексные числа , у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni) 2

Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:

с выражается из исходного уравнения.

Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).

Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20 2 + 21 2 = 29 2 .

Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:

Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётно , c всегда нечётно.

Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).

Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.

Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.

Пусть a = 2m + 1, b = 2n + 1.

Получается c 2 делится на 2 , но не делится на 4 , что невозможно.

Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.

Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3 .

Если и a , и b , и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.

Если ни a , ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.

Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:

с 2 при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a , b делится на 3.

Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4 .

Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a , b , c будут делиться на 2 ), ведь a = 2 mn , а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4 .

Что и требовалось доказать.

Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5 .

При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5 m ) 2 , ( 5 m ± 1) 2 , (5 m ± 2) 2 ) .

Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):

Подставляем полученные значения, получаем, что с 2 при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 ≡ 3 ( mod 5).

2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a , ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a , либо b делится на 5.

В 1 случае получается, что с делится на 5.

Значит хотя бы одно из чисел a , b , c делится на 5.

— представлены решения уравнения a 2 + b 2 = c 2 , называющиеся формулами Евклида, разными способами;

— представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство «от противного», доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;

— представлены интересные свойства без доказательств

В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра 8 и 9 класс, М.: «Мнемозина», 2014;

2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы , М.: «Просвещение», 2014;

4. В. Серпинский «Пифагоровы треугольники», Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959;

5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра», М.: ОЛМА Медиа Групп, 2013.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать

Пифагоровы тройки. Решение уравнений в целых числах

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Пифагоровы тройки – это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство

Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка. С помощью веревки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол.
Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие.
Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т. д. являются пифагоровыми тройками.
Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими. Нашей задачей является нахождение всех простейших пифагоровых троек. Для этого рассмотрим некоторые их свойства.
Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.
Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства (*) следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.
Следствие. В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть четным.
Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечетными.
Доказательство. Если бы x = 2n – 1, y = 2m – 1, то x2 + y2= 4(n2 + m2 — n — m) + 2. Следовательно, z2 делилось бы на 2, но не делилось бы на 4. Противоречие.
Таким образом, в простейшей пифагоровой тройке (x, y, z) одно из чисел x или y четно, а другое число z нечетно. Предположим, что y четно, а x и z нечетны. Перепишем равенство (*) в виде y2= z2 – x2 = (z + x)(z – x). Заметим, что y2, (z + x), (z – x) – четные числа. Разделив левую и правую часть полученного равенства на 4 будем иметь

Обозначим Докажем, что m1 и n1 взаимно просты. Действительно, если d – их общий делитель, то d делит m1 + n1 = z и m1 – n1 = x. Противоречие.

Аналогичным образом показывается, что числа m1 и n1 не могут иметь одинаковую четность и, следовательно, одно из них четное, а другое нечетное.
Воспользуемся тем, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, то каждое из сомножителей является квадратом. Поэтому m1 = m2, n1 = n2. Подставляя полученные выражения, будем иметь

Откуда получаем формулы для x, y, z:

(**) x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2.

Непосредственная проверка показывает, что для любых натуральных m и n тройка (x, y, z) является пифагоровой.

Следующая теорема дает ответ на вопрос, какие тройки являются простейшими.
Теорема. Тройка (x, y, z), в которой x, y и z выражаются формулами (**), является простейшей тогда и только тогда, когда для чисел m и n выполняются следующие условия:
а) m и n взаимно просты;
б) m > n;
в) одно из чисел m или n четное, а другое нечетное.
Доказательство. Необходимость следует из приведенного выше построения. Покажем, что при выполнении условий а) – в) следует, что (x, y, z) – простейшая пифагорова тройка. Действительно, предположим, что x, y и z имеют простой общий делитель p. Этот делитель не может равняться двум, так как в этом случае x и y были бы четными, а из условия в) следует, что x нечетное. Пусть p > 2. Так как p делит y= 2mn, то оно должно делить m или n. Если, например, p делит m, то из равенства x= m2 – n2 следует, что p делит n, т. е. m и n не взаимно просты, как требует условие а).
Укажем несколько примеров простейших пифагоровых троек.

Если m = 2, n = 1, то x = 3, y = 4, z = 5.

Если m = 3, n = 2, то x = 5, y = 12, z = 13.

Если m = 4, n = 1, то x = 15, y = 8, z = 17.

Если m = 4, n = 3, то x = 7, y = 24, z = 25.

Укажем связь пифагоровых троек с комплексными числами, позволяющую легко запомнить формулы (**). Рассмотрим комплексное число вида m + ni, где m и n – целые числа. Возведем его в квадрат (m + ni)2 = (m2 – n2) +2mni. Модуль этого числа равен квадрату модуля числа m + ni, т. е. равен m2 + n2. С другой стороны, его квадрат равен сумме квадратов действительной и мнимой части, т. е. (m2 – n2)2 +(2mn)2. Поэтому числа

x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2.

образуют пифагорову тройку.
Аналогичным образом, используя комплексные числа можно находить целочисленные решения уравнений x2 + y2 = z3, x2 + y2 = z4 и т. д.
Например, найдем целочисленное решение уравнения x2 + y2 = z3, порожденное комплексным числом 1 + 2i. Возведем его в куб:

(1 + 2i)3 = 1 + 6i + 12i2 + 8i3 = -11 – 2i.

Следовательно, числа x = -11, y = -2, z = 12 + 22 = 5 дают искомое решение.
Обобщением уравнения (*) является уравнение вида

Французский математик Пьер Ферма (1601- 1655) на полях книги «Арифметика» Диофанта сформулировал утверждение о том, что при n > 2 это уравнение не имеет решений в натуральных числах, добавив при этом, что поля слишком малы для изложения доказательства. Соответствующая теорема получила название «Великая теорема Ферма». На протяжении более трехсот лет математики пытались найти доказательство или опровергнуть это утверждение. Л. Эйлер (1707-1783) доказал неразрешимость в натуральных числах уравнения x3 + y3 = z3. Куммер (1810-1893) и его ученики доказали неразрешимость уравнения xn + yn = zn для n, лежащих в промежутке от 3 до 100, и только несколько лет назад американский математик Э. Уайлс, с помощью современных геометрических методов, доказал теорему Ферма в общем виде.
Рассмотрим вопрос о решении в целых числах уравнения вида

где a, b – целые числа, отличные от нуля, c– целое число.
Если a и b имеют общий делитель d, а c не делится на d, то целочисленных решений нет. Если c делится на d, то разделив на d обе части уравнения, придем к уравнению, в котором коэффициенты при x и y взаимно просты.

Будем заранее предполагать, что коэффициенты a и b взаимно просты.
Рассмотрим случай, когда c = 0. Данное уравнение перепишется в виде

Оно называется однородным уравнением. Решая его относительно x, получим и, следовательно, y делится на a, т. е. имеет вид y = at. Подставляя это выражение в уравнение, получим x = — bt. Таким образом, решениями однородного уравнения являются всевозможные пары x = — bt, y = at, где t произвольное целое число.

Вернемся теперь к неоднородному уравнению. Если (x0, y0) – какое-нибудь его решение (частное решение), т. е. выполняется равенство, ax0 + by0 = c, то вычитая его из уравнения (*), получим однородное уравнение a(x-x0) + b(y-y0) = 0.

Ясно, что пара (x, y) является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда она является решением уравнения (*).

Следовательно, любое решение неоднородного уравнения может быть записано в виде

x = x0 – bt, y = y0 + at,

где (x0, y0) – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти подбором.

Задача 1. Найдите какое-нибудь частное решение уравнения 2x + 9y = 50.

Легко видеть, что одним из решений является пара (25, 0).

Задача 2. Найдите какое-нибудь частное решение уравнения 37x + 5y = 232.

Имеем, Подставляя x = 0, 1, 2, 3, 4, подбором находим частное решение (1, 39).

Общий метод нахождения частного решения дает алгоритм Евклида. А именно, для любых взаимно простых a и b алгоритм Евклида позволяет найти такие x’ и y’, для которых ax’ + by’ = 1. Умножая x’ и y’ на c, найдем искомые x0 и y0.

Покажем это на примере. Пусть требуется решить уравнение 47x + 9y = 3. Имеем 47 = 59 + 2, 9 = 42 + 1. Выразим 1 из второго уравнения 1 = 9 — 42. Подставим вместо двойки ее выражение из первого уравнения. Получим 1 = 9 – 4(47-59) = 219 – 447. Следовательно, x0 = 3(-4) = -12, y0 = 321 = 63.
Общее решение имеет вид x = -12 – 9t, y = 63 + 47t.

Задача 3. Решите уравнение в целых числах 62x + 26y = 6.

Задача 4. На складе имеются ящики с гвоздями по 17 кг и 19 кг. Можно ли отгрузить 300 кг гвоздей не раскрывая ящиков?

Задача 5. Имеются контейнеры двух видов: по 100 кг и по 170 кг. Можно ли полностью загрузить ими грузовик грузоподъемностью 3 т?

Задача 6. У продавца есть 100-граммовые гирьки и консервные банки весом по 450 г. Как с их помощью отвесить на чашечных весах 2,5 кг сахара за один раз, используя наименьшее количество гирек и банок в общей сложности?

Задача 7. Даны углы 36о и 25о. Постройте угол 1о.

Задача 8. Найдите все точки с целочисленными координатами (x, y), x 0, принадлежащие прямой 8x – 13y + 11 = 0.

Решение. Решений нет.

Рассмотрим еще несколько задач на решение уравнений в целых числах.

Задача 9. Решите уравнение в целых числах x2 – y2 = 31.

Задача 10. Найдите все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.
Решение. Перепишем условие в виде уравнения x + y = xy. Оно эквивалентно уравнению (x-1)(y-1) = 1. Произведение целых чисел равняется единице только в случаях x – 1 = 1, y – 1 = 1 и x – 1 = –1, y – 1 = –1. Следовательно, имеем две пары решений: x = 2, y = 2 и x = 0, y = 0.
Задача 11. Найти все решения в целых числах уравнения xy + 3x – 5y = –3.
Решение. Перепишем уравнение в виде (x-5)(y+3) = -18. Число –18 можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими способами: -18 = (-18)1= (-9)2 = (-6)3 = (-3)6 = (-2)9 = (-1)18 = 1(-18) =2(-9) = 3(-6) = 6(-3) = 9(-2) = 18(-1). Каждый из них дает соответствующее решение.
Задача 12. Решите уравнение в натуральных числах x2 + x + 1 = y2.

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно x. Тогда . Для того, чтобы x было целым числом, необходимо, чтобы 4y2 – 3 было точным квадратом, т. е. 4y2 – 3 = z2. Тогда (2y – z)(2y + z) = 3, следовательно, y = 1, z = ; y = -1, z = .

Ответ. x = 0, y = 1; x = –1, y = 1; x = 0, y = –1; x = –1, y = –1.

Задача 13. Решить в целых числах уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде (x-2)(y-2) = 4. Для того, чтобы решить это уравнение нужно выписать все делители числа 4.
Задача 14. Найти тройки натуральных чисел, для которых сумма их обратных величин равна единице.
Решение. Искомые тройки чисел удовлетворяют уравнению

Заметим, что числа x, y, z не могут быть одновременно большими трех. Так как в этом случае сумма обратных величин будет меньше 1. Пусть z – наименьшее из них. Возможно только два случая: z = 2 и z = 3. Их рассмотрение аналогично решению задачи 3.

Задача 15. Решите в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.

Решение. Перепишем уравнение в виде (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – y)2 = 2.

Задача 16. Решите в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz = 3.

Решение. Перепишем уравнение в виде (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 = 6.

Задача 17. Решите в натуральных числах уравнение 5n + 12n = 13n.

Решение. При n = 2 получаем верное равенство. При увеличении n на 1 правая часть увеличивается в 13 раз, а левая – в меньшее число раз. Следовательно, n = 2 является единственным решением.

Задача 18. Решите в целых числах уравнение 3x – 2y = 1.

Решение. Если y = 1, то x = 1. Если y > 1, то из рассмотрения остатков при делении на 4 следует, что x четно, т. е. x = 2n. Перепишем уравнение в виде 32n – 1 = 2y. Тогда (3n – 1)(3n + 1) = 2y. Следовательно, 3n – 1 = 2t, 3n + 1 = 2s (t

Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

Исследовательская работа «Пифагоровы тройки»
проект по геометрии (9 класс) на тему

Данныая работа была представлена на НПК «Шаг в будущее»

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Скачать:

Видео:Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать

Предварительный просмотр:

Научно-практическая конференция школьников

Коренева Кристина Дмитриевна,

МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1 г. Улан-Удэ

Россия, Республика Бурятия, г.Улан-Удэ

Бадинова Жанна Станиславовна, учитель математики.

МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1 г.Улан-Удэ

Глава I. Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения…………… 4-7

Глава II. Практическое применение пифагоровых троек…………………………………………………8-9

Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учеными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдет речь в данной работе – изучить свойства пифагоровых троек, способ их получения, а также выяснить их практическое применение. Данная проблема представляет особую актуальность, так как в школьной программе по геометрии эта тема практически не рассматривается, но при решении планиметрических задач часто встречается. И поэтому у школьников такие задачи, связанные с применением пифагоровых троек, вызывают затруднения.

Цель данной работы – обосновать теоретическую и практическую значимость пифагоровых троек в области математики и в жизнедеятельности человека.

1. Установить способы получения пифагоровых чисел.
2. Изучить свойства примитивных пифагоровых троек, составить их таблицу.
3. Изучить материал, связанный с теоремой Ферма и попытками ученых всего мира доказать ее.
4. Выявить практическое применение пифагоровых троек.

Объект и исследования : уравнение Пифагора.

Предмет исследования : пифагоровы тройки.

Методы исследования : анализ и синтез полученных фактов из литературы по теме, систематизация полученных знаний, моделирование реальных ситуаций.

Глава I.Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения.

1.Уравнение Пифагора и пифагоровы тройки.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к одной из «величайших» проблем теории чисел – проблеме, ростки которой появились задолго до Пифагора – в Древнем Египте и Вавилоне. Задача Пифагора в современных терминах может быть сформулирована так: «решить в натуральных числах неопределенное уравнение x 2 + y 2 = z 2» . Это уравнение называется «пифагоровым», так как выражает известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Геометрический смысл данного уравнения заключается в том, что для всякой тройки положительных чисел х, у и z, такой, что x 2 + y 2 = z 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами х, у и гипотенузой z.

Тройка натуральных чисел ( х, у, z), которая является решением данного уравнения называется пифагоровой тройкой, а прямоугольные треугольники с такими сторонами называются пифагоровыми треугольниками. Например, (3,4,5) является пифагоровой тройкой. Прямоугольный треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5, называется еще и египетским, так как (как известно из школьной программы геометрии) его использовали в Древнем Египте для построения прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Интересно, что площадь этого треугольниеа равна совершенному числу 6, а периметр равен 12 – число, которое считалось символом счастья и достатка. Пирамиды месопотамского фараона Снофру (XXVIIв. до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Также сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. На них даже встречаются такие тройки, как (12709, 13500 и 18541). Нет сомнений, что такие числа были найдены не простым перебором, а по неким правилам.

2. Способы нахождения пифагоровых троек.

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением неопределенного уравнения x 2 + y 2 = z 2 ?

Способ первый: Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой подпишем разность между последовательными квадратами:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 .

3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 25 , 27 .

А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9 = 3^2 , над ними 16 = 4^2 и 25 = 5^2 — знакомая нам пифагорова тройка (3, 4, 5).

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдете 49 = 7^2 , этому числу отвечают в строке квадратов 576 = 24^2 и 625 = 25^2 . И действительно, 7^2 + 24^2 = 25 . Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.

Но, составлять такие последовательности довольно скучное и трудоемкое занятие. По формуле находить такие тройки и проще и быстрее.

Способ второй: Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Пусть (x, y, z,) – пифагорова тройка и x –нечетное число. Тогда y = (x^2-1)/2 и z =(x^2+1)/2. По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если x = 3, то y =(3^2-1)/2=4 , z = 3^2+1/2=5, получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если x = 5, то y = (5^2-1)/2 =12, z = (5^2+1)/2=13, вторая тройка (5, 12, 13).

Если x = 7, то y = (7^2-1)/2=24 , z = (7^2+1)/2=25, третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ третий: Теперь установим правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

х^2 = z^2 – y^2 или х^2 = (z – y)(z + y)

Это значит, что число x^2 должно раскладываться на два неравных множителя (z + y) и (z–y), которые мы обозначим так, что получится система:

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа m и n? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:

z = m^2 + n^2, y = m^2 – n^2, тогда подставляя в равенство для х^2, получаем, что x = 2mn, где m и n – произвольно взятые взаимно простые натуральные числа, причем m>n.

Применяя указанные формулы, легко найти все решения уравнения x 2 + y 2 = z 2 в натуральных числах. Например: пусть m = 9, n = 7 , где m>n.

Решим уравнение по формулам:

x = 2mn, x = 2* 9 *7 = 126;

y = m^2 – n^2, y = 81 – 49 = 32;

z = m^2 + n^2, z = 81 + 49 = 130.

Действительно, 126 + 32 = 130, так как 15876 + 1024 = 16900

Ответ: 126, 32, 130.

3.Примитивные пифагоровы тройки и их свойства.

Пифагоровы тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются примитивными (или простейшими). Например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41) и так далее. То есть, числа, входящие в примитивную тройку должны быть взаимно простыми. Ясно, если (х, у, z) примитивная тройка, то для любого натурального n – тройка (nx,ny,nz) тоже будет примитивной, то есть любую пифагорову тройку можно получить из примитивной умножением каждого ее члена на натуральное число.

Пифагор нашел формулы для нахождения примитивных троек, которые в современной символике могут быть записаны так:

х = 2n + 1, y = 2n(n + 1), z = 2n + 2n + 1, где n- натуральное число.

Перечислим свойства примитивных пифагоровых троек:

Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.

Следствие : В примитивной пифагоровой тройке одно число может быть четным.

Свойство 2. В примитивной пифагоровой тройке (x, y, z) числа x и y не могут быть одновременно нечетными.

Свойство 3 . Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 3.

Свойство 4 .Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 4.

Свойство 5. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 5.

4. Великая теорема Ферма

Начатое Пифагором исследование «безобидного» уравнения x 2 + y 2 = z 2 привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел – исследование в целых числах уравнения x n + y n = z n .

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик Пьер Ферма высказал в 1637 году предположение, что для любого натурального числа n, большего 2, уравнение x n + y n = z n не имеет решений в натуральных числах. Сам Ферма доказал эту теорему для случая n = 4, Эйлер в 1770 году доказал для случая n = 3, Дирихле и Ленеандр в 1825 – для n = 5, Ламе – для n = 7, Кумер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов – любителей. И лишь в 1995 году ( после 7 лет напряженной работы) эту теорему окончательно доказал английский математик, профессор Пристанского университета Эндрю Уайлс.

Таким образом,, великая и неприступная на протяжении нескольких столетий теорема Ферма доказана.

Итак, обобщая сказанное в первой главе, можно сделать вывод — теперь стало понятно как древние египтяне и пифагорейцы находили подобного рода тройки чисел, рассмотренные способы позволяют без труда составлять пифагоровы тройки и применять их при решении неопределенных уравнений второй степени с тремя неизвестными. В результате выявления свойств примитивных троек, а так же формул Пифагора, можно составить таблицу примитивных пифагоровых троек, которые в дальнейшем можно использовать для решения задач. (см. приложение 1).

Глава II. Практическое применение пифагоровых троек.

Пифагоровы тройки имеют огромное практическое применение. Рассмотрим для примера несколько задач:

Задача №1 Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.

Решение: Спичка здесь – эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом, равным 12 спичкам. Среди примитивных пифагоровых троек двух таких троек нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной. Но, можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 и с высотой 12 спичек.

Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4•3, 3•3, 5•3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14 и с высотой 12 спичек.

Оба решения показаны на рисунке:

Задача №2 Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.

Решение: для решения данной задачи можно воспользоваться задачей №1. Задача №3 В треугольник, со сторонами 5, 12 и 13 проведена медиана к большей стороне. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые медиана разбивает этот треугольник.

Решение: Заметив, что (5,12,13) – пифагорова тройка чисел, значит, треугольник с такими сторонами – прямоугольный. Воспользовавшись свойством медианы прямоугольного треугольника, легко увидеть, что получилось два равнобедренных треугольника с вписанными в них окружностями, что

позволяет легко найти расстояние между центрами этих окружностей. Если не заметить, что данный в задаче треугольник прямоугольный, то решение будет намного длиннее.

Задача №4 Найти cos , tg и ctg , если sin = 24/25, если – угол второй четверти.

Решение : Конечно , данную задачу можно решить с помощью тригонометрических тождеств, но с помощью пифагоровой тройки (7,24,25) решение будет намного быстрее.

Исходя из определения cos, tg и ctg острого угла прямоугольного треугольника, учитывая, что числа 7 и 24 – это катеты, а 25 – гипотенуза и, зная, в какой четверти находится угол, записываем:

cos = — 7/25, tg = — 24/7, ctg = — 7/24.

Задача №5 При оформлении фасада дома мозаикой, требуются разноцветные равные прямоугольные треугольники из стекла, с целочисленными сторонами и с катетом 10 см. Требуется определить, какими должны быть другие стороны данных треугольников.

Решение: Заданный катет – четное число, значит х = 10 = 2mn, где m>n и они взаимно простые числа. Возможна единственная комбинация m и n – это 5 и 1. Так как 2*5*1=10. Остальные стороны равняются у=m^2-n^2=24, z=m^2+n^2=26. Таким образом, ответ – это треугольники со сторонами 10см, 24 см и 26 см.

Задача №6 Известно, что угол наклона пандуса для передвижения инвалидов на колясках внутри и снаружи здания должен быть не больше 5 градусов и высотой, не превышающей 80 см. От жильцов дома, строительной организации поступил заказ — построить пандус для инвалида-колясочника. Какой длины должен быть пандус, удовлетворяющий этим требованиям?

Решение: Можно считать, что пандус имеет форму прямоугольного треугольника. Тангенс 5 градусов приближенно равен 0,0875. Использую таблицу примитивных пифагоровых троек, можно легко найти нужную тройку чисел, которая удовлетворяет условию, что, катет, противолежащий углу в 5 градусов в прямоугольном треугольнике, должен быть не более 80 см. Учитывая реальность ситуации подбором получаем, что нужные нам тройки – (25,312,313) или (27,364,365). Следовательно, пандус может иметь длины 25 см, 312 см, 313 см или 27 см, 364 см, 365 см.

В результате, можно сделать вывод, что пифагоровы тройки, их свойства и способы получения, значительно упрощают решение многих планиметрических задач, а так же нашли широкое применение в реальных жизненных ситуациях.

В заключении хочется отметить, что работа над проектом позволила узнать материал, которого нет в школьной программе. К сожалению, полностью показать все аспекты научной теории, связанной с уравнением Пифагора и пифагоровыми тройками, а так же множества практических задач из алгебры, геометрии и практической деятельности человека, не позволяет объем данной работы. Однако, опираясь на поставленные задачи, удалось раскрыть важность исследуемой темы.

Изначально были выявлены базовые теоретические знания, включающие описание общих понятий об уравнении Пифагора и пифагоровых тройках. На базе полученных знаний были выявлены способы их получения и свойства. Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке и в жизнедеятельности человека.

🌟 Видео

16. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 1. Алексей Савватеев. 100 уроков математикиСкачать

Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ➜ Решите уравнение в целых числах 4x+5y=6Скачать

Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать

19 задача | Уравнения в целых числах | ЕГЭ профильная математикаСкачать

САМЫЕ СЛОЖНЫЕ Задания #6 ЕГЭ 2024 (Тригонометрические Уравнения) | Школа ПифагораСкачать

Визуализация всех возможных пифагоровых троек [3Blue1Brown]Скачать

Линейные диофантовы уравненияСкачать

Теорема ПифагораСкачать

РЕШАЕМ ДИОФАНТОВОЕ УРАВНЕНИЕ | ПРОСТЫМИ СЛОВАМИСкачать

Формула Пифагоровых троек. Разложение на взаимно-простые целые числа. Окончательный вывод формулыСкачать

Основная теорема о наибольшем общем делителе | Решение уравнений в целых числахСкачать

Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!Скачать

ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

Решить уравнение в целых числахСкачать

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать