Решение уравнений высших степеней введением новой переменной (4 видео)

Содержание

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.
Просмотр содержимого документа «Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.»
Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс
📹 Видео

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Видео:Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
gorner.docx	99.68 КБ

Видео:11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х 2 -9) 2 -8(х 2 -9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:

t 2 -8t+7=0, D=b 2 -4ac=36, t 1 =7; t 2 =1.

Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.

Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.

Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =

Решим второе уравнение х 2 — х – 20 = 0, D =81, х 3 = — 4, х 4 = 5.

Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = — 4, х 4 = 5.

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,

(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:

х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73

(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.

Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,

х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,

х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим

Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:

а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1) 2 =(х-1) 2 ; 2) (х-1) 2 =9(х+1) 2 .

х 2 +2х+1=х 2 -2х+1, 2) х 2 -2х+1=9х 2 +18х+9,

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .

Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:

х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,

x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,

Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:

(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:

t 2 +t-90=0, D=1+360=361,

t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:

х 2 +10х+9=0, D=100-36=64

х 2 -9х+9=0, D=81-36=45

Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =

Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)

Видео:Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)Скачать

Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.

Учебный проект » Решение уравнений высших степеней» выполнила ученица 8б класса.

Просмотр содержимого документа
«Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.»

Алгебраические уравнения высших степеней

Ученица 8б класса

Затеева Валентина Павловна

Цели работы : Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

Уравнения с одной переменной степени выше второй

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Основные методы решения уравнений высших степеней :

1.Метод введения новой переменной

Одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.

Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:

(x 2 +4x)(x 2 +4x-17)=-60

Пусть х²+4х=t, тогда t(t-17)=-60

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2 ) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

В ходе исследовательской работы я познакомилась с основными методами решения уравнений высших степеней. Так же рассмотрела их решение. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма

Ерёмин М.А. Уравнения высших степеней-Арзамас,2003
Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней
Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней

Видео:8 класс, 35 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

Организационный момент.
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
Актуализация знаний учащихся.
Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
Подведение итогов.
Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
Домашнее задание.
Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

Понятие уравнения с одной переменной.
Понятие корня уравнения, решения уравнения.
Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 , где P_n(x) = a_nx n + a_n-1x n-1 + a₁x + a₀ – многочлен n-й степени от x, a_n ≠ 0 . Если a_n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2, x₃ = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3; +5; +15>. Применим схему Горнера:

x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 – 9 = -8	1 х (-8) + 23 = 15	1 х 15 – 15 = 0	1 – корень
x 2	x 1	x 0

Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3>. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. <+1; +3; +9> Следовательно, корни будем искать среди значений <+1; +; +; +3>. Применим схему Горнера:

x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
x 2	x 1	x 0

Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x₁ = , x₂ = — , x₃ = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

Если можно воспользоваться заменой вида y = kx.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3 ) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x₁ = -2, x₂ = 1.

Метод замены переменной.

Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней. Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x 8 – x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
Использование свойства монотонности функций. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x 5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x 4 + (x – 1) 4 = 97 имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

Формула Кардано
Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.