Решение уравнения методом касательных метод ньютона

Видео:Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

2. Примеры правильного написания F(x) :
   1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
   2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
   3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
   4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

   Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
   Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

   1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
   2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

   Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

   

   Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

   Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

   Видео:Метод Ньютона (Метод касательных)Скачать

   

   Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

   Видео:Численный метод Ньютона в ExcelСкачать

   

   Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

   Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.

   Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ( лат .О б анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum ( лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica ( лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x_n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

   Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x_n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.

   Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

   В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .

   Рис.1 . График изменение функции

   Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α ( ). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения . Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения . В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i -итерации производится по формуле:

   Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.

   Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:

   где ˗ допустимая погрешность определения корня.

   Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.

   Математическое обоснование

   Пусть дана вещественная функция , которая определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень рассматриваемой функции.

   Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение приводят к эквивалентному уравнению при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .

   Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции должен соответствовать экстремуму функции .

   Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:

   Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :

   С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:

   Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

   Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ).

   2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

   3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае:

   — если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

   — если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

   Пример решения уравнений

   по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона для уравнения с одной переменной . Корень необходимо найти с точностью в качестве первого приближения .

   Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD представлен на рисунке 3.

   Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

   Рис.2 . Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   Для обеспечения заданной точности при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

   Рис.3 . Листинг программы в MathCad

   Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной

   Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.

   Упрощенный метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’( x_n ) в точке x_n в формуле на производную f’(x₀) в точке x₀. В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле:

   Таким образом, на каждом шаге расчета строятся прямые , которые параллельны касательной к кривой y=f(x) в точке B₀ (см. рис.4). Преимуществом данного метода является то, что производная функции вычисляется один раз.

   Разностный метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

   В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:

   Двух шаговый метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

   В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:

   Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . В методе необходимо задавать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода будет линейной.

   Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

   Видео:Метод касательных (алгоритм Ньютона) на C#Скачать

   

   VMath

   Инструменты сайта

   Основное

   Навигация

   Информация

   Действия

   Содержание

   Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

   Видео:Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)Скачать

   

   Метод Ньютона решения уравнения

   Пусть $ f_(x) $ — полином с вещественными коэффициентами, $ deg f ge 2 $, и $ lambda $ обозначает его корень, лежащий на интервале $ ]a,b[ $. Пусть, кроме того, $ f^(x)ne 0 $ на указанном интервале, тогда $ lambda_ $ — единственный корень полинома на $ ]a,b[ $. При произвольном $ x_0 in ]a,b[ $ выпишем формулу Тейлора $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+dots ,$$ ограничившись в ней двумя первыми слагаемыми. Вместо уравнения $ f_(x)=0 $ будем рассматривать его линейное приближение $ f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=0 $. Утверждается, что достаточно часто (в смысле выбора точки $ x_ $) решение этого уравнения, т.е. точка $$ x_1= x_-frac<f(x_)><f'(x_)> $$ лежит ближе к (неизвестному нам заранее) значению корня $ lambda $, чем точка $ x_ $. Можно утверждать и большее: при подходящем выборе $ x_ $ итерационная последовательность $$ left< x_j= x_-frac<f(x_)><f'(x_)> right>_^ $$ будет сходиться к $ lambda_ $ при $ jto + infty $.

   Метод поиска вещественного решения уравнения $ f(x)=0 $ построением указанной последовательности известен как метод Ньютона или же (см. ☟ ПУНКТ) как метод каcательных.

   Биографические заметки о Ньютоне ☞ ЗДЕСЬ.

   Теорема 1. Если полином $ f_(x) $ не имеет кратных корней и последовательность $ _^ $ сходится к конечному пределу, то этот предел является корнем $ f_(x) $.

   Доказательство. Пусть $$ lim_ x_j = A , $$ тогда и $$lim_ x_ = A . $$ По непрерывности $ f_(x) $ и $ f^(x) $ будет выполнено $$lim_ f(x_)= f(A) , quad lim_ f^(x_)= f^(A) , $$ и, по предположению, числа $ f(A) $ и $ f^(A) $ не могут одновременно обращаться в нуль. Если бы число $ f^(A) $ было равно нулю, то последовательность $ _^ $ была бы неограниченной, а у нее же, по предположению теоремы, существует конечный предел. Следовательно $ f^(A)ne 0 $. При переходе в равенстве $$ x_j= x_-frac<f(x_)><f'(x_)> $$ к пределу при $ jto + infty $, равенство должно сохраниться: $$ A= A- frac quad Rightarrow quad frac=0 quad Rightarrow quad f(A)=0 .$$ ♦

   Наша задача теперь заключается в подборе такого стартового (начального) значения $ x_ $, чтобы последовательность $ _^ $ сходилась к определенному корню полинома, например, лежащему на данном интервале $ [a,b] $. Нам потребуется следующий результат из математического анализа.

   Теорема 2. Если функция $ F_(x) $ и ее производные $ F^(x) $ и $ F^(x) $ непрерывны в $ ]a,b[ $, то для любых значений $ x_ $ и $ x_ $ из этого интервала будет справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

   $$ F(x)equiv F(x_0)+F^(x_0)(x-x_0)+ frac<F^(c)>(x-x_0)^2 $$ где значение $ c_ $ принадлежит интервалу $ ]x_0,x[ $ при $ x>x_0 $ или $ ]x,x_0[ $ при $ x 0 $ и $ f^(x)>0 $ на $ ]a,b[ $, иначе говоря, функция возрастает и выпукла вниз; согласно правилу выбора начальной точки $ x_ $ мы должны взять ее из условия $ f(x_0)>0 $, т.е. ближе к правому концу интервала. Имеем, следовательно $ x_0>lambda $. Докажем, что значение $ x_ $, вычисляемое по формуле $$ x_1= x_-frac<f(x_)><f'(x_)> , $$ будет удовлетворять условиям $ lambda lambda $ запишем для $ f_(x) $ формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: $$ f(x)equiv f(x_0)+f^(x_0)(x-x_0)+ frac<f^(c)>(x-x_0)^2 . $$ Подставим вместо $ x_ $ значение корня $ lambda_ $: $$ 0=f(x_0)+f^(x_0)(lambda-x_0)+ frac<f^(c)>(lambda-x_0)^2 , $$ перенесем первые два слагаемые в левую часть и поделим получившееся равенство на $ f^(x_0) $: $$ left(x_-frac<f(x_)><f^(x_)> right) — lambda = frac<f^(c)><2!, f^(x_)>(lambda-x_0)^2 . $$ В левой части получили $ x_1 — lambda $. По предположению, $ f^(c)>0 $ и $ f^(x_)>0 $, следовательно правая часть неотрицательна. Итак, $ x_1 > lambda $.

   Совершенно аналогично доказывается, что $ lambda ♦

   При выполнении условий теоремы $3$ скорость сходимости последовательности метода Ньютона оценивается неравенством

   Пример. Найти положительный корень полинома $ x^5-4, x -2 $ с точностью до $ 0.001 $.

   Решение. На основании правила знаков Декарта делаем вывод, что $ f_(x) $ имеет положительный корень и этот корень единствен. Далее, $ f(1) 0 $ и, на основании теоремы Больцано, этот корень принадлежит интервалу $ ]1,2[ $. Далее, $$f^(x)=5,x^4-4>0, f^(x)>0 quad npu quad xin ]1,2[ ,$$ т.е. мы находимся точно в условиях случая, рассмотренного в доказательстве теоремы $ 3_ $. Запускаем итерационную последовательность, полагая $ x_0=2 $: $$x_1 =x_0-frac=frac approx 1.710526316 . $$ Далее, последовательное применение формулы метода Ньютона дает: $$ begin x_2 &= x_1- displaystyle frac =frac &approx 1.561019630 , \ x_3 &= x_2- displaystyle frac & approx 1.521115751 , \ x_4 & & approx 1.518522614 , \ x_5 & & approx 1.518512153 . end $$

   Ответ. $ lambda approx 1.518 $.

   Видео:11 Метод Ньютона (Метод касательных) Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Геометрическая интерпретация: метод касательных

   Геометрическая интерпретация метода Ньютона заключается в следующем. Для определенности предположим, что $ f^(x)>0,, f^(x)>0 $ на $ ]a,b[ $. Возьмем $ x_ $ ближе к правому концу указанного интервала, т.е. пусть $ f(x_0)>0 $. Проведем касательную к графику функции $ y=f(x) $ в точке $ (x_0,f(x_0)) $: $$frac=f^(x_0) $$ и найдем ее точку пересечения $ (x_1,y_1) $ с осью абсцисс.

   

   Легко вычислить координаты этой точки: $$y_1=0, x_1=x_0 — frac<f^(x_0)> ;$$ иначе говоря, $ x_ $ определяется как раз по формуле метода Ньютона. Из рисунка видно (а в теореме $ 3_ $ строго доказывается), что точка $ x_ $ лежит ближе к неизвестному нам значению корня $ lambda_ $ полинома $ f_(x) $, чем точка $ x_ $. Поэтому имеет смысл повторить процедуру: построить касательную к графику в точке $ (x_1,f(x_)) $, найти ее пересечение $ (x_,y_2) $ с осью абсцисс и т.д.

   

   В конце концов, монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность точек $ x_0,x_1,x_2,dots $ попадет в сколь угодно малую окрестность $ lambda_ $. Эти геометрические соображения обосновывают и другое название метода Ньютона; он также называется методом касательных.

   Выбор стартового значения ближе к правому концу интервала обеспечивает монотонное убывание последовательности $ _^ $ также в случае когда на этом интервале имеют место неравенства $ f^(x) 0 quad u quad f^(x)>0,, f^(x) МЕТОД НЬЮТОНА .

   Пример. Найти корень полинома $ x^5-4, x -2 $ на интервале $[1,2] $ с точностью до $ 0.001 $.

   Решение. При выборе $ x_0 =2 $ требуемая точность достигается за три итерации $$ x_1 = frac approx 1.622321, x_2approx 1.521381, x_3 approx 1.518512 , . $$

   По сравнению с пятью итерациями метода Ньютона — существенный выигрыш. Проблема только в том, что каждая итерация теперь стоит дороже: она более сложна при вычислении.

   Видео:15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Метод Галлея (касательных гипербол)

   Геометрическая идея, лежащая в основе метода Галлея 1) , обобщает идею метода касательных. К графику функции $ y=f(x) $ строится гипербола вида $$ (x-alpha)(y-beta)=k , $$ имеющая в точке $ (x_0,f(x_0)) $ касание с графиком второго порядка, т.е. значения функции $$ y=beta+frac , $$ а также значения ее первой и второй производных в точке $ x_0 $ совпадают с соответствующими значениями для функции $ f_(x) $. В качестве очередного приближения $ x_ $ к неизвестному корню $ lambda_ $ берется точка пересечения гиперболы с осью абсцисс. $$ left<x_j=x_- frac<f(x_)f^(x_)><left[f^(x_)right]^2-fracf(x_)f^(x_)> right>_^ . $$

   

   Видео:Вычислительная математика. Метод касательных на Python(1 практика).Скачать

   

   Обобщения

   Видео:Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать

   

   Целые числа

   Задача. Для заданного натурального числа $ B_ $ установить является ли оно полным квадратом и в этом случае определить $ sqrt $.

   Теорема. Пусть $ B_0 $ — произвольное целое такое, что $ B_0^2>B $. Последовательность

   $$ B_j = begin leftlfloor begin B_+ leftlfloor displaystyle frac<B_> rightrfloor_ \ hline 2 end rightrfloor \ end quad npu jin , $$ монотонно убывая, сойдется за конечное число шагов к значению $ leftlfloorsqrt rightrfloor $, если только число $ B+1 $ не является полным квадратом. Здесь $ lfloor rfloor $ означает целую часть числа.

   Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

   Видео:1 4 Метод Ньютона касательныхСкачать

   

   Комплексные числа

   Формально ничто не мешает нам применить последовательность метода Ньютона для поиска мнимых корней полинома $ f_(x) $. Можно доказать комплексный аналог теоремы $ 3_ $ , а также показать сходимость итерационной последовательности к конкретному корню полинома при условии, что стартовое (начальное) значение выбирается достаточно близко к искомому корню. Интересно посмотреть на поведение последовательности уже для самых простых случаев. Пусть, например, $$ f(z)=z^3-1 , , $$ т.е. наша задача заключается в поиске трех корней кубических из $ 1_ $: $$1,quad -frac + mathbf i frac<sqrt> ,quad -frac — mathbf i frac<sqrt> . $$ Комплексный вариант последовательности метода Ньютона: $$ left<z_j = frac<2,z_^3+1><3,z_^2> right>_^ $$ при задании стартового значения $ z_ $ «выведет» нас при $ jto infty $ к какому-то значению корня. Итак, вся комплексная плоскость может быть поделена на три «области притяжения» каждого из корней. Раскрасим эти множества в разные цвета. Какова будет граница между этими областями? — Оказывается, эта граница имеет так называемую фрактальную структуру; и каждая граничная точка любой области является также граничной для двух других областей 2) .

   

   Если начальную точку $ z_0 $ выбрать на этой границе, то последовательность метода Ньютона будет бесконечно долго скакать по ней, не сходясь ни к какому корню. При выборе $ z_0 $ близко к границе, мы, теоретически, должны получить последовательность, сходящуюся к какому-то корню. Однако ошибки округления, накапливающиеся с каждой итерацией, могут снова привести к непредсказуемости ни качества сходимости (к конкретному корню) ни количества итераций, требуемых для достижения заданной точности.

   Видео:Метод Касательных - ВизуализацияСкачать

   

   Системы нелинейных уравнений с несколькими неизвестными

   Проблемы сходимости комплексного варианта метода Ньютона, отмеченные в предыдущем пункте, наследуются и обобщением метода Ньютона для задачи решения системы нелинейных уравнений с несколькими неизвестными. Действительно, задача поиска комплексных корней уравнения $ z^3-1=0 $ эквивалентна поиску вещественных решений системы уравнений $$ x^3-3, xy^2-1=0, 3, x^2y-y^3=0 , . $$

   Развитие метода Ньютона для решения системы уравнений

   $$ f(x,y)=0, g(x,y)=0 $$ при $ f, g $ — произвольных полиномах с вещественными коэффициентами обсуждается ☞ ЗДЕСЬ

   Видео:Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

   

   Задачи

   Видео:Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

   

   Источники

   [1]. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.Физматгиз. 1960

   🔍 Видео

   Метод касательных для приближённого решения алгебраических уравненийСкачать

   

   Метод Ньютона (касательных) и хорд Численное решение уравнения c++Скачать

   

   Метод Ньютона (касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Численные методы - Занятие 2: Численное решение уравнения методом НьютонаСкачать

   

   Метод касательныхСкачать