Решение уравнений высших степеней курсовая

Видео:Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

Научно-исследовательская работа на тему: «Уравнения высших степеней и способы их решения»

Видео:11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Подписи к слайдам:

Научно-исследовательская работа « Уравнения высших степеней и способы их решения » в ыполнил: Додыченко Степан у ченик 9 «Б» класса МБОУ Усть-Элегестинской СОШ р уководитель: Ильина Н.А., учитель математики

Актуальность выбранной темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением различных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: изучить уравнения высшей степени и различные способы их решения. Задачи: рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений высшей степени ; выявить наиболее удобные способы решения ; научиться решать уравнения высшей степени различными способами.

Объект исследования: уравнения высшей степени . Предмет исследования: способы решения уравнений высшей степени. Методы исследования: теоретические : изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов ; анализ полученной информации ; сравнение способов решения уравнений на удобство и рациональность.

Уравнения высшей степени и способы их решения Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное . Уравнение вида: называется уравнением n -ой степени .

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй. Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю. Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Способы решения уравнений высших степеней 1. Введение новой переменной Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t 1 , t 2 , …, t n ). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0. Решение: (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0. (х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0. Замена (х 2 + х + 1) = t. t 2 – 3t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена: х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1; х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0; Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а 0 х n + а 1 х n – 1 + .. + а n – 1 х + а n =0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

5. Графический метод. Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций. Решение:

– кубическая парабола сдвинута в вниз на 45 единиц -парабола ветвями в вниз, сдвинута по оси OX вправо на 0,9 единиц и по OY вверх 0,81 единиц

6.Умножение уравнения на функцию. Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение.

Пример Решить уравнение: X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1) Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: (Х 2 +1) (Х 8 – Х 6 + Х 4 – Х 2 + 1) = 0 (2) равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде: Х 10 + 1= 0 (3) Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет. Ответ: нет решений.

Так же этим способом можно решать уравнения вида , где a ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ a , a ( c — a ) = d ( b — d ). Тогда умножение этого уравнения на многочлен получим симметрическое уравнение четной степени, среди корней которого содержится и корень Отметим, что этот корень может быть посторонним корнем для уравнения.

Заключение Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители; метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ.

Видео:Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)Скачать

Решение алгебраических уравнений высших степеней

Автор: Пользователь скрыл имя, 25 Апреля 2012 в 20:33, курсовая работа

Описание работы

Цель работы заключается в ознакомлении с основными методами решения алгебраических уравнений высших степеней.
В соответствии с целью, объектом и предметом исследования были поставлены следующие задачи:
1. Собрать сведения из истории математики о решении алгебраических уравнений высших степеней.
2. Изучить теоретические основы решения алгебраических уравнений высших степеней: дать определение уравнениям, алгебраическим уравнениям, корням многочленов
3. Исследовать основные приемы и методы решения алгебраических уравнений высших степеней: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, подбор рационального корня многочлена по его старшему коэффициенту и свободному члену, и привести примеры их использования.

Содержание

Введение 4
1. Историческая справка 6
2. Общие понятия 15
2.1. Уравнения. 15
2.2. Алгебраические уравнения. 16
2.3. Корни многочленов. 16
3. Элементарные методы решения уравнений высших степеней 18
3.1. Вынесение общего множителя 18
3.2. Применение формул сокращенного умножения 19
3.3. Подбор рационального корня многочлена по его старшему коэффициенту и свободному члену 22
3.4. Симметрические уравнения 23
3.5. Возвратные уравнения 26
4. Решение кубических уравнений 29
4.1. Формула Кардано 30
4.2. Тригонометрическая формула Виета 32
5. Решение уравнений 4-й степени 34
5.1. Биквадратные уравнения 34
5.2. Метод Феррари 34
Заключение 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 38

Видео:8 класс, 35 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Исследовательская работа по математике «Уравнения высших степеней»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Городской конкурс исследовательских работ «День науки»

Секция математики, информатики и физики

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Способы решения уравнений высших степеней

Автор: Табакова Дарья Олеговна,

учащаяся 9 «Г» класса,

Средней общеобразовательной школы № 8

Пузырькова Вера Михайловна,

Средней общеобразовательной школы № 8

Видео:Теорема БезуСкачать

Аннотация

В курсе алгебры средней школы выводится формула для решения квадратного уравнения, а из курса физики видно, насколько необходима эта формула для решения многих физических вопросов (например, в задачах с равноускоренным движением).

Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и её приложениях уравнения более высоких степеней. Люди почти так же давно начали заниматься уравнениями высших степеней, как и квадратными уравнениями.

В представленной научно-исследовательской работе рассмотрены различные методы решения уравнений высших степеней.

Видео:Уравнения высших степеней. Решение уравнений с помощью деления в столбикСкачать

Введение

Актуальность: Данная тема актуальна, так как уравнения высших степеней встречаются в олимпиадных задачах, а также на Основном и Едином Государственном Экзамене. Однако эта тема недостаточно освещена в учебниках по алгебре в пределах общеобразовательной программы.

Цели и задачи проекта

Узнать, какие существуют методы решения уравнений высших степеней;

Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Проанализировать источники литературы для выявления способов решения уравнений высших степеней;

Выделить логические приёмы решения уравнений высших степеней.

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Николо Тарталья (1499 – 1557)

Решил уравнение в радикалах.

Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней (формула Кардано).

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах.

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах.

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен.

Видео:Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

Основные методы решения уравнений:

2.Применение формул сокращённого умножения. Выделение полного квадрата.

3.Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка.

4.Метод понижения степени. Теорема Безу.

5.Метод понижения степени. Схема Горнера.

6.Метод замены переменной.

7.Метод неопределённых коэффициентов.

8.Метод введения параметра.

Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

1. Графический метод

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций y=f(x) и y=g(x), входящих в уравнение f(x)=g(x). Это может помочь выяснить:

1.На какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2.Наличие или отсутствие корней, их количество.

Пример №1: Решить уравнение х 6 +х 2 -8х+6=0.

Решение №1 : х 6 =-х 2 +8х-6.

Рассмотрим 2 функции: у=х 6 и у=-х 2 +8х-6.

Построим график функции у=х 6 .

Построим график функции у= -х 2 +8х-6. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Хв=-8:(−2)=4; Ув=16+32-6=>т.В(4;10).

Судя по чертежу, построенные графики пересекаются в т.А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты т.А удовлетворяют обоим уравнениям. Значит, данное уравнение имеет один корень: х=1.

Пример №2 : Решить уравнение х 7 +3х+2=0.

Решение №2: х 7 =-3х-2.

Рассмотрим 2 функции у=х 7 и у=-3х-2.

Построим график функции у=х 7 .

Построим график линейной функции у=-3х-2. Это прямая, проходящая через т.т. (0;-2) и (1;-5).

По чертежу нельзя указать точный ответ, поэтому можно сказать только о приближенном значении решения уравнения х≈-0,6.

Графическое решение уравнения – наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия и отсутствия корней и их количества. Однако, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным, поэтому найденные решения следует проверить.

Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

2. Применение формул сокращённого умножения. Выделение полного квадрата

Этот метод основан на использовании формул:

𝑎 2 +2 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (a + b) 2

𝑎 2 −2 𝑎𝑏 + 𝑏 2 =( 𝑎 − 𝑏 ) 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + ab + b 2 )

a 3 — b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

и метода группировки. Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде (а ± b) 2 .

Пример №3: х 4 –3х 2 +4х–3=0.

Решение №3: Представим -3х 2 =-2х 2 -х 2 и сгруппируем: (х 4 -2х 2 )-(х 2 -4х+3)=0

(х 4 -2х 2 +1-1)-(х 2 -4х+3+1-1)=0

(х 2 -1) 2 -1-(х-2) 2 +1=0

(х 2 -1-х+2)(х 2 -1+х-2)=0

Пример №4: х 4 =(3х-10) 2 .

(х 2 -3х+10)(х 2 +3х-10)=0

Алгоритм решения квадратных уравнений прост и понятен и используется практически во многих примерах и задачах. Однако, трудно об этом говорить, имея уравнения третьей, четвёртой и более высоких степеней. В тех из них, где можно привести к виду квадратного уравнения, следует тщательно потрудиться. Во многих случаях это приводит к нахождению решения уравнения.

Видео:Приемы решения уравнений высших степеней.Скачать

3. Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка

Способ группировки можно разбить на 2 этапа:

Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя.

Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

Пример №5: 2х 8 -3х 7 +х 6 =0

Решение №5: х 6 (2х 2 -3х+1)=0

Пример №6: 2х 4 +3х 3 +16х+24=0.

Решение №6: (2х 4 +16х)+(3х 3 +24)=0

Способ разложения на множители очень эффективный, но при видимой простоте группировки очень непросто выбрать слагаемые для её проведения. Универсальных способов нет, так что приходится каждый раз экспериментировать.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

4. Метод понижения степени. Теорема Безу

Формулировка теоремы Безу:

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а).

Следствия из теоремы Безу:

Число а – корень многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда Р(х) делится без остатка на (х – а).

Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами.

Если Р(а)=0, то заданный многочлен Р(х) можно представить в виде: Р(х)=(х-а)Q(x).

Пример №7: Решим уравнение х 3 +2х 2 -1=0.

Решение №7: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, т.е. равен ±1. Проверка показывает, что х=-1. Значит, Р ₃ (х)=(х+1)Р ₂ (х), т.е. многочлен можно без остатка разделить на (х+1). х 3 +2х 2 -1=0

Пример №8: Решим уравнение х 4 +4х 3 -18х 2 -12х+9=0.

Решение №8: Если это уравнение имеет целый корень, то он равен одному из чисел: ±1;±3;±9. Проверка показывает, что х=-1. Значит, Р ₄ (х)=(х+1)Р ₃ (х), т.е. многочлен можно без остатка разделить на (х+1).

Разложим Р ₃ (х) на множители:

Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

Видео:Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

5. Метод понижения степени. Схема Горнера

Схема Горнера (правило Горнера, метод Горнера) – алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод позволяет найти корни многочлена, также является простым алгоритмом для деления многочлена Р _n (x)=a ₀ x n +a ₁ x n-1 +a ₂ x n-2 +…+a _n-1 x+a _n на бином (х-а).

Пример №9 : Разделить 5х 4 +5х 3 +х 2 -11 на х-1, используя схему Горнера.

Решение №9: Составим таблицу из 2-х строк: в одной запишем коэффициенты по убыванию степеней х, во второй 1. Во вторую ячейку второй строки запишем 5, следующую заполним по такому принципу: 15+5=10. Далее 110+1=11, 111+0=11, 111-11=0.

Ответ: 5х 3 +10х 2 +11х+11.

Пример №10: найти все целочисленные корни многочлена х 6 +2х 5 -21х 4 -20х 3 +71х 2 +114х+45.

Решение №10: Коэффициенты многочлена – целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной =1. Целочисленные корни нужно искать среди делителей свободного члена (±45;±15;±9;±3;±1). Итак, х=-1. Продолжим поиск корней. х 6 +2х 5 -21х 4 -20х 3 +71х 2 +114х+45=(х+1) 3 (х-3) 2 (х+5). Корни многочлена: -1;3;-5, причём -1 – корень третьего порядка, 3 – второго, -5 – корень первого порядка.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох. Схема Горнера даёт общий метод разложения на множители любого многочлена.

Видео:Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

6. Метод замены переменной

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду f(g(x))=0, заменой t=g(x) уравнение сводится к решению уравнения f(t)=0. Далее для каждого полученного корня tk решается уравнение g(x)=tk.

Пример №11: х 6 +3х 3 -4=0.

Решение №11 : Пусть t=x 3 , тогда t 2 +3t-4=0

Решение №12: (х 2 -3х)(х 2 -2х-х+2)=24

(х 2 -3х)(х 2 -3х+2)=24

Пусть t=х 2 -3х, тогда t(t+2)=24

х 2 -3х=-6 х 2 -3х=4

х 2 -3х+6=0 х 2 -3х-4=0

Основная проблема решения задач методом заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Видео:Метод неопределенных коэффициентовСкачать

7. Метод неопределённых коэффициентов

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

2 многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х

Любой многочлен третьей степени разлагается в произведении линейного и квадратного множителей

Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение 2х множителей второй степени.

Пример №13: 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=0.

Решение №13 : 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=(ах 2 +bx+c)(kx 2 +lx+n)=akx 4 +(al+bk)x 3 +(an+ck+bl)x 2 +(bn+cl)x+cn. a>0;k>0. ak=2, тогда пусть a=1,k=2; cn=1, отсюда с=1, n=1 или c=-1,n=-1.

ak=2 a=1,k=2 a=1,k=2

al+bk=-1 l+2b=-1 l+2b=-1

an+ck+bl=-9 1+2+bl=-9 -1-2+bl=-9

Вторая система не имеет решения, т.к. из второго и четвёртого уравнений получаем b=0,l=-1, что не удовлетворяет третьему уравнению. Получили: a=1,k=2,c=-1,n=-1,b=-2,l=3. Тогда разложение имеет вид: 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=(х 2 -2х-1)(2х 2 +3х-1)

х 2 -2х-1=0 2х 2 +3х-1=0

Метод неопределённых коэффициентов является универсальным способом при разложении уравнения на простейшие, если нет рациональных корней.

Видео:Схема Горнера. 10 класс.Скачать

8. Метод введения параметра

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Пример №14 : х 3 -(√3+1)х+3=0

Решение №14 : Пусть а=√3, то 3=а 2 .

а 2 -ах 2 +(х 3 -х 2 )=0

D=x 4 -4x 3 +4x 2 =x 2 (x 2 -4x+4)=x 2 (x-2) 2

Метод введения параметра используют в самых разных разделах алгебры. В частности, введением параметра могут быть решены некоторые тригонометрические, иррациональные и показательные уравнения.

Видео:Схема Горнера Уравнения высших степенейСкачать

Результаты исследования

Я проанализировала различные источники литературы, узнала, какие существуют методы решения уравнений высших степеней и научилась решать данные уравнения различными способами.

Каждый из приведённых мною способов заслуживает внимание. Какие-то уравнения можно решить несколькими способами, другие же – только одним. Но теорема Безу и схема Горнера – универсальные методы, применимые практически во всех уравнениях высших степеней.

Видео:Метод группировки и метод деления уголком при решении уравнений высших степеней.Скачать

Список использованных источников

1. А. Г. Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» — М.: Просвещение, 1995.

2. И. Р. Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 — М.: Наука, 1954.

3. М. А. Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.

4. Л. М. Лоповок «1000 проблемных задач по математике» — М.: Просвещение, 1995.

🎥 Видео

Решение уравнений высших степеней с помощью заменыСкачать