Решение уравнения методом хорд эксель

Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».

Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.

Задачи урока:

• обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
• развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
• воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Программа Turbo Pascal;
• Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.

I. Организационный момент

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»

Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления

Вопросы:

• Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
• Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.

III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема

IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP

Задания для учащихся первой группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001

Задания для учащихся второй группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.

V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»

VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд

Вопросы:

• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты точки пересечения с осью ОХ.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
• Изобразите блок-схему алгоритма блок-схема2

Этапы решения задачи

• Содержательная постановка задачи. Решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1,4; 1,4] с точностью = 0,001.
• Визуализация решения задачи с помощью построения графика заданной функции с помощью процессора MS Excel, используя метод подбора параметра определить корень уравнения.
• Формальная математическая модель.
  • Задание математической формулы для отыскания корня уравнения на отрезке
  • Задание системы ограничений при использовании циклического алгоритма
  • Требование к диапазону задания переменных

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x₁ = a, x₂ = в, y₁ = f(a), y₂ = f(в).

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

• Блок схема алгоритма решения задачи блок-схема2
• Программа на языке Turbo Pascal метод хорд ТР
• Заполнение расчетной таблицы в программе MS Excel метод хорд xls

Видео:Численный метод Ньютона в ExcelСкачать

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Скачать:

Видео:Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Видео:Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)Скачать

Решение уравнений методом хорд в excel

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Видео:1,2 Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

Скачать:

Видео:Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательныхСкачать

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е – заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Метод хорд [7] заключается в замене кривой y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) (см. рис. 2.6). Абсцисса точки пересечения прямой с осью OX принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая y нулю, найдем x:

.

Рис.2.6. Метод хорд

Алгоритм метода хорд:

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к 5).

5) Выводим значение корня x_k.

Замечание.Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 2.6, a)) или вогнутый вниз (рис. 2.6, b)). Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.

Пример 2.6. Применим метод хорд к уравнению sin 5x + x 2 – 1 = 0 и отрезку [0,2; 0,3] для определения корня с точностью до ε = 0,001.

Решение. Проведем расчеты в программе Excel:

1) В ячейки A1:H1 запишем заголовки столбцов как в табл. 2.6;

2) В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2

Решение в программе Mathcad:

Как видим, результаты расчетов согласуются с предыдущими ответами.

Приведем программу, которая реализует метод хорд на языке C++:

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double hord(PF f,double a, double b,double eps, int Kmax);

double a, b, x, eps;PF pf; int Kmax;

x = hord(pf,a,b,eps, Kmax); cout > a;

double f(double x) 0) b = xk1;

>while (xerr > eps);

Результат расчета для примера 2.6:

Press any key & Enter

Как видим, результат совпадает с предыдущими расчетами.

Дата добавления: 2015-04-25 ; Просмотров: 3757 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».

Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.

Задачи урока:

• обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
• развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
• воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Программа Turbo Pascal;
• Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.

I. Организационный момент

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»

Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления

Вопросы:

• Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
• Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.

III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема

IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP

Задания для учащихся первой группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001

Задания для учащихся второй группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.

V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»

VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд

Вопросы:

• Запишите уравнение, позволяющее определить координаты точки пересечения с осью ОХ.
• Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
• Какое действие в алгоритме повторяется?
• Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
• Изобразите блок-схему алгоритма блок-схема2

Этапы решения задачи

• Содержательная постановка задачи. Решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1,4; 1,4] с точностью = 0,001.
• Визуализация решения задачи с помощью построения графика заданной функции с помощью процессора MS Excel, используя метод подбора параметра определить корень уравнения.
• Формальная математическая модель.

• Задание математической формулы для отыскания корня уравнения на отрезке
• Задание системы ограничений при использовании циклического алгоритма
• Требование к диапазону задания переменных

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x₁ = a, x₂ = в, y₁ = f(a), y₂ = f(в).

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

• Блок схема алгоритма решения задачи блок-схема2
• Программа на языке Turbo Pascal метод хорд ТР
• Заполнение расчетной таблицы в программе MS Excel метод хорд xls

🎬 Видео

Метод Ньютона для решения нелинйеных уравнений в MS ExcelСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Решение нелинейного уравнения методом хордСкачать

Метод секущихСкачать

Решение нелинейного уравнения методом хорд (секущих) (программа)Скачать

Метод хордСкачать

Метод хорд для приближённого решения алгебраических уравненийСкачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

5.1 Численные методы решения уравнений F(x)=0Скачать

метод хордСкачать

Решение уравнений с помощью ExcelСкачать

Метод Хорд - ВизуализацияСкачать

12 Метод Ньютона (Метод касательных) Excel Calc Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать